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1 小学数学知识集锦小学数学知识集锦 目目 录录 第一章第一章 速算法知识速算法知识 1 一 一 加法速算加法速算 1 1 凑整加法 1 2 补数加法 1 3 调换位置的加法 1 4 数列求和 2 5 求几个相差不大的数的和 2 6 求 1 n n 1 数列的和 2 二 二 减法速算减法速算 3 7 补数减法 减整加补法 多减要加上 少减要减去 3 8 多位数补数减法 3 9 调换位置的减法 3 10 多位数连减法 4 三 三 乘法速算乘法速算 4 11 因数分组凑整法 5 12 任意两位数头加 1 乘法 4 13 互补两位数乘法 5 14 十位是 1 的两位数乘法 10 15 两位数与 11 的乘法 两边一拉 中间相加 满 10 进 1 10 16 稍大于 100 500 的乘法 11 17 十几乘几十几的乘法 14 18 123456789 乘以 90 以内的 9 的倍数的乘法 14 19 一数和为 9 另一数为连接数的乘法 14 20 9 的倍数乘法 15 21 3 的倍数的乘法 15 22 一数相同一数非互补的乘法 16 23 个位是 1 的两位数的乘法 16 24 求两个相邻数的积 16 25 任何数乘以 15 17 26 减平方差的乘法 a b a b a2 b2 17 27 巧算平方 a b 2 a2 2ab b2 17 28 求立方 23 29 分数的乘法 24 四 四 除法速算除法速算 25 30 几种试商方法 25 2 31 某数除以 5 25 125 时 26 32 2 4 8 16 32 的除法 27 33 求一个三位数除以 9 的商 27 34 求一个数除以 5n的商 27 35 求一个多位合数除以一个两位合数的商 28 36 求一个数除以 0 5n的商 28 37 求被除数的分子和分母分别是除数他子他母倍数的两个分数的商 28 38 求分子相同的两个分数的商 28 39 求分母相同的两个分数的商 28 40 平方米和亩换算 29 第二章第二章 多位数加 减 乘 除的验算多位数加 减 乘 除的验算 29 41 用九余数法验算 29 第三章第三章 数的整除数的整除 31 42 数的整除 31 第四章第四章 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数 34 43 求最大公约数的方法 34 44 求最小公倍数的方法 35 第五章第五章 小学中数的概念小学中数的概念 35 45 奇数和偶数 35 46 质数 合数 互质数 质因数 36 47 分解质因数 37 第六章第六章 排列组合排列组合 38 48 排列组合概念 38 49 加法与乘法原理混淆 39 50 排列 与 组合 概念混淆 40 51 重复计数而增解 40 52 思维不慎而漏解 40 53 审题不清致使分类讨论有误 40 54 解题策略有误致使算法失当 41 附录 附录 41 55 常用公式 42 1 第一章第一章 速算法速算法知识知识 一 一 加法速算加法速算 1 凑整加法凑整加法 凑整加法 凑整加差法 先凑成整数后加差数 就能算的快 一个 加数向另一个加数借一部分来凑整 再与借出数后的数相加 如 8 7 8 2 7 2 15 如 17 9 17 3 9 3 26 或 17 10 1 如 257 378 257 22 378 22 635 分组凑整法 先把能凑成十或整十的或整百 千 万 的 数结合在一起 再把他们的和相加 如 47 36 14 63 47 63 36 14 110 50 160 2 补数加法补数加法 补数就是两个数的和为 10 100 1000 等等 补数的计算方法 个位上的数凑 10 其它位上的数都凑 9 8 2 10 78 22 100 8 是 2 的补数 2 也是 8 的补数 78 是 22 的补数 22 也是 78 的补数 补数加法 加整数减去它的补数 加整减补法或加大减差法 加整减补法或加大减差法 多加要减去 少加要加上 多加要减去 少加要加上 如 6 7 6 10 3 13 如 27 8 27 10 2 35 如 25 85 25 100 15 25 80 5 110 如 867 898 867 1000 102 1765 3 调换位置的加法调换位置的加法 两个十位数互换位置 速算和 十位加个位乘以 11 如 61 16 6 1 11 77 如 57 75 5 7 11 132 乘以 11 的计算方法 两边 2 一拉 中间相加 只是百位数与个位数互换位置的两个三位数 速算和 百位数 加个位数的和乘以 101 再加上十位数的 20 倍 如 145 541 5 1 101 4 20 686 4 求几个相差不大的数的和求几个相差不大的数的和 方法 把这些加数最接近的整十或整百 千 万 作为基 准数 先用这个基准数乘以加数的个数 再加上所有超过基准数部 分的数 减去所有与基准数相差的数 如 78 76 83 82 77 80 5 3 2 2 4 3 396 5 数列求和数列求和 等差数列 等差数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的 差等于同一个常数 这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数 列的公差 常用字母 d 表示 任一项用 an n 为正整数 表示 和 用 Sn表示 等差数列的性质 等差数列的性质 an a1 n 1 d Sn a1 an n 2 如 1 3 5 7 9 11 13 1 13 7 2 49 如 10 14 18 22 26 30 10 30 6 2 120 等比数列 等比数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的 商等于同一个常数 这个数列就叫等比数列 这个常数叫做等比数 列的公比 常用字母 q 表示 任一项用 an n 为正整数 表示 和 用 Sn表示 等比数列的性质 等比数列的性质 an a1qn 1 Sn a1 1 qn 1 q q 1 Sn na1 q 1 如 2 4 8 16 32 2 1 25 1 2 62 如 1 3 9 27 81 1 35 1 3 121 6 求求 1 n n 1 数列的和数列的和 方法 和等于 n n 1 3 如 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 n n 1 1 1 n 1 n n 1 1 n n 1 1 n 1 n 又 求 1 n n m 数列的和 1 n n m 1 m 1 n 1 n m 7 一目三行加法一目三行加法 方法 提前虚进 1 中间弃 9 末尾弃 10 相加不够 9 的用分 段法 直接相加 并提前虚进 1 中间数相加大于 19 的弃 19 前 边多进 1 末尾数相加大于等于 20 的弃 20 前边多进 1 例一 365427158 644785963 742334452 1752547573 3 6 5 4 2 7 1 5 8 6 4 4 7 8 5 9 6 3 7 4 2 3 3 4 4 5 2 1 7 5 2 5 4 7 5 7 3 解 上式中 是三行 9 位数相加 未加之前先虚进 1 最高位写 1 个 1 提前虚进 1 位 3 和 6 凑 9 弃掉剩 7 下写 7 位 6 和 4 凑 9 弃掉 还剩 1 1 4 5 下写 5 如此 弃 9 位因它是末尾数 末尾弃 10 8 2 凑 10 弃掉 还剩 3 下写 3 这个加式的最终和是 1752547573 例二 注意事项一 中间数字的和小于 9 分段直加法 360427158 644785963 742334452 1747547573 3 6 0 4 2 7 1 5 8 6 4 4 7 8 5 9 6 3 7 4 2 3 3 4 4 5 2 1 7 4 7 5 4 7 5 7 3 解 在 之间划一线 线前后采用分段直加法 4 上式中 是三行 9 位数相加 未加之前先虚进 1 最高位写 1 个 1 提前虚进 1 位 3 和 6 凑 9 弃掉剩 7 下写 7 位 6 和 4 凑 10 弃掉 下写 4 直加提前虚进 1 写 7 如此弃 9 位因它是末尾数 末尾弃 10 8 2 凑 10 弃掉 还剩 3 下写 3 这个加式的最终和是 1747547573 例三 注意事项二 中间数字的和大于 19 分段直加法 369427158 644785963 748334452 1762547573 3 6 9 4 2 7 1 5 8 6 4 4 7 8 5 9 6 3 7 4 8 3 3 4 4 5 2 1 7 6 2 5 4 7 5 7 3 解 在 之间划一线 线前多进 1 线后弃 19 上式中 是三行 9 位数相加 未加之前先虚进 1 最高位写 1 个 1 提前虚进 1 位 3 和 6 凑 9 弃掉剩 7 下写 7 位 6 和 4 凑 9 弃掉 乘 1 4 1 多进 1 弃 19 写 2 如此弃 9 位因它是末尾数 末尾弃 10 8 2 凑 10 弃掉 还剩 3 下写 3 这个加式的最终和是 1762547573 二 二 减法速算减法速算 8 减整加补法 减整加补法 多减要加上 少减要减去 多减要加上 少减要减去 两位数减一位数的补数减法 十位减 1 个位加补 如 15 8 15 10 2 7 9 多位数补数减法多位数补数减法 一是 减去一个数 先减去整 10 100 1000 再加上对 应 10 100 1000 的补数 5 如 268 89 268 100 11 179 二是 互补数的减法 对 100 1000 10000 的互补数减 法 大数对应减去 50 500 5000 再乘以 2 就是差 如 87 13 87 50 2 74 762 238 762 500 2 324 10 调换位置的减法调换位置的减法 两个十位数互换位置 速算差 十位数减个位数再乘以 9 等于差 数 如 86 68 8 6 9 18 求只是百位数和个位数互换位置的两个三位数的差 方法一 算出百位数与个位数的差 再算出差对于 100 的补数 差再减 1 与补数连写等于所求差数 方法二 算出百位数与个位数的差再乘以 9 在积的中间写上 9 就是所求差数 如 721 127 594 计算方法 7 1 6 6 对于 100 的补数为 94 6 再减 1 为 5 两数连写为 594 或 7 1 9 54 在 54 中间 写上 9 即 594 如 725 527 198 7 5 9 18 在 18 中间写上 9 即 198 11 多位数连减法多位数连减法 方法一 采用补数加减数的方法达到速算 先找到被减数的补 数 然后将所有的减数当成加数连加 再看和的补数是多少 和的补数 就是所求之差数 如 653 35 67 43 168 340 先找被减数 653 的补数 653 的补数是 347 然后连加减数 347 35 67 43 168 660 660 的补数为 340 差数就得 340 方法二 如果几个减数能凑成整十或整百 整千 万 就 6 把它们先结合起来相加 再用被减数减去它们 如 532 263 137 532 263 137 132 方法三 如果减去几个数 可以先减去与被减数的后几位相同 的减数 再减去其它的数 如 643 169 143 643 143 169 500 169 331 三 三 乘法速算乘法速算 12 任意两位数的乘法任意两位数的乘法 头加 1 乘法 任意两个十位数相乘 都可按头加 1 方法计算 头加 1 后 头乘头 尾乘尾 没有十位用 0 补 两积连写为前积 计算后积 后积的关键是 第一比首 就是被乘数首比乘数首小几或大 几 大几就加几个乘数尾 小几就减几个乘数尾 第二是比两个尾数的 和比 10 大几或小几 大几就加几个乘数首 小几就减几个乘数首 加 减位置是 一位数十位加减 两位数百位加减 也即是两比之数相加乘 以 10 为后积 前积 后积 乘积 如 35 28 980 3 1 2 8 5 8 40 连写 840 前积 后 积计算 一比首 3 比 2 大 1 就要加一个乘数尾 加 8 二比两数尾数 5 8 10 3 就加 3 个乘数首 3 2 6 8 6 10 140 后积 840 140 980 乘积 如 28 35 980 2 1 3 9 8 5 40 连写为 940 前积 一 是比首 2 比 3 小 1 减一个乘数尾 减 5 二是比尾 8 5 10 3 就加 三个乘数首 3 3 9 9 5 10 40 后积 940 40 980 乘积 交叉法 分三步完成 一是个位数上下相乘 二是个位数和十位数交叉相乘积相加 有进位的加进位 三是十位数上下相乘 有进位的加进位 如 34 52 1768 34 52 1768 4 2 8 第一步 34 52 68 第二步 34 52 1768 第三步 7 解 个位数上下相乘 2 4 8 写在个位上 个位数是 8 个位数和十位数交叉相乘 积相加 13 任意三位数乘以两位数的乘法任意三位数乘以两位数的乘法 个乘数首 3 3 9 9 5 10 40 后积 940 40 980 乘积 14 因数分组凑整法因数分组凑整法 方法 几个数连乘时 先把 5 的倍数和 2 的倍数 以及其他 能速算的数分别结合相乘 再把它们的积相乘 如 15 17 22 15 22 17 330 17 5610 如 25 64 125 25 4 2 8 125 200000 15 互补两位数乘法互补两位数乘法 1 1 首尾互补与首尾相同的两位数乘法 头加首尾互补与首尾相同的两位数乘法 头加 1 1 乘法 乘法 一数首尾相同 另一个数首尾互补 其计算方法是 首尾相同数 的头与互补两位数的头加 1 相乘为前积 尾乘尾为后积 十位没有用 0 补 两积连写为乘积 头加 1 乘法 如 33 37 1221 3 3 1 12 前积 7 3 21 后积 连写 1221 如 82 33 2706 8 1 3 100 2 3 2706 还可用两位数与 11 相乘的方法 两边一拉 中间相加 如 37 33 37 11 3 407 3 1221 如 82 22 82 11 2 902 2 1804 推广 推广 互补两位数与多位数 每位数相同 相乘 也是如此互补两位数与多位数 每位数相同 相乘 也是如此 只只 8 是中间差几位是中间差几位 多位数位数 多位数位数 2 2 就用相同数补齐 就用相同数补齐 如 三位数 28 444 12432 如 四位数 37 3333 123321 如 五位数 73 66666 4866618 2 2 两个头互补两个头互补 尾相同的乘法 尾相同的乘法 两个十位数头互补 两个尾数相同 其计算方法是 头乘头后加尾 数为前积 尾自乘为后积 没有十位用 0 补 前积与后积连写为乘积 如 48 68 3264 4 6 8 32 前积 8 8 64 后积 连写为 3264 如 32 72 2304 3 7 2 23 前积 2 2 4 04 为后积 连写为 2304 3 3 互补的两位数的乘法 互补的两位数的乘法 方法一 用 2500 减去其中一个数与 50 的差的平方 50 n 50 n 2500 n2 如 32 68 2176 2500 182 2176 方法二 用其中任意一个数的 100 倍减去它的平方 如 69 31 2039 3100 312 2039 方法三 用 头加一乘法 一般大数排前 68 32 2176 6 1 3 21 与 2 8 16 连写 2116 前积 6 2 20 60 后积 2116 60 2176 4 4 首位都是首位都是 5 5 的两位数乘法的两位数乘法 方法 两个十位数相乘 首位都是 5 时 先求出 5 的平方 再求出 尾数和的一半 取整 两数相加为前积 然后求两个尾数的积 如两 尾数之和为奇数需在两个尾数的积的十位加 5 如有进位 需在前 积个位加 1 没有十位用 0 补 为后积 连写起来就是应求的乘积 9 如 58 54 3132 计算过程 5 5 25 8 4 2 6 25 6 31 前积 8 4 32 后积 两积连写为乘积 3132 如 58 57 3306 计算过程 5 5 25 8 7 2 7 5 25 7 32 8 7 56 56 的十位加 7 5 的小数位 5 106 十位满 10 向百位进 1 32 1 33 前积 06 为 后积 两积连写为乘积 3306 另 用 头加 1 乘法 一般大数排前 58 57 3306 5 1 30 与 8 7 56 连写 3056 8 7 10 50 250 3056 250 3306 5 5 尾数都是尾数都是 5 5 的两位数乘法的两位数乘法 方法 两个十位数相乘 尾数都是 5 的乘法 先求出首位数的积 再加上首和的一半 取整 为前积 再连写 25 两首数之和是偶数时 末尾是 5 的平方 或 75 两首数之和是奇数时 在 5 的平方的十位 加 5 就是应求的数 如 65 85 5525 计算过程 6 8 48 6 8 2 7 48 7 55 前积 5 5 25 后积 两积连写 5525 为所求乘积 如 35 65 2275 计算过程 3 6 18 3 6 2 4 5 18 4 22 前积 25 的十位加 5 75 后积 两积连写为 2275 另 用 头加 1 乘法 一般大数排前 10 如 65 35 2275 6 1 3 21 5 5 25 连写 2125 6 3 50 130 2125 150 2275 推广一 推广一 一个数乘一个数乘 5 5 时 把这个数乘时 把这个数乘 1010 再除以 再除以 2 2 简称 简称 添添 0 0 折半法折半法 一个数乘以 一个数乘以 2525 把这个数乘以 把这个数乘以 100100 再除以 再除以 4 4 一个数 一个数 乘以乘以 125125 把这个数乘以 把这个数乘以 10001000 再除以 再除以 8 8 如 23 5 23 10 2 115 124 25 124 100 4 3100 6123 125 612 3 1000 8 765375 推广二 推广二 一个数乘一个数乘 5 5n n的积 把这个数先除以的积 把这个数先除以 2 2n n 再乘以 再乘以 1010n n 即为所求乘积 设被乘数为即为所求乘积 设被乘数为 a na n 为自然数为自然数 则则 a a 5 5n n a a 2n 2n 5n a a 2n 10n 如 369 125 369 53 369 23 103 46125 推广三 推广三 一个数乘一个数乘 0 50 5n n的积 用这个数除以的积 用这个数除以 2 2n n 设被 设被 乘数为乘数为 a na n 为自然数为自然数 则则 a a 0 5 5n n a a 1 2 n a a 2n 如 138 0 25 138 0 52 138 22 34 5 6 6 首数相同的两位数乘法首数相同的两位数乘法 两个十位数相乘 首位数相同 方法一 首位数加 1 乘以首位数的 100 倍为前积 尾加尾减 10 再乘以首位数的十倍为中积 尾乘尾为后积 前积 中积 0 为加 0 为减 后积 乘积 如 36 35 1260 3 1 300 6 5 10 30 6 5 1260 如 36 32 1152 3 1 300 6 2 10 30 6 2 1152 方法二 将方法一化简即可得 先写上一个数加上另一个数的 11 个位数的和再乘以首位数十倍的积 再加上两个数的个位数的乘积 积满几十 前面的积就加几 如 32 34 32 4 30 2 4 1088 另 用 头加 1 乘法 一般大数排前 如 34 32 1088 3 1 3 12 与 4 2 08 无十位用 0 补 连 写 1208 4 2 10 30 120 1208 120 1088 特殊情况一 特殊情况一 首同尾互补的乘法 计算时省略中积的首同尾互补的乘法 计算时省略中积的 计算即可 计算即可 两个十位数相乘 首数相同 而尾数互补 计算方法 首数加 1 乘首数为前积 尾乘尾 十位没有用 0 补 为后积 前积与后积 连写起来 就是应求的得数 头加 1 乘法 如 26 24 624 2 1 2 6 6 4 24 连写为 624 如 31 39 1209 3 1 3 12 1 9 9 09 为后积 连写为 1209 此法也可以推广为多位数 如 476 474 225624 47 1 4700 6 4 225624 特殊情况二 特殊情况二 乘数加倍乘数加倍 加半或减半的乘法 加半或减半的乘法 在首同尾互 补的计算上 可以引深一步就是乘数可加倍 加半倍 也可减半倍的计 算与特殊情况一同 加倍 加半或减半时没有进位数或出现小数的计算 如 48 42 是规定的算法 然而 可以将乘数 42 加倍位 84 也可 以减半位 21 也可加半倍位 63 都可以按规定方法计算 48 21 1008 48 63 3024 48 84 4032 有进位数或出现小数的计算 如 87 83 7221 将 83 加倍 166 此时就应变为 8 1 16 144 前积 7 6 42 为后积 连写为 14442 将 83 减半 41 5 此 时就应变为 8 1 4 36 为前积 7 1 5 10 5 为后积 连写为 3610 5 关键在于把 16 看为首数和把 1 5 看为尾数 12 16 十位是十位是 1 的两位数乘的两位数乘法法 十位是 1 的两位相乘 将一个数的个位数与另一个数相加乘以 10 然后再加两个尾数的积 就是应求的得数 如 12 13 156 将 2 13 10 150 尾数 2 3 6 相加为 156 17 两位数与两位数与 11 的乘法 两边一拉 中间相加 满的乘法 两边一拉 中间相加 满 10 进进 1 如 23 11 253 把 23 写在百位和个位 2 3 5 写在中间十 位得 253 如 59 11 把 59 写在百位和个位 5 9 14 1 加在百位 5 上得 649 推广一 推广一 任何数乘以任何数乘以 1111 的排积法 乘积的书写顺利为 被乘数的排积法 乘积的书写顺利为 被乘数 的个位为积的个位 个位加十位为积的十位的个位为积的个位 个位加十位为积的十位 满十向百位进一满十向百位进一 十位十位 加百位为积的百位加百位为积的百位 如低位有进位需加上如低位有进位需加上 满十向千位进一满十向千位进一 依次进依次进 行行 最高位 如有进位需加进位 为积的最高位 最高位 如有进位需加进位 为积的最高位 如 2345 11 25795 5 为个位 5 4 7 为积的十位 4 3 7 为积 的百位 3 2 5 为积的千位 万位为被乘数的首位 2 如 567 11 6237 推广二 推广二 利用利用 1111 的排积法 可以对的排积法 可以对 1212 2222 等都能直接报数 等都能直接报数 任意数乘以 12 首位为积的首位 低位如有进位需加上 高位 数加倍再下一位为积的第二位 低位如有进位需加上 百位数加 倍加十位为积的百位 低位如有进位需加上 十位数加倍加个位为 积的十位 低位如有进位需加上 个位数加倍为积的个位 满 10 进位 13 如 12 321 3852 12 367 4304 任意数乘以 22 首位加倍为积的首位 低位如有进位需加上 高位数加下一位的和加倍为积的的第二位 低位如有进位需加上 百位数加十位的和加倍为积的百位 低位如有进位需加上 十 位数加个位的和加倍为积的十位 低位如有进位需加上 个位数加 倍为积的个位 满 10 进位 或即任意数加倍后 错位相加 如 22 321 7062 推广三 推广三 几十几乘以几十几乘以 111111 的积 在两个数中间添上两个十位数的积 在两个数中间添上两个十位数 与个位数的和与个位数的和 满满 1010 向高位进向高位进 1 1 如 53 111 5883 5 5 3 5 3 3 如 78 111 8658 7 7 8 7 8 8 推广四 推广四 两个数每位都是两个数每位都是 1 1 的乘法 位数少的数为的乘法 位数少的数为 n n 位位 n 10 nn m n 先确定积的位数 先确定积的位数 m n 1 m n 1 以位数少的数 以位数少的数 n n 位 为准 从位 为准 从 1 1 写到写到 n n 后一位比前位大后一位比前位大 1 1 接着写上 接着写上 m n 1m n 1 m n m n 1 2n1 2n 个 个 n n 再从 再从 n n 写到写到 1 1 后一位比前位小 后一位比前位小 1 1 如 1111 1111111 1234444321 先写 1234 接着写 2 7 4 1 个 4 再写 4321 11111 111111111 1234555554321 1111111 1111111111 1234567777654321 特殊情况 特殊情况 m n 时 直接从 1 写到 n 再写到 1 即求每位都是 1 的数的平方 如 1111 1111 1234321 18 稍大于稍大于 100 500 的乘法的乘法 1 两个乘数都稍大于 100 可以采用一百零几的规律计算 首位 14 不动 尾相加 无十位用 0 补 尾相乘 无十位用 0 补 把得数连写 起来 就是乘积 先排首位 再排尾数和 最后排尾数积 如 106 107 11342 计算过程 排首位 1 排尾数和 6 7 13 排尾数积 6 7 42 把 1 13 42 连接起来 得乘积 11342 100 6 100 7 100 100 6 100 7 100 6 7 10000 6 7 100 6 7 2 以一百零几为标准 可对稍大于一百几的任何数进行计算 如 112 113 12656 计算程序是 112 13 100 12 13 12500 156 12656 3 以一百零几为标准 可对稍大于 200 500 的数进行计算 要扩大倍数 几百就扩大几百倍 如 205 208 42640 计算程序是 205 8 200 5 8 213 200 40 42640 4 稍小于 100 500 的乘法 稍小于 100 500 的数码 要利用 补数计算 方法一 方法一 从一个乘数中减去另一个乘数的补数 为前积 再加两个 数的补数的积 无十位用 0 补 为后积 两积连写 如 86 96 8256 计算程序是 86 4 100 14 4 8200 56 8256 86 的补数 14 96 的补数 4 特别是首数是 9 的两位数的乘法 如 97 94 9118 计算过程 97 6 91 前积 两个尾补的积是 3 6 18 后积 连写为 9118 15 推广 任意两位数相乘 均可用此方法 将一数减去另一数的 补数的差的个位加上补数的积百位数为前积 留两个补数的积的十位 和个位为后积 前积和后积连写等于乘积 如 83 74 6142 83 26 57 17 26 442 42 为后积 57 4 61 前积 前积与后积连写为 6142 方法二 方法二 先写上 100 分别减去这两个数的补数的差 再写上两 个数的补数的积 无十位用 0 补 如 96 93 8928 100 4 7 89 4 7 28 5 一个数稍大于 100 500 另一个数稍小于 100 500 的乘法 方法 小数加大数零头 扩大接近数的倍数 再减去大数零头 与小数补数的积 就是应求的得数 如 104 98 10192 计算程序是 98 4 100 4 2 10200 8 10192 6 稍小于 1000 的两个数的乘法 方法 先写上一个数减去另一个数的补数的差 再写一个 0 最后写两个数的补数的积 如补数的积无十位 则用 0 补 如 992 996 988032 992 4 988 0 8 4 32 988032 992 4 0 8 4 7 稍大于 1000 的两个数的乘法 方法 先写上一个数加上另一个数的个位数的和 再写一个 0 最后写两个数的个位数的积 积无十位用 0 补 16 如 1008 1009 1017072 1008 9 1017 0 8 9 72 1017072 1008 9 0 8 9 8 一个数乘以 101 和 1001 的乘法 方法 用这个数的 100 倍 1000 倍再加上这个数 如 237 101 237 100 1 23700 237 23937 如 82 1001 82 1000 1 82000 82 82082 19 十几乘几十几的乘法十几乘几十几的乘法 方法 一个数是十几与 20 以上的几十几的数相乘 大数加上大 数头与小数尾的积再乘以 10 后 加上两个尾数的积 就是应求得数 如 26 13 338 即 大数头 2 乘小数尾 3 得 6 加在大数 26 上得 32 乘 10 得 320 再加上两个尾数的积即 6 3 18 320 18 338 20 123456789 乘以乘以 90 以内的以内的 9 的倍数的倍数的乘法的乘法 方法 乘数是 9 的几倍 就先写 8 个几 接着写一个 0 再写 一个几 设 n 小于 10 的任意自然数 则 123456789 9n 123456789 9 n nnnnnnnn0n 如 123456789 27 123456789 9 3 3333333303 21 一数和为一数和为 9 另一数为连接数的乘法另一数为连接数的乘法 方法 凡是一个两位数的和为 9 另一数为连接数 其计算方法是 头加 1 后 头乘头为前积 尾补乘尾补为后积 中间不管有多少位数 不 用计算 都是头加 1 那个数 中间的个数为多位数的位数 2 如 72 4567 328824 计算过程 7 1 8 8 4 32 前积 17 两个尾补的积是 8 3 24 后积 中间两位数是 88 不用计算 这 两位都是头加 1 的数 都是 8 72 4567 就得 328824 22 9 的倍数乘法的倍数乘法 22 1 9 的倍数是指 18 27 36 45 54 63 72 81 198 297 等等 都 是 9 的倍数 都可以用一位数计算 接近整数据的补数 方法 用一位去乘任何数 得出积来错位相减即可得到乘积 如 18 20 2 297 300 3 3996 4000 4 等等 用一位去乘任 何数 得出积来错位相减即可得到乘积 如 27 35 945 27 30 3 30 35 1050 1050 105 945 22 2 任何数乘以 9 99 999 的乘法 方法 任何数乘以 10 100 1000 再减任何数 如 34 99 3366 两位数乘以 99 先写两位数减 1 接着写 两位数对 100 的补数 去 1 添补法 235 999 234765 三位数乘以 999 先写三位数减 1 接着写 三位数对 1000 的补数 去 1 添补法 56 999 55944 两位数乘以 999 先写两位数减 1 接着写两 位数对 1000 的补数 去 1 添补法 23 3 的倍数的乘法的倍数的乘法 3 的倍数乘以的倍数乘以 34 方方 法 法 先用 3 的倍数除以 3 得商 商再乘以 102 为所求乘积 如 168 34 168 3 3 34 56 102 5712 18 扩广一 扩广一 3 的倍数 0 为加 3 11 21 77 方法二 使它们成为同分子 根据 分子相同的两个分数 分 母小的分数反而大 来比较 如 4 7 12 21 3 11 12 44 方法三 利用十字相乘法巧比分数大 小 具体办法 把分数的分子和分母按箭头 所示方向将两数相乘 靠近较大积的分数 含分子因数 比较大 如 4 7 3 11 44 21 方法四 请 出一个3 7或4 11或1 2 分别和4 7 3 11比较 如 4 7 3 7 3 11 4 7 4 11 3 11 4 7 3 5 7 1 2 5 5 11 3 11 方法五 甲分数除以乙分数 都是正分数 的积如果大于 1 则甲分数大 反之 分数乙大 4 7 3 11 44 21 1 所以4 7 3 11 四 四 除法速算除法速算 29 32 几种试商方法几种试商方法 1 差数试商法差数试商法 在两位数除法中 常会遇到除数是十几 被除数的前两位也是 十几 但比除数小 此时采用 差数试商法 差数试商法规律如下 如果差数是 1 或 2 初商为 9 如果差数是 3 或 4 初商为 8 如果差数是 5 或 6 初商为 7 如果差数是 7 或 8 初商为 6 如果 差数为 9 初商为 5 如 158 16 9 14 除数与前两位差为 1 158 17 9 2 除数与前两位差为 2 158 18 8 14 除数与前两位差为 3 158 19 8 6 除数与前两位差为 4 2 随商随入 五加四减法随商随入 五加四减法 在除数是两位数的除法中 尾数是 5 的试商 可用 四舍五入 法 估商加 1 试商 尾数是 4 的试商 用 四舍五入法 估商减 1 试商 如 284 34 8 12 把 34 看成 30 估商 9 减 1 后 用 8 试商 试商后定为 8 284 45 6 14 把 45 看成 50 估商为 5 加 1 后 用 6 试 商 调商后定为 6 3 同头商八九同头商八九 同头是指被除数与除数的最高位上的数字相同 俗称同头 而 且被除数的前两位或三位不够除除数 俗称无除 可用试商八或九 如 4675 49 95 20 30 33 某数除以某数除以 5 25 125 时时 1 被除数被除数 5 去 去 0 加倍法 加倍法 被除数 10 2 被除数 10 2 去 0 加倍法 被除数 2 10 加倍去 0 法 2 被除数被除数 25 被除数 4 100 被除数 2 2 100 3 被除数被除数 125 被除数 8 100 被除数 2 2 2 100 34 2 4 8 16 32 的除法的除法 2 4 6 8 16 32 除任意数 可以用半数法计算 就是用 5 乘 除数是 2 的几次方就折几次半数 除数是 2 就折一次 如 16 是 2 的 4 次方 就折 4 次半数 如 32 4 8 4 4 是 2 的 2 次方 折两次半 32 一 半是 16 16 一半是 8 32 4 就得 8 35 求一个三位数除以求一个三位数除以 9 的商的商 方法一 方法一 用该数的百位数组成的两位数加上十位数 再加上被 除数的各位上的数的和除以 9 的商 如 128 9 11 2 1 2 8 9 142 9 如 386 9 33 8 3 8 6 9 428 9 方法二 方法二 用该数的百位数加上个位数前面的数 再加上被除数 的各位上的数的和除以 9 的商 如 253 9 2 25 2 5 3 9 281 9 如 578 9 5 57 5 7 8 9 642 9 方法三 方法三 用该数的个位数前面的数加上它与个位数的和除以 9 31 的商 如 157 9 15 15 7 9 174 9 如 325 9 32 32 5 9 361 9 36 求一个数除以求一个数除以 5n的商的商 方法 先用被除数乘以 2n 再把这个积的小数点向左移 n 位 或 再除以 10n 如 37 5 37 21 101 7 4 如 276 25 276 22 22 52 276 22 102 10 04 37 求一个多位合数除以一个两位合数的商求一个多位合数除以一个两位合数的商 方法 先把除数分解成两个数的积 再用被除数依次除以这两 个数 如 168 18 168 2 9 84 9 91 3 如 628 24 628 4 6 157 6 261 6 38 求一个数除以求一个数除以 0 5n的商的商 方法 用被除数乘以 2n 如 13 0 5 13 2 26 如 257 0 25 257 22 1028 39 求被除数的分子和分母分别是除数他子他母倍数的求被除数的分子和分母分别是除数他子他母倍数的 两个分数的商两个分数的商 方法 用分子除以分子的商作为分子 分母除以分母的商作分 母 如需化简 需要约分 如 6 7 2 7 6 2 7 7 3 如 16 39 2 13 16 2 39 13 22 3 40 求分子相同的两个分数的商求分子相同的两个分数的商 方法 用被除数分母作分母 用除数的分母作分子 如需化简 需要约分 如 5 8 5 7 7 8 32 如 112 215 112 125 125 215 25 43 41 求分母相同的两个分数的商求分母相同的两个分数的商 方法 用被除数分子作分子 用除数的分母作分母 如需化简 需要约分 如 5 9 7 9 5 7 如 20 23 8 23 20 8 21 2 42 平方米和亩换算平方米和亩换算 方法 先用平方米加上它的一半的数 再把这个和的小数点向 左移三位 除以 1000 如 130m2 130 130 2 1000 亩 0 195 亩 如 237m2 237 237 2 1000 亩 0 4905 亩 第二章第二章 多位数加 减 乘 除的验算多位数加 减 乘 除的验算 43 用九余数法验算用九余数法验算 九余数 九余数 一个数除以 9 所得的余数 叫做这个数的九余数 求九余数的方法 求九余数的方法 把一个数的各位数相加 求出各位数之和 如果和是两位数 再求这个两位数各位数字之和 直到和是一位数 为止 一位数是 9 时 其九余数为 0 如 17245 的九余数 17245 1 7 2 4 5 19 1 9 10 1 0 1 1 就是 17245 的 九余数 九余数验算法 九余数验算法 利用九余数进行验算的方法叫九余数验算法 利用九余数进行验算的方法叫九余数验算法 也叫弃九验算法 也叫弃九验算法 A 加法验算 加法验算 如 7386 4208 11594 先求出被加数 7386 的九余数 7386 7 3 8 6 24 2 4 6 把 6 写在 的左边 如右图 33 再求出加数 4208 的九余数 4208 4 2 0 8 14 1 4 5 把 5 写在 的右边 把 左 右两数相加 和如果是两位数 再求出两位数各位 数字之和 即 6 与 5 和的九余数 6 5 11 1 1 2 把 2 写在 的上边 最后求和 11594 的九余数 11594 1 1 5 9 4 20 2 0 2 把 2 写在 的下边 如上图 的上下两个数都是 2 可知计算是正确的 B 减法验算 减法验算 如 17546 9382 8164 被减数 17546 的九余数 17546 1 7 5 4 6 23 2 3 5 把 5 写在 的 左边 如右图 减数 9382 的九余数 9382 9 3 8 2 22 2 2 4 把 4 写在 的右边 被减数的九余数 5 减去减数的九余数 4 5 4 1 写在 的上 边 求差的 8164 的九余数 8164 8 1 6 4 19 1 9 10 1 0 1 把 1 写在 的下边 如上图 的上下两个数都是 1 可知计算是正确的 C 乘法验算 乘法验算 如 865 348 30102 被乘数 865 的九余数 865 8 6 5 19 1 9 10 1 0 1 把 1 写在 的左边 如右图 34 乘数 348 的九余数 348 3 4 8 15 1 5 6 把 6 写在 的右边 被乘数的九余数与乘数的九余数的积的九余数 1 6 6 把 6 写在 的上边 积 30102 的九余数 30102 3 0 1 0 2 6 把 6 写在 的下边 如上图 的上下两个数都是 6 可知计算是正确的 D 除法验算 除法验算 无余数除法的验算 无余数除法的验算 如 100232 268 374 除数 268 的九余数 268 2 6 8 16 1 6 7 把 7 写 在 的左边 如右图 商 374 的九余数 374 3 7 4 14 1 4 5 把 5 写在 的右边 除数的九余数与商的九余数之积的九余数 7 5 35 3 5 8 把 8 写在 的上边 被除数 100232 的九余数 100232 1 0 0 2 3 2 8 把 8 写在 的下边 如上图 的上下两个数都是 8 可知计算是正确的 有余数除法的验算 有余数除法的验算 如 2731596 7284 375 96 除数 7284 的九余数 7284 7 2 8 4 21 2 1 3 商 375 的九余数 375 3 7 5 15 1 5 6 除数的九余数与商的九余数之积的九余数 3 6 18 1 8 9 0 把 0 写在 的左边 如右图 余数 96 的九余数 96 9 6 15 1 5 6 把 35 6 写在 的右边 再求出 左右两边的九余数的和的九余数 0 6 6 把 6 写 在 的上边 最后求被除数 2731596 的九余数 273196 2 7 3 1 5 9 6 33 3 3 6 把 6 写在 的下边 的上下两个数都是 6 可知计算是正确的 第三章第三章 数的整除数的整除 44 数的整除数的整除 整除概念整除概念 是数学中两个自然数 不包括 0 之间的一种关系 整除是指被除数和除数都是自然数 如果商是整数 没有余数 那么我们就说被除数能被除数整除 例如 15 可以被 5 整除 20 不能被 6 整除 因为余数为 2 其他有关整除的一些概念其他有关整除的一些概念 对自然数 a b b 0 若存在自然数 c 使 a bc 则称 b 整除 a 记作 b a b 称为 a 的因数 a 称为 b 的倍数 整除有下列 基本性质 若 a b a c 则 a b c 若 a b 则对任意 c a bc 对任意 a 1 a a a 若 a b b a 则 a b 对任意整数 a b b 0 存在唯一的整数 q r 使 a bq r 其中 0 r b 这个事实称为带余除法定理 是整除 理论的基础 若 c a c b 则称 c 是 a b 的公因数 若 d 是 a b 的公因数 且 d 可被 a b 的任意公因数整除则称 d 是 a b 的 最大公因数 当 d 0 时 d 是 a b 公因数中最大者 若 a b 的最 36 大公因数等于 1 则称 a b 互素 累次利用带余除法可以求出 a b 的最大公因数 这种方法常称为辗转相除法 又称欧几里得算 法 整除的规律 整除的规律 能被 1 整除的数 任何数 能被 2 整除的数 个位上是 0 2 4 6 8 的数 能被 3 整除的数 每一位上数字之和能被 3 整除的数 能被 4 整除的数 最后两位能被 4 整除的数 能被 5 整除的数 个位上是 0 或 5 的数 能被 6 整除的数 能同时被 2 和 3 整除的数 能被 7 整除的数 把个位数字截去 再从余下的数中 减去个 位数的 2 倍 差是 7 的倍数的数 能被 8 整除的数 最后三位能被 8 整除的数 能被 9 整除的数 每一位上数字之和能被 9 整除的数 能被 10 整除的数 整数的末位是 0 的数 能 11 整除的数 一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差 能被 11 整除的数 从右边向左 11 的倍数检验法也可用上述检 查 7 的 割尾法 处理 过程唯一不同的是 倍数不是 2 而是 1 能被 12 整除的数 一个整数能被 3 和 4 整除 能被 13 整除的数 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数 中 加上个位数的 4 倍 如果差是 13 的倍数 则原数能被 13 整除 如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相加 验差 的过程 直到能清楚判断为止 能 17 整除的数 a 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数 37