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第二章 分岔与奇怪吸引子第一节 第一节 简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。分岔是一种非常普遍的自然现象。一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。常识告诉我们，在力P的作用下，如图2-1a所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷后，杆会出现弯曲，这时扰度s为压力P的函数。在以Ps为坐标的平面上，如图2-1b所示，当压力P时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC方向）、偏向或方向，因此是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向或状态。另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s随压力P的增加而沿曲线OA或OB增加。图2-1 一根弹性压杆的分岔在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F增加到某临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数处发生了所谓叉式分岔，一个在时的稳定解在时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。1 切分岔产生切分岔的微分方程形式： (2-1-1)式中为控制参数。由得式(2-1-1)的平衡点为： (2-1-2)解(2-1-2)说明，当0时不存在奇点，而当0时出现两个奇点，如图2-2所示。然而0时的两个奇点的稳定性是不同的，其中是稳定的，而是不稳定的。图2-2 切分岔为了讨论切分岔的两个解的稳定性，我们在的附近取一点，它与的距离为，由式(2-1-1)得：将解式(2-1-2)代入并忽略高阶小量有：于是得解： (2-1-3)因此，对于解，当时有，说明此解是稳定的，它是稳定的结点。对于解，当时有，因此它是不稳定的，它是鞍点。由此可见切分岔是一个鞍结分岔。为了说明分岔点附近的分岔情况，如图2-3给出了0、= 0与0时与轴相垂直的x平面中相轨线的走动方向，稳定的解是图中的A支，不稳定的是图中的B支。A与B两支构成了0时鞍点与结点附近的相轨线。图2-3 切分岔中的相轨线2 转换键型分岔这种分岔属于稳定性转变的分岔，它是由下式产生的。 (2-1-4)由给出方程(2-1-4)的奇点为： (2-1-5)当式(2-1-4)的右边取负号时分岔图形如图2-4所示。采用与分析切分岔解的稳定性同样的方法，经分析可知，如0它的平衡点是稳定的，而它的平衡点是不稳定的；如0它的平衡点是不稳定的，而平衡点( ? )是稳定的；其分岔点为(,)(0,0)。对式(2-1-4)右边取正号的情况只要将上述的讨论推广即可。图2-5给出了与轴相垂直的x平面中相轨线的流动方向。由图可见，不管是0还是0，都是一对鞍结点。但在0时，的轴线是结点，不稳定的A支是；而在 0( ? )时，的轴线是不稳定的A支，结点为( ? )支。图2-4 转换键型分岔图2-5 转换键型x平面中的的相轨线3 叉式分岔 有一微分方程： (2-1-6)为控制参数。由得三个平衡点： (2-1-7)当0时，只有平衡点0，采用切分岔解稳定性分析方法可知它是稳定的。当0时则有三个平衡点，其中0是不稳定的，而的两个解都是稳定的。因此其分岔图形象一把叉子，如图2-6所示。在上一章的杜芬方程(1-2-9)（）求解中，在参数时，方程只有一个的平衡点；在参数时方程有三个的平衡点：与，其中两个平衡点是稳定的，是不稳定的平衡点。可见杜芬方程具有叉式分岔。图2-7给出了0、=0与0时与轴相垂直的x平面中相点沿相轨线的走动方向。图2-6 叉式分岔图2-7 叉式分岔的x平面中的相轨线4 霍夫型分岔研究微分方程组： (2-1-8)引入极坐标，(x-y)相平面上一点到坐标原点的距离为，则：， 对它们微分后有： (2-1-9)代入式(2-1-8)的第一式，并分别令正弦与余弦分量的系数分别相等，得： (2-1-10)对式(2-1-10)积分可得： (2-1-11a) (2-1-11b)式中，积分常数C与t0由初始条件决定。由式(2-1-11a)可见，对于0，相平面中的相点到坐标原点距离r随时间缩短，当时间t时r 趋于零，也就是说轴线上的各点是稳定的焦点，相空间中的各点都会趋近与它。由式(2-1-11b)可见，当0时r 值随时间增长，不论初始r 值的大小如何，当时间t时，最终r趋于，形成一闭合圈，即极限环。这种因参数从负变化到正，从焦点产生出极限环的分岔称为霍夫分岔，分岔点位于=0。图2-8给出了霍夫分岔中的极限环及轨线图形。图2-8 霍夫分岔 作为例子，我们讨论一下范德玻耳方程的分岔。在第一章分析范德玻耳方程时知道，该方程有一个极限环，在极限环内是不稳定的不动点，其周围的轨线是向外发散的，说明存在霍夫分岔。范德玻耳方程可以写成如下： (2-1-12)为了给出范德玻耳方程的相图，引进参数参数：I与q，它们分别称为作用量与角度量。在设= 0时，它们与变量x有如下关系： (2-1-13) (2-1-14)由式(2-1-13)得： (2-1-15)由式(2-1-13)与(2-1-15)两式得： (2-1-16)对方程(2-1-16)求导得：利用方程(2-1-12)后上式为：将式(2-1-13)与(2-1-15)代入式(2-1-16)得： (2-1-17)并对式(2-1-17)的相位求平均，略去平均符号后得： (2-1-18)式中： 由方程(2-1-8)，使可求该方程式的平衡点： 现在分析两个解的稳定性。将式(2-1-18)改写为： (2-1-19)对于平衡点邻域有，注意到与IC相比是个高阶小量，可以忽略。代入方程(2-1-19)得：于是得解： (2-1-20)是初始对的偏离小量。解(2-1-20)说明作用量I随时间指数增长，是不稳定解，它是不稳定的焦点。对于，在其邻域有，代入方程(2-1-19)得：化简得：于是得解： (2-1-21)为对的初始偏离量。解(2-1-20)说明作用量I对的偏离量随时间指数减小，当，即。这是霍夫分岔。由此可见，在（）相平面上，范德玻耳方程的坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的，当相空间的相点趋向于极限环，如图2-9所示。然而，范德玻耳方程的这个性质与方程中参数的正负有关。如果方程中参数为负值，则由解(2-1-20)与(2-1-21)将得到完全相反的结论。这时坐标原点变为稳定的焦点，成为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当时，处于极限环内的相点趋向于不动点，处于极限环外的相点则远离而去。 图2-9 范德玻耳方程霍夫分岔的相图第二节 平方映射与倍周期分岔1平方映射在物理上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。例如一个以为连续变量的单参数的动力学系统： (2-2-1)这里为系统的参数。如果我们考察在等时间间隔t，t+1，t+2，t+3，中系统状态的变化，则式(2-2-1)可以改写为时间演化方程： (2-2-2)如果时间间隔不是整数，则可把各个时刻写成，这里：，而把相应的状态记为：，其中 于是时间演化方程(2-2-2)变成了离散方程： (2-2-3)这就是数学上称之为映射的方程。可见用连续变量表示的动力学系统是微分方程，用离散数表示时为映射。其实它们之间有一定的对应关系。例如一个简单映射： (2-2-4)利用迭代方法求解。设起始值为，迭代方法为将代入上式得：由得：经n迭代后得：计算得到的一组数值：，如果将值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。与映射(2-2-4)对应的微分方程为： (2-2-5)其解为：将简单的线性映射(2-2-4)与微分方程(2-2-5)的解作图，如图2-10所示映射的解是梯形的指数增长的或下降的曲线，而微分方程给出的是连续的指数增长或下降曲线。图2-10 简单线性映射与微分方程解变化曲线1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一种世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。如果令某类种群它的第n代的种群总数为Nn，则生态环境能提供维持种群数量有个最大限额，设为。当然，实际种群总数不会超过最大限额，设两者之比:则与分别为相继两代的种群数，为亲代，为子代。如果无环境的限制，子代种群数量将与亲代种群数成正比：考虑到种群生长受环境的制约，则假定当上述两种因素同时考虑时，得离散方程： (2-2-6)式中为比例系数。给定比例系数，根据方程(2-2-6)就可以由某种群的亲代数计算出以后的各代种群数。方程(2-2-6)被称为生态平衡方程。生态平衡方程为什么与非线性动力学联系了起来？原来，一个非线性系统往往有好几个参数，例如虽然单摆是很简单的力学系统，但一个受驱单摆就有品质因子q（=）、驱动频率和驱动力矩F三个可变参数。每次计算时，需要事先设定方程中的两个参数，然后计算系统的行为与第三个参数的关系。显然，通过象单摆这样的系统来认识从规则运动进入混沌运动的机制太复杂了。能否寻找到一个具有混沌行为的单参量系统？我们希望找到这样的单参量系统，通过它能清楚地看到一个系统从规则运动怎样步入混沌状态。正是在这样的形势下，数学物理学家梅（R.May）于1971年发现了单参量的方程(2-2-6)具有不同寻常的行为。与映射(2-2-6)对应的微分方程为：该微分方程的解为：其结果是平凡的。与微分方程的这个解不同，映射(2-2-6)的解却具有非常复杂的行为。它能表达出一个动力学系统是如何从规则运动步入混沌运动的。现在回到映射方程(2-2-6)上来，该式也常写成展开形式：因为表示亲、子两代种群数与采用了约化取值，它们的取值范围均在0与1之间，因此比例常数的取值范围为0，4。由于值与值是平方关系，所以称方程(2-2-1)为平方映射，文献中也常称为洛吉斯蒂映射（logistic map，logistic来自法文logistique，意为部队宿营地）。其实，式(2-2-6)也是抛物线表示式，所以也常称为抛物线映射。我们用迭代方法来计算映射(2-2-6)。进行迭代计算时，给定控制参数值与某一初始值，就有：，上述的迭代过程还可以采用图解的方法。在坐标上，先根据给定的值画出由式(2-2-6)确定的抛物线。再在这同一坐标图上画一条=的对角线称为恒等线，通过它做投影。作图的操作过程是这样的，如图2-11先给定控制参数值，例如=3.0，再给定初始值，例如。第一步从横坐标处作竖直线与抛物线相交，这点的纵坐标高度即为。第二步从此点作水平线与对角线相交，此相交点的横坐标即为。第三步再由此点又作竖直线，得到与抛物线相交时的高度为，再将再移植到对角线上，找到横坐标的。再从这里作垂直线与抛物线相交得x3，如此不断操作下去，于是得到一条轨道上的点，。图2-11 平方映射的迭代图解2 平方映射的不动点及其稳定性2.1 平方映射的不动点计算表明，平方映射的轨道上的点并不总是可以无限制延续下去的。在某些值下，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是第i次的数值与第i+1次迭代值相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。按不动点的定义，对平方映射有：或得根： (2-2-7)这里，与即为它的不动点。实际上用作图方法也可得到平方映射的两个不动点，如图2-12所示，它们是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与值有关，最大高度在1/2处且等于/4。如果参数较小()，抛物线的高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图2-12平方映射的不动点图2-13是取=0.8时的情况，图2-13a是迭代作图计算，根据上述的作图方法从起始值为开始，迭代结果终值走到了坐标的原点。图2-13b是随迭代次数n的变化曲线，可见这是一个指数衰变曲线，最终衰变到。从生态意义上说，虽然初始有一定的种群数量()，但是由于受到环境的制约这一种群最终走向了灭绝。 a b图2-13，=0.8时终值走到了坐标的原点=0由式(2-2-7)可知，当时平方映射就会出现第二个不动点，它是非零的不动点。非零的不动点意味着某类种群有某个稳定的生存数量。但是对不同的值，迭代走向这个不动点的过程有所不同。当较小时，迭代单调地增长趋向不动点的，图2-14所示的值为2.1就属于这种情况。图2-14a是迭代作图计算，可以看到虽然起始值很小，但是每次迭代使增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。图2-14b给出了随迭代次数走向不动点的过程，最终到达的B点。当值增大时，迭代先出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。图2-15是=2.8时是随迭代次数n的变化曲线，可见这是在经历了数次上下起伏以后才达到稳定。 a. b.图2-14 =2.1，迭代单调地趋向个不动点图2-15 =2.8时迭代振荡地趋向个不动点2.2 平方映射不动点的稳定性与通常动力学系统一样，映射不动点有稳定与不稳定之分。非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题，因此这里要对平方映射不动点的稳定性作些分析。当在不动点附近（也称扰动）进行迭代时，如果迭代结果越来越趋近该不动点，则该不动点是稳定的，与此相反，如果迭代结果离该不动点越来越远，则它就是不稳定的。上面已经说到平方映射的抛物曲线的高度与参数值有关，那么，不动点的稳定性应该也与参数的大小有关。设一维映射 (2-2-8)具有解，,设为扰动量，则继续迭代有： (2-2-9)对式(2-2-9)的右边在附近展开： (2-2-10)略去的高阶小项，并利用不动点方程(2-2-8)，则不动点的稳定性可用映射在解附近的斜率来表达： (2-2-11)对于稳定的不动点，应有，因此：实际上为映射在不动点处的斜率为45。条件(2-2-11)还有两种情况：a. 迭代单调的趋近于，即如图2-14所示的情况；b. 迭代经过几次上下起伏趋近于，图2-15就是这种情况。当不动点的斜率满足时，即不动点的斜率为0时，则称为超稳定不动点，因为这是最有利的稳定情况，在迭代图上对应于时的情况。为区别起见，与超稳定不动点对应的参数称为超稳定参数。对于不稳定的不动点应有，因此：这时也有两种情况：a. 迭代指数增长；b. 迭代指数起伏增长。3 平方映射的周期解及其稳定性3.1平方映射的周期解当平方映射的参数值从=2.8继续增大时，迭代出现的振荡起伏将一直维持下去，这种情况称为周期解。图2-16就是值为3.1的迭代情况，取起始值，可见迭代的终值在一大一小的两个定值之间往复跳跃，称为周期2轨道运动。它对应于生态演化中“大年”、“小年”的隔年交替轮换现象。图2-16 =3.1，在一大一小两个值间跳跃图2-17 =3.52，出现4周期循环当值进一步增大时，迭代出现的振荡起伏将出现更复杂的情况。计算表明，当值增大3.5以上时，迭代的终值上下起伏，每隔四次出现重复，称为周期4轨道运动。图2-17是在=3.52时的n曲线，仍取起始值，由图可见在经过开始若干次的过渡过程之后，迭代终值就进入了每隔四次重复的周期4轨道。综上可见，在确定的值下，迭代将进入一个有限数值的循环重复之中，即在迭代次数后，就有,和,相同的情况，称为周期p轨道。p=1时即为不动点时的情况，因此常称不动点为周期1轨道；而上述的=3.1与=3.52时的迭代，则分别是p=2的周期2轨道与p=4周期4轨道。随着的增加，还会出现更大周期的轨道。平方映射的轨道周期随的增加而一次次成倍加长的现象被称为倍周期分岔。然而迭代也可能进入轨道点xi永不重复的情况，表明体系有无限长的周期。但是如果每迭代一定次数，轨道点虽然没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。实质上准周期轨道就可以看作为无限长的周期轨道。3.2 周期解的稳定性从上面讨论中看到参数的变化会引起轨道的周期性发生变化，因此映射的周期解也有一个稳定性问题。我们先研究简单的周期2轨道的稳定性，周期2轨道的解表现为将其代入映射方程，则可以写为： (2-2-12)对于平方映射来说，有： (2-2-13)可见的表达式是比较复杂的，但是作图出来很清楚，这是一条M形曲线。图2-18 时的平方映射的周期1与周期2轨道由式(2-2-12)可见，周期轨道与不动点之间具有类似性。如果体系有一个周期2轨道，则函数至少应有两个不动点。它们可以通过解方程来得到。图2-18为时的曲线（上部）与曲线（下部）图。可以看到的四个不动点，它们分别为：，与。由图可见与也是的不动点，它们相应于周期1轨道；另外两个点：与才是周期2轨道点。与周期2情况相同，对于周期n轨道，可以从解方程来获得，不过这时候的曲线将变得更为复杂了。正如不动点有稳定与不稳定之分，周期轨道也有稳定的与不稳定的之分。稳定的周期是如果在其附近给定一个初值，继续迭代仍趋近于该周期。我们先考虑周期2轨道情况，设有不属于的解。从的不动点稳定性条件（2-2-11）可知，的不动点的稳定性应决定于利用复合函数导数的链法则，上式可以写为 (2-2-14)因此周期2的不动点的稳定性决定于与两点处函数点的斜率。这个结果可以推广到任意的周期轨道，即： (2-2-15)作为例子，我们回顾图2-17上的平方映射的周期1与周期2轨道。由图可见，由于的非零不动点处的斜率大于1，因此周期1轨道是不稳定的，然而对周期2来说可满足稳定性条件，所以是稳定的。读者可以通过简单的作图发现，对于不论周期1轨道还是周期2轨道都不满足稳定性条件，它们都是不稳定的。4倍周期分岔的功率谱如上所述为了表示非线性系统的运动状态，我们除了采用时域（振动的时间图）表示外，更多地使用了相图（状态图）表示方法。实际上频域表示也是一种常用的分析方法。我们已经看到，随着参数值的增加，平方映射出现了轨道周期成倍加长的倍周期分岔现象。从频谱的角度来看系统的每一次分岔就意味着在频谱图中出现一批对应的新的频率分量。我们已经知道小角度单摆作频率为f的正弦周期运动，它在相空间里是一个闭合的圆环。如果用频谱表示，这是在以频率为横坐标的坐标f处的一个无限狭窄的尖峰，峰的高度为该频率分量的强度（功率），常称功率谱。如果系统出现一次倍周期分岔成为周期2轨道，在相图上表现为轨线需转两圈后才闭合，在功率谱上则除f处的原有谱峰外在f/2处又将出现一个新的谱峰分量；如果系统再一次分岔成周期4轨道，相图上的轨线需转四圈后才闭合，则功率谱上除在f与f/2处的两个峰外将在f/4与3f/4出现两个新谱峰，如图2-19所示。可见功率谱与周期相轨线具有对应关系。图2-19 倍周期分岔的相图与功率谱对于平方映射来说，1P的不动点，功率谱中只有基频f，以及有可能出现基频的倍频峰：2f，3f，；当1P2P的分岔后，会出现1/2f的分频，以及有可能出现1/2f分频的倍频峰：3/2，5/2，；而在2P4P的分岔中，功率谱图应出现的是1/4f和3/4f的分频以及它们的谐波。图2-20是平方映射在4P8P分岔后的各分频峰的功率谱，图中未给出各谐波峰。可以预计，随着参数逼近值，由分岔引起的频谱会越来越密，但是当参数越过值后，迭代进入无穷大周期的随机状态，即混沌运动状态，而功率谱也将从分立谱过渡到不可分的连续谱。因此从功率谱角度来看，如考虑到可能存在的噪声，混沌运动的特征是具有噪声背景的宽谱带。为了在实验上获得功率谱，通常对轨道上的点作大量取样，然后作快速傅立叶分析。设我们按等时间间隔得到时间序列：并人为地加上边界条件，然后计算自相关系数，即离散巻积：再对作离散傅立叶变换，计算出傅立叶系数 (2-2-16)代表第k个频率分量对的贡献。图2-20 平方映射在4P8P分岔后的功率谱另外，也可以利用计算机的快速傅立叶变换功能，直接求的傅立叶系数然后计算 (2-2-17)于是就可从许多组得到一批，求出它的算术平均值后即趋近(2-2-16)的功率谱。第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程1流体中的不稳定性1.1 贝耐特对流实验首先介绍一下贝纳德对流实验。本世纪初，法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个在两块平行平板间的充满液体的加热实验以观察液体的流动情况，实验装置的示意图如图2-21所示，平板在y方向无限伸展。实验时下面板被均匀缓慢地加热，因此在上下平板之间出现温差。开始时平板间的液体是静止的，没有任何宏观的运动，但当加热到一定程度时液体开始翻动起来出现了对流现象。可见随着温度的上升这样的流体系统经历着一个由稳定到不稳定，再到新的稳定态的分岔过程。图2-21 贝纳德对流实验1916年英国学者瑞利首先从理论上对贝纳德实验进行了解释。他注意到加热时靠近下面板的底层液体首先被加热，由于热胀冷缩这一层液体受到向上的浮力而上升。显然浮力的大小与温度差DT和两板之间的距离有关。除浮力以外流体还有粘滞力，它会阻碍流体的向上运动。这样，由浮力和粘滞力两者之间的关系决定了底层液体的向上运动。为具体衡量两力之间的对比，定义了一个无量纲参数. (2-3-1)R称为瑞利数，式中g为重力加速度，a为热胀系数，d为两块板的间距，h为粘滞系数，DT为扩散系数。由式(2-3-1)可见，瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时，R值增加。瑞利数有一临界值，当R超过临界值时系统出现分岔，流体变得不稳定开始出现翻动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值为： (2-3-2)其中k是与x方向环流波数（当时有一最小值）。有趣的是在其翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，如图2-21b所示。由于实验中的底层液体是被均匀加热的，哪里都没有开始宏观运动的优先权。形成规则图案是对均匀液体的一种对称破缺，是解决这个矛盾一种途径。规则图形还有其它种种图样，具体出现那种图案还与容器的结构有关，类似蛋卷样的图形只是诸多规则图形之一。当R进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，系统进入到了湍流状态。1.2倍周期分岔的流体实验检验从分岔观点分析，两块平板间的液体随着温差的升高所出现从静止发展到对流也是一种分岔现象。带着这样的观点，低温物理学家利布沙伯(ALibchaber)于1980年用液氦重做了贝耐特对流实验以寻找其间存在的规律。液氦粘度极低，可以在极轻微的推动下出现对流，这是利布沙伯选用液氦来做对流实验的原因。他设计了一个非常精巧的实验装置：一个很小的不锈钢液氦的容器，其长度为3mm，宽度与高度分别为1.5mm与1.25mm。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。容器中的液氦对温度非常敏感，只要上下液面之间存在千分之一的温度差，就可出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往左右分流，然后沿腔壁下降形成两个对流圈的翻动。对流会引起温度变化，因此可以从温度计输出信号的变化中分析出对流的产生过程与变化规律。但是实验遇到了困难，接受到的信号受噪声的干扰很大，很难从中分析出有用的信息。于是利布沙伯将接收到的随时间变化信号进行了傅立叶变换，再从变换后的频谱图来分析液氦的对流信息。图2-22是利布沙伯所将记录信号经傅立叶变换后的功率谱。由图可见，开始时功率谱中只有对流翻动频率为f的基波峰，相应液氦作两个对流圈翻动。随着瑞利数的增大，在功率谱中频率为基波频率f一半的倍周期（f/2）谐波出现了，接着又出现f/4、f/8等的次谐波。利布沙伯获得的这一实验结果显然是一种倍周期分岔现象。实验结果证明倍周期分岔不仅在平方映射这样的数学模型中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。受到利布沙伯用液氦成功地检测到倍周期分岔结果的启发，许多学者开始在不同类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象。果然除了流体的对流实验以外，倍周期分岔现象在LCR振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都相继得到了证实，从而说明了倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。图2-22 利布沙伯实验记录的液氦对流中的功率谱3 洛伦兹方程解的分岔3.1 洛伦兹方程二十世纪六十年代蓬勃发展的计算机技术开始得到广泛应用，其中包括长期天气预报。大气与液体同属流体，太阳照射使地面升温，靠近地面的气体受到加热而高层大气还是冷的，于是上下层气体之间将会出现对流，产生类似于贝纳德实验中的对流现象。在美国气象学局工作的数学家洛伦兹(E.Lorens)将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，企图用数值方法进行长期天气预报。从贝耐特对流出发，利用流体力学中的纳维叶斯托克斯(NavierStokes)方程、热传导方程和连续性方程，洛伦兹推导出描述大气对流的微分方程： (2-3-3)它被称为洛伦兹方程，式中x是对流的翻动速率，y比例于上流与下流液体之间的温差，z是垂直方向的温度梯度，s无量纲因子，称为Prandtl数，它等于; b为反映速度阻尼的常数：; r为相对瑞利数：。方程组(2-3-3)称为洛伦兹方程，其中xz与xy是非线性项，求导是对为无量纲时间进行的：洛伦兹方程是一个能量耗散系统，这可以从它的相空间随时间变化特性去证明。设在x,y,z的三维相空间内取一个闭合曲面，该曲面所包围的体积V随时间的变化与其中代表点的运动有如下关系： (2-3-4)式中为代表点在相空间的相应方向上的运动速度。将此公式应用于洛伦兹方程，于是就有 (2-3-5)解方程(2-3-5)，得 (2-3-6)式中为初始相空间的体积。由于参数与，可见洛伦兹方程的相空间体积是随时间收缩的，初始时的有限相体积随时间收缩到一点，这点应是坐标的原点。由此可见洛伦兹方程描写的是一个耗散系统。正如阻尼单摆那样，耗散意味着系统存在吸引子。3.2 洛伦兹方程解的分岔由可得洛伦兹方程(2-3-3)的三个平衡点：；, 然而如果后两个平衡点就不存在，只存在一个平衡点。因此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中的液体的静止定态。因此洛伦兹方程的平衡点将随瑞利数r的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点变为不平衡状态。为了研究平衡点的稳定性问题，我们将方程(2-3-3)写成矩阵形式 (2-3-7)首先讨论原点的稳定性。为此对原点附近作线性化处理，即在附近有：由行列式 (2-3-8)可得特征方程： (2-3-9)由于参数，方程(2-3-9)有三个根，即：, (2-3-10)由式(2-3-10)可见，在范围内所有的根，因此坐标原点是稳定的不动点，它是方程的唯一吸引子，所有的轨线吸引到坐标的原点，如图2-23。图2-23 坐标原点是洛伦兹方程的稳定不动点如方程(2-3-9)就有一正根，于是分支出两个新的平衡点与，其坐标分别为： (2-3-11)说明在时系统将发生一次分岔，跨越意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性。这时在坐标的原点出现了一维不稳定的流形，如图2-24所示。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。图2-24 时原点为不稳定平衡点，同时出现两新的稳定平衡点现在讨论时出现的两个新平衡点与的稳定性。于是对它们的邻域作线性化处理，得：，仿照(2-3-8)的做法，可得特征方程： (2-3-12)在它的三个根中有一实根和一对共轭复根，其中实根说明坐标原点为鞍点。共轭复根的实部为负，说明两个新平衡点与是稳定的焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点，如图2-25所示。与稳定焦点的出现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。图2-25 两个稳定的和一个不稳定的平衡点当r继续增加到时，两个螺旋线外径会接触并合并到一起。到时，若式(2-3-12)中与项的系数之积等于常数项，则共轭复根是纯虚数： (2-3-13)这时得：. (2-3-14)说明时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。而当时共轭复根的实部为正值，与成了不稳定的焦点，如图2-26所示，于是定态对流失稳。所以是定态对流稳定性的阈值，若，定态对流是稳定的；若，如r值足够大的，定态对流是不稳定的。在定态对流稳定性的数值计算中，通常把参数b、s 固定，例如取：s =10，b = 8/3，于是可算得：。这时将出现一次新分岔霍夫分岔，平衡点与将失稳，成为奇怪吸引子。图2-26 时两个螺旋线外径合并到一起第四节 第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子1. 李雅普诺夫指数从阻尼单摆、范德玻耳方程等系统的相图讨论中知道，由于能量耗散系统的状态最终都会收缩到吸引子所表示的状态上。从广义的角度讲，这是一个动力系统在t 时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。人们称这类吸引子为平庸吸引子，因此平庸是指常态、无变化的意思。奇怪吸引子是相对于平庸吸引子而言的，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性。这一现象相传是洛伦兹在一次计算中首次偶然发现的。1961年洛伦兹在进行数值长期天气预报的计算，当时在计算中使用了一台现在看来速度太慢的计算机，因此在考察洛伦兹方程的一个解在长时间内的行为需要进行长时间的运算。有一次他在计算中断后重新开始计算时，把上一次计算的中间数据作为这次计算的初始值输入计算机，指望在重复给出上次的计算结果后计算机再继续运行下去。然而出人意料的是计算结果只在开始的一小段与原来结果偏差很小，之后偏差越来越大以致得到完全相反的结果。洛伦兹意识到问题出在他输入数据的精度上。因为计算机能以六位小数运行，这次存储下的是：0.606127，而打印机仅打印了前三位数字：0.606。这次他是以这个三位小数作为重新计算的初始值，忽略掉了尾数0.000127。洛伦兹认为造成重大偏差的原因就是忽略掉了这点尾数，由此他认定这个方程对初始值具有高度的敏感性。洛伦兹将这一现象形象地比喻为“蝴蝶效应”，意思是说一只蝴蝶扇动翅膀所引起的气流扰动会发展成一场“巨大风暴”。现在知道，在一定的参数值下有一些动力学系统会呈现出对初值的敏感性现象，即使是简单的平方映射也有这样的特性。我们已经看到，当平方映射映射的参数，不管初始取值如何迭代的终态值是周期（单周期、双周期、）的，说明在此参数值下平方映射的这些解表现为平庸吸引子。但当参数时迭代的终态值将进入随机混沌状态，终态值与初始取值密切相关，初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，转变成所谓的奇怪吸引子。为了具体了解奇怪吸引子中相轨线对初始扰动的敏感性，我们考察平方映射的两个迭代运算 (2-4-1)如上所述，当m大于3.5966时，该映射可以进入混沌。现在取m = 4并取有一点微小的差别的两个初始值与：=0.370，=0.380，运算结果如表3.1所列。由表可见，经过前第四次迭代两个运算结果还没有显出太大差别，但是从第五次开始迭代结果的差别就非常显著了。表 3.1 初始值与的微小误差的迭代运算N012345678910Xn0.3700.9320.2520.7540.7410.7670.7150.8140.6050.9560.167Yn0.3800.9420.2170.6800.8700.4510.9900.0380.1470.5010.999为了从理论上定量地考察一个动力学系统对初始值的敏感性问题，我们研究一下两个系统： (2-4-2)设其初始值有一微小误差，经过一次迭代以后有： (2-4-3)式中：由式(2-4-3)可见，对初始扰动的敏感的程度由导数决定。显然与初始值有关。由于我们需要描述映射的整体敏感性，而不只是某一个初始条件，为此需要对全部初始条件进行平均。通过继续迭代可以完成这种平均工作。由第二次迭代得：第n次迭代得： (2-4-4)式中为多重乘号。因此，每次迭代产生的平均分离值为：这是的几何平均值。在非线性动力学中，分离的程度通常用李雅普诺夫（Lyapunov）指数来度量，定义为该值的对数： (2-4-5)式中为第n次迭代后的值。取，得常用的李雅普诺夫指数的计算公式： (2-4-6)利用李雅普诺夫指数，相空间内初始时刻的两点距离将随时间（迭代次数）作指数分离：。需要注意在一维映射中只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个，而且沿相空间的不同方向，其(i=1,2,)值一般也是不同的。设为多维相空间中两点的初始距离，则经n次迭代后两点的初始距离为： (2-4-7)式中指数值可正可负。0表示沿该方向扩展，0表示沿该方向收缩，于是在经过一段时间（数次迭代）以后，两个不同的值使相空间中原来的圆球演变为椭球了，如图2-27所示。图2-27 经过数次迭代后，相空间中的圆球演变为不对称椭球我们知道，稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。正值的正是描述了这样的不稳定性。研究表明一个系统只要有一个正值的就可出现混沌运动。因此，在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值。于是我们可以按照的符号可对吸引子的性质进行分类。对于三维空间有以下几种吸引子类型：当三个指数均为负值，相点收缩到一点，即存在不动点；当三个指数中有一个为零另外两个为负值，相点收缩在一个环上，这是极限环；三个指数中两个为零一个为负值，相点收缩在一个二维的环面上，这是二维环面；吸引子；最后一种情况是三个指数中有一个为正值，另外对于三维相流要求相应于相流方向的指数为零，于是最后那个指数必定为负，这是系统出现奇怪吸引子的情形。前三种吸引子都是平庸吸引子。在第四章中我们还要讨论吸引子的空间维数。平庸吸引子的维数都为整数。与整数维的平庸吸引子不同，奇怪吸引子维数一般为非整数，称为分数维数。因此分数维数是奇怪吸引子的另一重要特征。近年的非线性系统研究表明，吸引子可能存在于高维相空间内。在这高维相空间中大于零的李雅普诺夫指数也可能不止一个，显然这样体系的运动情况将为更加复杂。人们常称高维相空间中有多个正值李雅普诺夫指数的混沌为超混沌。将三维空间推广到高维空间，由指数的值决定的各种类型的吸引子可以归纳如下：吸引子类型维 数不动点D = 0极限环D = 1二维环面D = 2三维环面D = 2奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整数）超混沌D = 高于3非整数对于一维映射，利用BASIC计算程序可以方便地求得它们的李雅普诺夫指数。作为例子，图2-28给出了一维的平方映射的指数的变化曲线。由图可见平方映射的指数随参数值变化起伏很大，但它有一个临界参数值（=3.5699），当时尽管指数随值有很大的变化但始终处于负值，最多只升高到零附近。当以后指数开始转为正值，也就是说平方映射从这里开始由规则运动转为混沌，或者说迭代进入到混沌状态。由图还可以发现在进入混沌以后，值仍有忽大忽小的变化，特别是在某些值处值又突然由正转变到负，说明在这些地方平方映射又转入到规则运动。所以从值的变化可以看出，平方映射具有规则随机规则随机相交织的非常复杂的运动状态。图2-28 平方映射的李雅普诺夫指数随参数值的变化下面是一个可以运行的计算平方映射的指数随参数值变化的Qbasic计算程序。该程序在运行中在显示器屏幕上显示出运行结果，非常直观。尤其是参数值的运行范围可以随意调换，以对自己感兴趣的区域进行计算。下面程序所取参数值范围为3.44.0。REM Chaos L-exponents Diagram 01CLSSCREEN 10WINDOW (0, 0)-(630, 470)pi = 3.141593c1 = 10c2 = 10LINE (50, 250)-STEP(520, 0), c1LINE (50, 30)-STEP(0, 460), c1n = 500: m = 0: e = .0001DIM x(n), y(5000)u = 3.4: b1 = uIF INKEY$ = x THEN GOTO f2f1: x = .3FOR i = 0 TO n - 1IF INKEY$ = x THEN GOTO f2x(i) = LOG(ABS(u