-点阵中的规律.doc

海淀区五年级教研组活动2007年12月20日课题：点阵中的规律北京师范大学出版社 校名：中关村第一小学姓名：柳迪 时间：2007年12月20日1、 设计理念：本节课是北师大版小学数学五年级上册的内容。本课的内容是独立成篇的，与本单元的其它知识之间没有必然的前后联系，是一节相对独立的数学活动课。教材提供的学习内容对于五年级的学生来说比较容易，本节课知识虽然简单，却是帮助学生建立数学模型的好题材。即是让学生能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系，发展学生的归纳与概括的能力，渗透数形结合的思想。数形结合非常符合儿童的认识规律，是一种重要的教与学的方法。我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“数无形而少直观，形无数而难入微。”这句话阐明了数形结合的道理。数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是数学的基石。“数”主要指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物。而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物，数形结合使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。数形结合思想的实质，即：通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题；或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。在我们的小学数学教学中，如果能突出数形结合思想，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“点阵中的规律”一课就是让学生通过观察点阵图形（以正方形和三角形为主）中一个个离散的点的排列规律，发现所对应的数的内部组成特点。其实，古希腊以毕达哥拉斯学派的学者们早在二千多年前就曾倾心玩赏过一些用离散的点阵所构成的特殊图形。正像中国人弄出来的幻方一样，这些图形可区分为不同的派系。他们还研究了各个派系之间的相似性，并由此而发现了级数。以此为契机，后来的一些大数学家，如欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯等，都曾对此作过探讨。数学家们为什么都对它特别垂青，另眼相看呢？一言以蔽之，它是既有数，又有形，数形结合，是逻辑推理与直观形象的会聚点，在启迪思维方面确有独到之处，是其他东西所替代不了的。2、 教材分析：进入五年级，学生在对数的认识的过程中，已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，还有认识了小数、分数。图形部分中，长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征学生已经有了深刻的认识。因此让学生借助棋子摆出一些几何图形是没有困难的。北师大版的数学教材中对因数、倍数、质数、合数等抽象概念的教学都是通过数形结合的思想方法来引导学生学习的，学生在应用题的学习时也通过画线段图、韦恩图、示意图以及表格等把数量关系转化为形象的图形关系，所以五年级的学生是具备用数形结合的方法分析问题的基础的。翻阅数学史，早在二千多年前的古希腊，以毕达格拉斯为代表的数学家就开始借助图形去研究数， 提出了区别奇数、偶数、素数的方法；还研究了三角形数、正方形数、五边形数等。在对学生和教材进行了深入的分析后，我对这节课的设计是以“数形结合”为主线，着重让学生“做数学”经历探索“正方形数”、“三角形数”的过程。而且，五年级的学生对学习“有用”的数学更感兴趣，所以，这节课主要是要用数学本身魅力来吸引学生的兴趣，在研究几何形数的过程中丰富学生对数学发展的认识，感受数学文化的魅力。本教学设计试图以看图、摆图为基础，建立形与数两者之间的联系，并使学生感受到对数的研究可以从图形去认识。以“正方形点阵和正方形数”为切入点，其目的是先为学生提供探索几何形数的研究方法，激发学生学习数学的兴趣。在探索正方形点阵的规律之前，我采用了先让学生借助棋子摆出正方形，并引入了正方形数的概念，目的是为了教学时交流的方便，更重要的还是想突出体现数形结合的数学核心思想。从调研看，有近三分之二的学生不能从不同的角度去观察点阵图形的排列规律，不能把所观察到的规律用算式表示出来，所以引导学生从不同的角度去观察点阵的排列规律，便成了学生学习的难点。所以在探索正方形点阵的排列规律的活动中，我虽然放手让学生去观察，但还是提供了一份观察提纲，目的是更好的发挥学生的主体作用和教师的组织引导作用，让学生掌握研究点阵图形的方法。在探索“三角形数”的活动中，我再次提供学生动手操作的机会，让学生在摆出三角形的点阵图形的活动中感悟三角形数的特点。这样数和形的有机结合，或许能使学生对数的认识更充分，印象深刻，并能激发起学生探索其他几何形数的兴趣和热情。3、 教学目标：l 通过活动，使学生了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律。 l 培养学生的观察、比较、分析和解决问题方法的能力。 l 通过此活动，提高学生建立数学模型的兴趣、培养学生的空间想象能力。4、 教学重点：让学生通过观察点阵（数学模型）前后的变化与联系找出其变化规律。5、 教学难点：培养学生的空间想象能力。6、 教学用具：每个小组有40颗左右的棋子、活动报告单7、 教学过程： 估计时间教师授课行为学生学习行为设计意图辅助手段3分钟一、课前活动：师：同学们先用棋子摆一些你们喜欢的图形。师：我们先来欣赏一下黑板上摆出的图形，同学们再介绍一下你的作品。学生可以独自创作，也可以小组合作。请两个学生到黑板上用棋子摆出一个图形。学生介绍自己摆出的各种各样图形。课前先让学生熟悉一下上课用的学习用具，满足学生好奇心，同时也能激发学生的兴趣。培养学生的想象力。2分钟摆出正方形二、摆出正方形点阵，认识正方形数：请同学们用棋子摆一个和小组内同学不同的实心的正方形，比一比哪个小组摆的最快。先来数一数黑板上几个正方形所用棋子数量分别是多少？小组同学一起摆，同时找几个学生到黑板上摆，如：1、4、9、163分钟认识正方形数并引入新课师：还有摆出的正方形和黑板上不一样的吗？你用了多少个棋子摆出的正方形？师：如果把棋子看成数学中的点，这些点就排列成了一个个的正方形的点阵。我们把每一个正方形点阵中点的总数叫正方形数。如1、4、9、16同学们你们知道吗？在点阵中蕴涵着一些非常有趣的规律，它所对应的数中也有一些奇特的特点，你们想不想做进一步的了解？今天我们就一起走进点阵，探索点阵中的规律。（板书课题：点阵中的规律）我们先来研究你们所摆出的正方形点阵。学生介绍自己摆出的正方形，如：用25、36等个数的棋子也可以摆出正方形。在此揭示正方形数，是为了在教学中更好的交流。同时也是为了更好的落实“数形结合”的思想。提出要求2分钟三、 探索正方形点阵的排列规律和正方形数的特点：1、提出活动要求：（1）从不同角度去观察正方形的点阵或点阵图，说一说正方形的点阵有哪些不同的排列规律。（2）把你们所观察到的每个正方形点阵的排列规律，用算式表示出来。（3）观察你们写出的算式，说一说这些正方形数的组成有什么不同的规律。一学生阅读活动报告单的要求。每个小组都提供了一份活动报告单，是为了使学生对活动的目的更清楚，同时也是引导学生探究正方形数的步骤。投影出示：活动报告单小组合作探究7分钟左右小组同学一起来按照以上步骤进行，比一比，看哪个小组能够发现出正方形点阵中所蕴涵的不同的规律。汇报交流约6分钟2、汇报交流。教师适时点拨：正方形数也叫平方数。找两三个小组进行汇报：如：（1）横看或竖看：1=12 4=22 9=32 16=42 25=52每个正方形数都是一个数的平方。（2）从一角向外扩展来看：1=1 4=1+3 9= 1+3+5 16=1+3+5+7每一个正方形数都可以写成几个连续奇数的和，奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。（3）斜着看：1=1 4=1+2+1 9=1+2+3+2+1 16=1+2+3+4+3+2+1 每一个正方形数都可以写成从1开始连续加到点阵中的行数再递减加到1的连加算式。学生从不同的角度去观察正方形点阵的排列规律，并能把观察的规律用算式表示出来，更好的体现了“数形结合”的思想。这一环节也能培养学生的观察、分析和概括能力。9分钟3、根据你们观察到的正方形点阵的排列规律，试着按照不同的规律摆一摆25这个正方形数，然后把摆法用算式表示出来？师：谁愿意代表你们小组到前面来摆一摆，说一说。师：能用算式把这几种摆法写出来吗？学生摆（两个人，一人摆一人说）25=5225=1+3+5+7+925=1+2+3+4+5+4+3+2+1这一环节是为了巩固学生对正方形点阵的认识，加深对正方形数的理解。1分钟四、 拓展介绍： 早在2000多年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯就用小石子排列成正方形，借助正方形研究出了正方形数的排列规律。根据同样的道理，古老的数学家们还找到了三角形数、五边形数很容易就找到了这些数的特点和规律，并推导出了许多重要的计算公式。 PPT演示1：出示毕答哥拉斯人物像2：出示资料介绍10分钟五、 研究三角形点阵的排列和三角形数的组成：师：刚才同学们研究了正方形数，想不想摆一摆三角形点阵，找到三角形数呢？请你们小组的同学一起用棋子摆出几个不同的三角形点阵，找一找三角形数？师：先看看黑板上同学摆出的这个三角形点阵和他找到的三角形数。你们先猜一猜这个三角形点阵是怎样摆出来的吗？（无论同学们猜到的哪种摆法，都体现了按照一定的顺序来排列三角形的点阵。）教师：能用算式把（黑板上）这个三角形点阵摆的过程表示出来吗？教师：还有和黑板上的三角形数是不一样的吗？你又是怎么摆的？把你的摆法用算式写出来。教师：观察这些三角形数的组成有什么特点吗？学生小组一起借助棋子摆一摆三角形点阵，找三角形数。同时有一个小组的同学到黑板前摆一摆，并写出所对应的三角形数。 学生观察并猜测：从上往下摆，每层依次增加1个；学生回答：1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4学生汇报：15=1+2+3+4+521=1+2+3+4+5+636=1+2+3+4+5+6+7+8学生：从1开始连续自然数的和。有了前面研究正方形点阵和正方形数的基础，