④数字特征.doc

四、随机变量的数字特征这一部分，“数学一”、“数学三”和“数学四”的考试大纲、内容和要求完全一致考试大纲要求 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求1、理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征定义和基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征）2、会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望3、理解有关数字特征的概率意义，例如，对于指数分布，“平均无故障工作的时间”或“平均等待时间”可以理解为相应时间的数学期望 考试内容提要 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为 (4.1)其中表示对X的一切可能值求和对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在(2) 随机变量的函数的数学期望 设为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出的概率分布再求其数学期望；对于二元函数，有类似的公式： (4.2a) (4.2b)2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c，有(2) 对于任意常数，有(3) 对于任意，有(4) 如果相互独立，则 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征1、方差的定义 称为随机变量X的方差，称为随机变量X的标准差随机变量X的方差有如下计算公式： (4.3)2、方差的性质 (1) ，并且当且仅当（以概率）为常数；(2) 对于任意实数，有；(3) 若两两独立或两两不相关，则 协方差和相关系数 考虑二维随机向量，其数字特征包括每个变量的数学期望和方差，以及和的联合数字特征协方差和相关系数1、协方差和相关系数的定义 (1) 协方差 随机变量和的协方差定义为， (4.4)其中(2) 相关系数 随机变量X和Y的相关系数定义为 (4.5)2、协方差的性质 设随机变量和的方差存在，则它们的协方差也存在(1) 若和独立，则；对于任意常数c，有(2) (3) 对于任意实数a和b，有(4) 对于任意随机变量，有(5) 对于任意和，有(6) 对于任意和，有3、相关系数的性质 相关系数的如下三条基本性质，决定了它的重要应用设和的相关系数，(1) (2) 若和相互独立，则=0；但是，当=0时和却未必独立(3) 的充分必要条件是和（以概率）互为线性函数三条性质说明，随着变量和之间的关系由相互独立到互为线性函数，它们的相关系数的绝对值从0增加到1，说明相关系数可以做两个变量统计相依程度的度量4、随机变量的相关性 假设随机变量和的相关系数存在若= 0，则称和不相关，否则称和相关(1) 若两个随机变量独立，则它们一定不相关，而反之未必；(2) 若和的联合分布是二维正态分布，则它们“不相关”与“独立”等价 矩 在力学和物理学中用矩描绘质量的分布概率统计中用矩描绘概率分布常用的矩有两大类：原点矩和中心矩数学期望是一阶原点矩，而方差是二阶中心矩1、原点矩 对任意实数，称为随机变量的阶原点矩，简称阶矩原点矩的计算公式为： (4.6)2、中心矩 称为随机变量的阶中心矩 切比雪夫（切贝绍夫）不等式 设随机变量的数学期望和方差都存在，则对于任意，有 (4.7) 典型例题分析填空题 例4.1（函数的方差p.91） 已知随机变量的分布函数为：则= 分析 由分布函数，可得随机变量的概率分布例4.2（函数的期望p.92） 设随机变量分布函数为F(x)，则随机变量的数学期望 分析 随机变量只有和1两个可能值（因为）例4.4（函数的期望p.92） 设随机变量X服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量的数学期望= 分析 事实上，有例4.6（标准差p.93） 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差= 分析 由条件“无系统误差”知，测量误差服从正态分布，因此，例4.8(方差p.93) 设随机变量和独立同正态分布，则 = 分析 易见，= 0，= 1，故N(0,1)因此，例4.9(标准差p.84) 100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 分析 100次独立重复试验成功的次数X服从参数为的二项分布由于当p =0.5时，取最大值这时，可见标准差的最大值等于5例4.11（二项分布p.94）有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶则变质饮料的瓶数的概率分布是 分析 假设总共有n瓶超过保质期的饮料，是其中变质饮料的瓶数所占的比重显然变质饮料的瓶数X服从参数为（n,p）的二项分布现在求n和p由条件知例4.12（协方差p.94）假设随机变量和的方差都等于1，和的相关系数为0.25，则随机变量和的协方差为 分析 已知 因此，有选择题例4.19(p.96) 对于任意随机变量和，如果，则(A) 和独立 (B) 和不独立(C) (D) D 分析 由可见例4.23(p.98) 设X在区间1,1上均匀分布，则和的相关系数等于(A) (B) 0 (C) 0.5 (D) 1 A 分析 由于和有明显的线性关系：，可见和相关系数的绝对值等于1因为和增减变化趋势恰好相反，所以立即可以断定例4.26(p.98) 假设试验E以概率p成功，以概率失败，分别以和表示在n次独立地重复试验中成功和失败的次数，则和的相关系数等于(A) (B) 0 (C) 1/2 (D) 1 A 分析 因为+=n，即和互为线性函数，故和的相关系数由于=n，可见和为负相关，故计算题例4.29 (期望的应用p.99) 自动生产线加工的零件的内径X mm服从正态分布，内径小于10或大于12 mm的为不合格品，其余为合格品每件产品的成本为10元,内径小于10 mm的可再加工成合格品，尚需费用5元全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元问零件的平均内径取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解 每件产品的销售利润L与自动生产线加工的零件的内径X(mm)有如下关系：其中是标准正态分布函数，标准正态密度因此，有由此，可见当mm时，平均利润最大例4.31（函数的期望p.100） 假设某季节性商品，适时地售出1kg可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元假设一家商店在季节内该商品的销售量X（kg）是一随机变量，并且在区间内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？解 根据条件随机变量X的概率密度为：以表示销售利润，它与季初应安排商品的数量h有关由条件，知为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润的数学期望为此，首先注意到：，销售利润的数学期望为：对求导并令其等于0，得于是，季初安排kg商品，可以使期望销售利润最大， 4.34（数学期望p.102） 独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元试求这项试验的总费用的期望值a解 (1) 以X表示试验的总次数，首先求X的概率分布设=第k次试验成功（k=1,2,），则；X的概率分布为，其中于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布(2) 现在求试验的总费用的期望值a由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为；例如，设p = 0.8, q = 0.2，得12.498元；设p = q = 0.5，得19.6875元；设p = 0.2, q = 0.8，得41.808元；设p = 0.1, q = 0.9，得70.4775元例4.35（变量和的期望p.103） 假设n个信封内分别装有发给n个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的以X表示收到自己通知的人数，求X的数学期望和方差解 (1) 记=第k封信的地址与内容一致第k个人的通知随意装入n个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址的信封的概率等于/n，故=同理引进随机变量(k=1,n)，则从而，有 (2) 对于任意，乘积只有和两个可能值，且 因此，对于任意，有(3) 最后求方差DX注 该题的解法具有典型性：求解时并没有直接利用X的概率分布，仅利用数学期望和方差的性质当然，也可以先求X的概率分布，然后再根据定义求数学期望然而，求概率分布需要相当繁杂的计算,并且由此概率分布求数学期望并非易事例4.38（函数的期p.105） 求，假设随机变量服从柯西分布，其概率密度为解 由于可见例4.39（数学期望p.106） 假设一种电器设备的使用寿命X（单位：小时）是一随机变量，服从参数为=0.01的指数分布使用这种电器每小时的费用为C1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C2=10元此设备由一名工人操作，每小时报酬为C3=4元，并且按约定操作时间为h小时支付报酬问约定操作时间h为多少时，能使期望利润最大？解 以Y表示销售利润，则由条件知由条件知，随机变量X的分布函数和概率密度相应为 和 其中期望销售利润为将C1=3元，C2=10元C3=4元，以及=0.01代入，得小时例4.41（最小值的期望p.107） 一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为和0.5(千小时)，试求线路无故障工作时间X的数学期望解 设是第i个中间站无故障工作时间，则由条件知，可以认为和独立，E=1，E=1/0.5；解法 根据（4.2b）式，有解法 先求X 的概率密度X的分布函数为因此，有例4.42（最小值的期望p.108） 设随机变量X和Y相互独立，并且都服从正态分布，求随机变量的数学期望解 设，有U和V都服从标准正态分布，其联合密度为例4.42插图vuOu=vuv因此根据(4.2b)式，有(见插图)注 同样可以求得例4.44（方差p.109） 假设随机向量在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布试求随机变量Z=X+Y的方差解 区域是以点为顶点的三角形区域（见插图）随机向量( X , Y )的概率密度为解法1 首先求Z=X+Y的概率密度：显然当z2时=0；设，当0x1而且zx（即z1x）时，=2，否则=，故有D1x1Oyx+y1x+y1x+y=1 例4.44插图因此 解法2 设是X的概率密度当x1时=0；当0x1时, 有于是，随机变量X的概率密度为：同理可得：EY=2/3，DY=1/18现在求 ：例4.45（相关系数p.110） 假设随机变量X和Y的数学期望都等于1，方差都等于2, 其相关系数为0.25，求随机变量和的相关系数解 首先求U和V的数学期望和方差，由条件知，注意到, ， , 有从而，随机变量和的相关系数为例4.47(相关系数p.111)假设随机变量独立同分布，且方差存在求随机变量 和 的相关系数解 记由于独立