对三个常用坐标系单位矢量的认识.docx

学习报告一对三个常用坐标系单位矢量的认识作者：英才实验学院09级四班 甘骏 2900104007 AbstractThis article is supposed to give a antinomy to show how diffrerent the three coordinate systems are.And it will tell the reason.At last there is another antinomy.【关键字】悖论直角，圆柱，球坐标系【引言】例题：将位于球坐标系下的P点（1，30，90）处的矢量A=e,先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。解：A=e= excoscos+eycossin+ez (-sin) =ex0+ey32+ez(-12)=32ey-12ez 重新表示成球坐标公式有：A=32ey-12ez=32（ersinsin+e+eycossin+ecos）-12(ercos-esin)=32（er12+e+ey32+e0）-12(er32-e12)= e将式结果表示在直角坐标系中，会出现一个怪异的结果：A= e=er这显然是一个悖论，但是又是合理的。本文将对此进行分析。【正文】在式推导过程中，运用了向量的运算。由于向量的可平移特性，在进行运算过程中，实际上对向量A进行了平移变换，将其起点平移到了坐标原点，而不是之前的P点。所以最终得到的结果是er。从得到这个悖论的推导过程，可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系，再类似考虑柱坐标系，可知三种常用坐标系是各有特点和联系的。直角坐标系柱坐标系球坐标系长度元dlx=dx,dly=dy,dlz=dzdl=d,dl=d,dlz=dzdlr=dr,dl=rd,dl=rsind面积元dSx=dydz,dSy=dxdz,dSz=dxdydS=ddz, dS= ddz,dSz=dddSr=r2sindd,dS=rsindrd,dS=rdrd体积元dV=dxdydzdV=dddzdV= r2sindrdd直角坐标系：直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系，因为在直角坐标系下，得到的数学表达式最直观，最符合人类的经验认识。但是真正的科学研究及实际工程中，可建立的标准直角坐标系是非常少的。即直角坐标系可作为人们最方便理解认识某一问题的工具，而不是好的解决问题的工具。柱坐标系与球坐标系：这两类坐标系是在科学工程中常用到的。因为它们更接近于工程模型，可以简化计算表达式。与直角坐标系的联系是都是有3个两两垂直的向量作为基，构成向量空间。但是这两类坐标系不直观。因为用e和e表示的向量随着取点不同，方向和大小在不断改变。der=rde+edr和der=rde+edr可知，这两个基向量实际上由两个表达式确定，在应用过程中可能因已知条件不足产生同一个向量不同表达的悖论。三种常用坐标系关系变换如下表：exeyezepcossin0e- sincos0ez001exeyezersincossinsincosecoscoscossin-sine-sincos0epeezersin0cosecos0-sine010由于角度向量的不确定性，很容易得到悖论，举例如下：将引言中的向量A用柱坐标系表示，可得：A=e= ercos+e0+ez (-sin)=32er-12ez 比较和可得到er=ey。由于ez=ez.三个基本向量两两垂直。可确定第三个向量相等或者反向。则直角坐标系与柱坐标系等价。这显然是一个悖论。实际上，此结论只在=90时成立。随着不断变化，柱坐标中的基向量er和 e的方向不断变