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华北水利水电大学课程名称：线性代数专业班级：2012150 成员组成：尚聪聪 201215019 联系方式2013年11月14日Mathematica在线性代数中的实验摘要：线性代数的各部分内容都涉及运算，尤其重要的是行列式和矩阵的运算。在实际问题的代数模型中，行列式的阶数可能很高，矩阵的行数和列数可能很大，其中的数字也可能相当大，甚至出现多位小数。这时仅用笔和纸靠手工运算无疑太费时太费力了，而且有时几乎是实现不了的，这时就要借助计算机来计算。Mathematica就是这样一个有用的工具，下面主要介绍一下它的基础知识和线性代数中的应用。关键词：线性代数 mathematica 实验Mathematica experiment in linear algebraAbstract: th e content involves the parts of linear algebra operations, especially important determinant and matrix calculations. In practical problems of algebraic model, the determinant of order may be high, rows and columns of the matrix can be quite large, the number may also be quite big, appear even more than decimal. At this time only a pen and paper by hand operations too time-consuming and laborious, and sometimes is almost not achieve them, at this time will be calculated with the help of computer. Mathematica is a useful tool, the following mainly introduce its basic knowledge and application of linear algebra.Keywords: linear algebra mathematica experiment正文： 1、引言：Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，截至2009年，它也是为止使用最广泛的数学软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系统。自从1988发布以来，它已经对如何在科技和其它领域运用计算机产生了深刻的影响。Mathematica和MATLAB、Maple并称为三大数学软件。 人们常说，Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。自从上世纪六十年代以来，在数值、代数、图形、和其它方面一直有个别的软件包存在。但是，Mathematica的基本概念是用一个连贯的和统一的方法创造一个能适用于科技计算各个方面的软件系统。实现这一点的关键之处是发明了一种新的计算机符号语言。这种语言能仅仅用很少量的基本元素制造出广泛的物体，满足科技计算的广泛性。这在人类历史上还是第一次。 当Mathematica1.0版发布时，纽约时代报写道：“这个软件的重要性不可忽视”；紧跟着商业周刊又将Mathematica评比为当年十大最重要产品。在科技界，Mathematica被形容为智能和实践的革命。 最初，Mathematica的影响主要限于物理学、工程学、和数学领域。但是，随着时间的变化，Mathematica在许多重要领域得到了广泛的应用。它已经被应用于科学的各个领域-物理、生物、社会学、和其它。许多世界顶尖科学家都是它的忠实支持者。它在许多重要的发现中扮演着关键的角色，并是数以千计的科技文章的基石。在工程中，Mathematica已经成为开发和制造的标准。世界上许多重要的新产品在它们的设计某一阶段或其它阶段都依靠了Mathematica的帮助。在商业上，Mathematica在复杂的金融模型中扮演了重要的角色，广泛地应用于规划和分析。同时，Mathematica也被广泛应用于计算机科学和软件发展：它的语言元件被广泛地用于研究、原型、和界面环境。 2、主体 2.1 mathematica的基本操作我们可以直接在mathematica的文档窗口中键入命令函数，然后以shift+enter键运行（或直接按数字键盘上的回车键运行），这时mathematica将调用其后台kernel程序运行输入的指令，并将运行结果显示在前端的文档窗口中，同时给输入指令和输出结果自动编号（该编号在同一个kernel中具有唯一性）。例如，在文档窗口键入230，按下shift+enter键，文档窗口中，将在230前加入in【1】：=，并将结果输出在out【1】=后面：In1:=230Out1=1073741824【】中显示的是输入指令或输出结果的自动编号。我们可以在不关闭当前文档窗口新建另外的窗口继续工作，而且可以保存我们的文档，mathematica文档的扩展名为.nb.保存文档将同时保存文档中的所有输入指令和输出结果，但会损失所有的输入和输出编号。Mathematica也有与word类似的公式编辑器的输入模板，利用它可以在文档窗口中输入格式化的表达式和公式等。2.1.1数与算术运算Mathematica中进行数的算术运算和在计算器上进行的相应运算类似，对一些数学常量也做了专门的记号。-*，-/，-+，-，阶乘-！等。2.1.2函数Mathematica中的函数分为系统内置函数和用户自定义函数，系统函数调用时开头第一个字母必须大写。要注意的是，mathematica中严格区分字母的大小写，即认为Log和log是两个不同的函数调用，对表达式运算也是如此。另外，不管是系统函数还是用户自定义函数，函数都是通过方括号【】而不是圆括号（）调用，即函数的自变量是放在方括号内。例如：in【1】：=Sin【45 Degree】，Out【1】：=12 。2.1.3变量及表达式变量一般由字母、数字组成，但不能以数字开头，其中也不能含有空格或标点符号。例如：可以把多项式x2+3x-4赋予变量P。In9:=P=x2+3x-4Out9:=-4+3x+x2 注意：上述方法定义的变量将是全局有效的，除非你关闭kernel，否则变量的影响将一直存在。2.1.4自定义函数Mathematica中同样也可以自定义函数，例如，要定义一个函数名为f,只含有一个变量x的函数f(x)=x2+2x:In1:=Fx_:=x2+2x注意：函数定义式右边的自变量后必须跟下划线“_”，而且定义时使用的是“：=”而不是“=”，定义函数的指令没有输出结果。定义好一个函数后就可以调用这个函数。In10:=F3Out10:=152.2行列式例 计算三阶行列式输入：A=1,2,-4,-2,2,1,-3,4,-2；DetA输出：-14例 计算四阶行列式输入：A=3,1,-1,2,-5,1,3,-4,2,0,1,-1,1,-5,3,-3;DetA输出：402.3矩阵的运算例 设，求输入：A=1,0,3,-1,2,1,0,2;A/MatrixFormB=4,1,0,-1,1,3,2,0,1,1,3,4;B/MatrixFormA . BA . B/MatrixForm结果：(NoBreak 1, 0, 3, -1, 2, 1, 0, 2 NoBreak)(NoBreak 4, 1, 0, -1, 1, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 4 NoBreak)9,-2,-1,9,9,11(NoBreak 9, -2, -1, 9, 9, 11 NoBreak)例 证明：解 取n=7输入A=Cost,-Sint,Sint,Cost;B=MatrixPowerA,7Simplify%/MatrixForm结果：-2 Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2)+Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2),2 Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2)-Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2),2 Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2)+Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2),2 Sint (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2) (-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2)+Cost (-2 Cost Sint2+Cost (Cost2-Sint2)2+(-2 Cost2 Sint-Sint (Cost2-Sint2) (2 Cost2 Sint+Sint (Cost2-Sint2)化简的结果：Cos7 t,-Sin7 t,Sin7 t,Cos7 t结果的矩阵形式：(NoBreak Cos7 t, -Sin7 t, Sin7 t, Cos7 t NoBreak)例 设，求其转置矩阵输入：A=1,2,0,3,-1,1A/MatrixFormAT=TransposeA%/MatrixForm结果：原矩阵：1,2,0,3,-1,1(NoBreak 1, 2, 0, 3, -1, 1 NoBreak)转置矩阵：1,3,2,-1,0,1(NoBreak 1, 3, 2, -1, 0, 1 NoBreak)例 设，求其逆矩阵，并验证（单位矩阵）输入：A=1,2,3,2,2,1,3,4,3;B=InverseAB/MatrixFormA.B%/MatrixForm逆矩阵：1,3,-2,-(3/2),-3,5/2,1,1,-1(NoBreak 1, 3, -2, -(3/2), -3, 5/2, 1, 1, -1 NoBreak)验证：1,0,0,0,1,0,0,0,1(NoBreak 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 NoBreak)2.4矩阵的初等行变换和矩阵的秩例 设，求其行最简形，标准型和秩先求行最简形输入：B=2,-1,-1,1,2,1,1,-2,1,4,4,-6,2,-2,4,3,6,-9,7,9;B/MatrixFormRowReduceB%/MatrixForm结果原矩阵：(NoBreak 2, -1, -1, 1, 2, 1, 1, -2, 1, 4, 4, -6, 2, -2, 4, 3, 6, -9, 7, 9 NoBreak)原矩阵的行最简形：1,0,-1,0,4,0,1,-1,0,3,0,0,0,1,-3,0,0,0,0,0(NoBreak 1, 0, -1, 0, 4, 0, 1, -1, 0, 3, 0, 0, 0, 1, -3, 0, 0, 0, 0, 0 NoBreak) 行最简形有一行全为零，矩阵的秩为3例 设 ，求的秩输入：A=3,2,0,5,0,3,-2,3,6,-1,2,0,1,5,-3,1,6,-4,-1,4;A/MatrixFormMatrixRankA结果： 32.5求基础解析例 求齐次线性方程组：的基础解系与通解解 先将系数矩阵化为行最简形。输入A=1,1,-1,-1,2,-5,3,2,7,-7,3,1;A/MatrixFormRowReduceA/MatrixForm得A的行最简形： (NoBreak 1, 0, -(2/7), -(3/7), 0, 1, -(5/7), -(4/7), 0, 0, 0, 0 NoBreak)由A的行最简形可知，原方程组化为： 或 或 方程组的通解： 或 其中是方程组的基础解系例 求齐次线性方程组：的基础解系与通解Mathematica有一个求基础解系的命令:NullSpaceA输入A=1,1,-1,-1,2,-5,3,2,7,-7,3,1;NullSpaceA得到基础解系：3,4,0,7,2,5,7,0 (这个基础解系不理想)现将A先化为行最简形，再用NullSpace求基础解系:输入A=1,1,-1,-1,2,-5,3,2,7,-7,3,1;A=RowReduceA;A/MatrixFormNullSpaceA得到：A的行最简形：(NoBreak 1, 0, -(2/7), -(3/7), 0, 1, -(5/7), -(4/7), 0, 0, 0, 0 NoBreak)得到理想的基础解系：3/7,4/7,0,1,2/7,5/7,1,0 （与上面的结果一致）2.6矩阵的特征向量和特征值例 求矩阵的特征值和特征向量输入：A=3,-1,-1,3;EigenvaluesAEigenvectorsA结果 4,2 （特征值）-1,1,1,1（特征向量）例 求矩阵的特征值和特征向量输入：A=-1,1,0,-4,3,0,1,0,2;EigenvaluesAEigenvectorsA结果：2,1,1（特征值）0,0,1,-1,-2,1,0,0,0（特征向量）（将最后一个零向量删去）例 求矩阵的特征值和特征向量（同济5版，119页）输入：A=-2,1,1,0,2,0,-4,1,3;EigenvaluesAEigenvectorsA结果：2,2,-1（特征值）1,0,4,1,4,0,1,0,1（特征向量）2.7二次型例 求一个正交变换，将下列二次型化为标准形：解 其中现在求一个正交矩阵，使得为对角阵。输入A=1,1,0,-1,1,1,-1,0,0,-1,1,1,-1,0,1,1;EigenvaluesA P=EigenvectorsA P=OrthogonalizePP=TransposeP InverseP.P/MatrixFormP/MatrixFormInverseP.A.P/MatrixFormSimplify%/MatrixForm3,-1,1,1 （A的特征值）-1,-1,1,1,1,-1,-1,1,