枚举与迭代.doc

枚举法在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法一、特点：将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。例如：找出1到100之间的素数。需要将1到100之间的所有整数进行判断。枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：1、得到的结果肯定是正确的；2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。二、枚举算法的一般结构：while循环。首先考虑一个问题：将1到100之间的所有整数转换为二进制数表示。算法一：for i:=1 to 100 do begin将i转换为二进制，采用不断除以2，余数即为转换为2进制以后的结果。一直除商为0为止。end;算法二：二进制加法，此时需要数组来帮忙。program p;var a:array1.100 of integer; 用于保存转换后的二进制结果i,j,k:integer;beginfillchar(a,sizeof(a),0); 100个数组元素全部初始化为0for i:=1 to 100 do begink:=100;while ak=1 do dec(k); 找高位第一个为0的位置ak:=1; 找到了立刻赋值为1for j:=k+1 to 100 do aj:=0; 它后面的低位全部赋值为0k:=1;while ak=0 do inc(k); 从最高位开始找不为0的位置 write(,i,)2=); for j:=k to 100 do write(aj); 输出转换以后的结果writeln;end;end.枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题成立者，即为问题的解。采用枚举算法解题的基本思路：（1） 确定枚举对象、枚举范围和判定条件；（2） 一一枚举可能的解，验证是否是问题的解下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。例1：百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？算法分析：此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件，穷举各种鸡的个数。下面是解这个百鸡问题的程序var x,y,z:integer;beginfor x:=0 to 100 dofor y:=0 to 100 dofor z:=0 to 100 do枚举所有可能的解if (x+y+z=100)and(x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)then writeln(x=,x,y=,y,z=,z); 验证可能的解，并输出符合题目要求的解end.上面的条件还有优化的空间，三种鸡的和是固定的，我们只要枚举二种鸡（x,y），第三种鸡就可以根据约束条件求得（z=100-x-y），这样就缩小了枚举范围，请看下面的程序：var x,y,z:integer;beginfor x:=0 to 100 dofor y:=0 to 100-x dobeginz:=100-x-y;if (x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)then writeln(x=,x,y=,y,z=,z);end;end.未经优化的程序循环了1013 次，时间复杂度为O(n3)；优化后的程序只循环了（102*101/2）次 ，时间复杂度为O(n2)。从上面的对比可以看出，对于枚举算法，加强约束条件，缩小枚举的范围，是程序优化的主要考虑方向。在枚举算法中，枚举对象的选择也是非常重要的，它直接影响着算法的时间复杂度，选择适当的枚举对象可以获得更高的效率。如下例：例2、将1,2.9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:2:3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数.例如:三个三位数192,384,576满足以上条件.(NOIP1998pj)算法分析：这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称NOIP1998pj，以下同）。此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位一位地去枚举：for a:=1 to 9 do for b:=1 to 9 dofor i:=1 to 9 do这样下去，枚举次数就有9次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。程序如下：vart,x:integer;s,st:string;c:char;beginfor x:=123 to 321 do枚举所有可能的解begint:=0;str(x,st);把整数x转化为字符串，存放在st中str(x*2,s); st:=st+s;str(x*3,s); st:=st+s;for c:=1 to 9 do枚举9个字符，判断是否都在st中if pos(c,st)0 then inc(t) else break;如果不在st中，则退出循环if t=9 then writeln(x, ,x*2, ,x*3);end;end.在枚举法解题中，判定条件的确定也是很重要的，如果约束条件不对或者不全面，就穷举不出正确的结果， 我们再看看下面的例子。例 一元三次方程求解(noip2001tg)问题描述 有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1x2，f(x1)*(x2)0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。样例输入：1 -5 -4 20输出：-2.00 2.00 5.00算法分析：由题目的提示很符合二分法求解的原理，所以此题可以用二分法。用二分法解题相对于枚举法来说很要复杂很多。此题是否能用枚举法求解呢？再分析一下题目，根的范围在-100到100之间，结果只要保留两位小数，我们不妨将根的值域扩大100倍（-10000=x=10000），再以根为枚举对象，枚举范围是-10000到10000，用原方程式进行一一验证，找出方程的解。有的同学在比赛中是这样做vark:integer;a,b,c,d,x :real;beginread(a,b,c,d);for k:=-10000 to 10000 dobeginx:=k/100;if a*x*x*x+b*x*x+c*x+d=0 then write(x:0:2, );end;end.用这种方法，很快就可以把程序编出来，再将样例数据代入测试也是对的，等成绩下来才发现这题没有全对，只得了一半的分。这种解法为什么是错的呢？错在哪里？前面的分析好象也没错啊，难道这题不能用枚举法做吗？ 看到这里大家可能有点迷惑了。在上面的解法中，枚举范围和枚举对象都没有错，而是在验证枚举结果时，判定条件用错了。因为要保留二位小数，所以求出来的解不一定是方程的精确根，再代入ax3+bx2+cx+d中，所得的结果也就不一定等于0，因此用原方程ax3+bx2+cx+d=0作为判断条件是不准确的。我们换一个角度来思考问题，设f(x)=ax3+bx2+cx+d，若x为方程的根，则根据提示可知，必有f(x-0.005)*(x+0.005)0，如果我们以此为枚举判定条件，问题就逆刃而解。另外，如果f(x-0.005)=0，哪么就说明x-0.005是方程的根，这时根据四舍5入，方程的根也为x。所以我们用(f(x-0.005)*f(x+0.005)0) 和 (f(x-0.005)=0)作为判定条件。为了程序设计的方便，我们设计一个函数f(x)计算ax3+bx2+cx+d的值，程序如下：$N+vark:integer;a,b,c,d,x:extended;function f(x:extended):extended; 计算ax3+bx2+cx+d的值beginf:=(a*x+b)*x+c)*x+d;end;beginread(a,b,c,d);for k:=-10000 to 10000 dobeginx:=k/100;if (f(x-0.005)*f(x+0.005)Epsilon)； printf(“方程的近似根是%fn”，x0)； 迭代算法也常用于求方程组的根，令 X=（x0，x1，xn-1） 设方程组为： xi=gi(X) (I=0，1，n-1) 则求方程组根的迭代算法可描述如下： 【算法】迭代法求方程组的根 for (i=0;i x=初始近似根; do for (i=0;i y=x; for (i=0;i x=gi(X); for (delta=0.0,i=0;i if (fabs(y-x)delta) delta=fabs(y-x)； while (deltaEpsilon)； for (i=0;i printf(“变量x%d的近似根是 %f”，I，x)； printf(“n”)； 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： （1） 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制； （2） 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。 递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。 【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。 斐波那契数列为：0、1、1、2、3、，即： fib(0)=0; fib(1)=1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n1时）。 写成递归函数有： int fib(int n) if (n=0) return 0; if (n=1) return 1; if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2); 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n- 2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。 在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。 由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。 【问题】 组合问题 问题描述：找出从自然数1、2、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 （4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1 （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 （10）3、2、1 分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a 存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在ak中，当一个组合求出后，才将a 中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 【程序】 # include # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int k) int i,j; for (i=m;i=k;i-) ak=i; if (k1) comb(i-1,k-1); else for (j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); void main() a0=3; comb(5,3); 【问题】 背包问题 问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 设n 件物品的重量分别为w0、w1、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option ，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop 。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 对于第i件物品的选择考虑有两种可能： （1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 （2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 按以上思想写出递归算法如下： try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv) /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品i是可以接受的) 将物品i包含在当前方案中； if (i try(i+1,tw+物品i的重量,tv); else /*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; 恢复物品i不包含状态； /*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ if (不包含物品i仅是可男考虑的) if (i try(i+1,tw,tv-物品i的价值)； else /*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 以当前方案作为临时最佳方案保存; 为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表： 物品 0 1 2 3 重量 5 3 2 1 价值 4 4 3 1 并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。 按上述算法编写函数和程序如下： 【程序】 # include # define N 100 double limitW,totV,maxV; int optionN,copN; struct double weight; double value; aN; int n; void find(int i,double tw,double tv) int k; /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ if (tw+a.weightmaxV) if (i else for (k=0;k optionk=copk; maxv=tv-a.value; void main() int k; double w,v; printf(“输入物品种数n”); scanf(“%d”,&n); printf(“输入各物品的重量和价值n”); for (totv=0.0,k=0;k scanf(“%1f%1f”,&w,&v); ak.weight=w; ak.value=v; totV+=V; printf(“输入限制重量n”); scanf(“%1f”,&limitV); maxv=0.0; for (k=0;k find(0,0.0,totV); for (k=0;k if (optionk) printf(“%4d”,k+1); printf(“n总价值为%.2fn”,maxv); 作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。 【程序】 # include # define N 100 double limitW; int copN; struct ele double weight; double value; aN; int k,n; struct int ; double tw; double tv; twvN; void next(int i,double tw,double tv) twv.=1; twv.tw=tw; twv.tv=tv; double find(struct ele *a,int