百分位数与百分等级教学疑义之解析.doc

百分位數與百分等級教學疑義之解析新竹市數學輔導團 國中組壹、 對應的能力指標一、 暫行綱要：D-4-1 能利用統計量，例如：百分位數，來瞭解資料散佈的情形。二、 正式課程綱要：D-4-01 能報讀百分位數，並認識個體在群體中相對地位的情形。 貳、 定義在統計學上，會先將收集得來的資料由小至大或由大至小排列，經由排列之後的資料才再加以分析解釋。以下定義是指已將資料由小至大排序之後的判斷方式。一、 百分位數：1. 將資料分成相等的一百個部份，中間的個切割點可以稱之為第、第，及第個百分位數。2. 百分位數是一各位置量數，旨在將有序資料量的相對位置標示出來，可由此看出資料的集中或分散的情形，整體資料是偏高還是偏低。二、 百分等級(Percentile Rank ，簡稱PR值)：1. 係指原始分數低於某個分數的人數百分比，且只取整數值。百分等級是應用最廣的測驗分數表示方法。也就是分數高過多少百分比的人數。2. 而百分等級即為排名序列之間的一範圍，旨在比較該範圍相對於全體資料的大小。參、 課程引入參考方式建議採用仁林版的引導方式，先以學生們熟悉習慣的考試排名情境來引入百分等級(PR值)的介紹，並輔助繪製圖表來加強印象。EX：1. 某次考試，參與該考試的考生共30000人，今要將全部考生分成100組，則一組需要有多少人？(要強調此概念)30000100300則可知一組需要300人。2. 若將30000位考生依照分數由高至低排列所得的名次，依次分成100組，則可得一分組表。將此100組，按名次由低至高分別標上99、98、97，2，1，0；則每組相對應的數字即為該組的PR值。名次1300301600601900291012940029401297002970130000PR 值9998972103. 注意：不要一開始引入時，就舉類似以下例子，例如全部人數有38562人，則這時分成100組，其人數無法除盡，會造成學生學習困擾，應在學生熟練之後，再加以解釋。肆、 教學疑義一、 若某考試有30000位考生，其中之一考生得到的PR值53，則該考生的名次又應為何呢？仍先引導學生繪製表格，方便判斷。名次1300301600601900291012940029401297002970130000PR 值999897210又PR53，表示在全部的考生當中，該分數嬴過了全部當中53的人數，所以 3000015900，嬴過了15900人。則換算成名次：300001590014100(名)，所以PR=53中最後一名考生的名次為14100名。14100300113801(名)，所以PR53中第一名考生的名次是13801名。因此PR53，排名在1380114100名之間。二、 承上題，到底(A) 1380114100或(B) 1380014100何者正確呢？大家對於此兩種答案經常容易感到疑惑，雖然在正式定義內，排13800名已屬於PR54，理論上不應存在PR53中，但是因為統計學上是討論大約的參考值，允許有較小的誤差存在，且在任何考試中，我們都無法排除有可能會有同分的狀況出現，名次也無法準確算出，因此可告知學生此種概念，此時只要回答約為1380014100名即可。三、 若考試人數為35862人，分成100組，則一組應為多少人呢？35862100358.62358 取一組358人來計算。為何要以無條件捨去法來決定人數呢？因為實際上百分等級的計算公式非常複雜，會考慮到學生同分之類的因素，因此每一組實際人數皆不盡相同，因此只要讓學生了解分割成100組，一組大約有多少人的想法即可。四、 若考生PR值一樣，則分數會相同嗎？當然不一定相同，因為在同一組別當中，可有很多種成績存在，只是在分100組時，位於同一組別當中。五、 若有考生分數相同時，則PR值會都一樣嗎？1. 若某些考生分數相同，分組時落在同一組別當中，這些考生的百分等級當然相同。2. 若某些考生分數雖然相同，但在分組時恰好位於不同的組別，但這些考生贏過的人數都固定，百分等級當然相同，且應以排名較差考生落在的組別來計算百分等級。例如：名次1300301600601900291012940029401297002970130000PR 值999897210若排名在298、299、300、301、302這些考生的分數相同，則這五人都只贏過排名在303之後的考生，因此這五位考生的百分等級都應與排名302名者相同，也就是PR98。六、 是不是所有的百分等級都一定存在？不一定，如同前一問題所述，可能有同分的狀況存在，若超過一組人數的考生都同分，則全部的人的百分等級都會往下拉，因此，有可能某一百分等級就消失不見了。七、 有沒有PR0或者是PR100呢？1. PR0表示排名勝過介於01之間的人，因此存在。2. PR100表示贏過所有的考生，此時亦包含自己，此狀況當然不可能出現。八、 為什麼不常看到PR0呢？例1：在學測中心公佈出來的PR值只有PR5，以及PR6、7、899。此為將PR0PR5合併成PR5。例2：美國的SSAT考試，最高的PR值是99，最低PR值是1，也是因為將PR0及PR1合併稱為PR1。可猜測這些例子都是因為顧及考生的面子，因此將較低的PR值隱藏。伍、 學測對於百分等級運用之解釋課本上的敘述若學測中心公佈：某新竹市的考生，考試成績在全國排名的PR值為90，則該生在新竹市分數排名的PR值也應該是90。此敘述是在於沒有城鄉差距的前提下才成立（及各地學生的程度素質表現狀況都差不多）。但實際的狀況之下，以新竹市及新竹縣尖石鄉來舉例，若某考生學測的PR值為90，則該生成績拿在新竹市來論可能PR值提升大約為95，若該生成績拿至新竹市尖石鄉來比較，則PR值可能晉升為99。陸、 結論教師在教授此單元時，必須釐清的觀念如下：一、 百分位數：只要讓學生能夠認識，分辨第N百分位數的數值，且能夠由此判斷全部數據應是偏高或偏低的趨勢即可。二、 百分等級1. 百分等級主要是讓考生了解，該次考試所獲得的分數在該次測驗中與全體考生相