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中国古代数学的成就 摘要：中国古代数学具有悠久的传统。在古代四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 关键词：中国古代；数学成就 中国古代数学的成就包括圆周率、割圆术、十进位制计数法、算经十书、勾股定理、（测高、远、深的方法）测量太阳高度、祖冲之祖暅父子、等间距二次内插公式、秦九韶的高次方程数值解法、杨辉三角和剁积术以及珠算 圆周率 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢。中国古算书周髀算经（ 约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，认为圆周率是常数。我国数学家刘徽在注释九章算术（263）时只用圆内接正多边形就求得的近似值，也得出精确到两位小数的值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出根号10（约为3.16）。汉朝时，张衡得出的平方除以16等于5/8，即等于10的开方（约为3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。 割圆术3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 十进位制计数法十进位制记数法在我国原始社会就已经形成，完成于奴隶社会初期的商代，到商代已发展为完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。1899年从河南安阳发掘出来的象形文字，是大约3000多年前的殷代甲骨文。其中载有许多数字记录，最大的数目字是3万。如有一片甲骨上刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”(八日辛亥那天的战争中，消灭了敌方2656人)。这段文字说明我国在公元前1600年，已经采用了十进位值制记数法。 这种记数法中，没有形成零的概念和零号，但由于引入了几个表示数位的特殊的数字如十、百、千、万等能确切地表示出任何自然数，因而也是相当成功的十进位值制记数法，历代稍有变革，但基本框架则一直延用至今。 算经十书算经十书是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，他们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：周髀算经、九章算术、海岛算经、张丘建算经、夏侯阳算经、五经算术、辑古算经、缀术。其中阐明“盖天说”的周髀算经，被人们认为是流传下来的中国最古老的既谈天体又谈数学的天文历著作。其中提到大禹治水时所应用的数学知识，成为现存文献中提到最早使用勾股定理的例子。 勾股定理勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。 （测高、远、深的方法）测量太阳高度陈子是周代的天文算学家，荣方是当时天文算学家的爱好者。在陈子教给荣方的各种数据计算的具体方法中，我们可以发现在二千六七百年前，我国对勾股定理的应用已达到十分熟练的程度。 陈子测量太阳高度的方法可叙述为：当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一8尺高的标竿，观其影长为6尺。然后，测量者向南移动标竿，每移动1000里，标竿的影长就减少1寸。据此可设想，当标竿的日影减少六尺，则标竿就向南移动了60000里，而此时标竿恰在太阳的正下方。据勾股定理和相似形原理可算得：测量者与太阳的距离为10万里。陈子除了能利用相似三角形的性质外，还能熟练地运用勾股定理。 祖冲之祖暅父子他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽九章算术注的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作缀术（已失传）取得如下成就：圆周率精确到小数点后第六位，得到3.14159263.1415927，并求得的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理。 等间距二次内插公式公元600年，隋代刘焯在制订皇极历时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其大衍历中将其发展为不等间距二次内插公式。 秦九韶的高次方程数值解法中国古代对方程就有研究。在九章算术中载有“ 方程 ”一章 ，距今已近2000年 ，书中方程是指多元联立一 次方程组 。13 世纪秦九韶首创正负开方术 ，即一元高次方程的数值解法 。在西方，英国 W.G.霍纳于 1819 年才发现类似的近似方法。14世纪朱世杰对含有四个未知数的高次联立方程组的研究已达到了很高的水平。 杨辉三角和剁积术扬辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，创“纵横图”之名继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究创“垛积术” 珠算珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法。“珠算”一词最早见于汉代徐岳撰的数术记遗，其中有云:“珠算控带四时经纬三才。”北周甄鸾为此作注大意是把木板刻为三部分上下两部分是停游珠用的中间一