1964年数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】.doc

中国特级教师高考复习方法指导数学复习版1964年试题 Key 1.解法一:解法二: 2.甲乙二人在河的南岸O处,隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行,甲每分钟比乙多走a米.10分钟后,甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度),乙望建筑物P在北度东(即北偏东度),求O与P之间的距离. Key 2.解:如图,设OB=x,则OA=x+10a.再设OP=h,则htg=x+10a,htg=x.h(tg-tg)=10a, 3.解方程x4+1=0;并且证明:平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点. Key 3.解法一:原方程即x4=-1,也就是x4=cos(2k+1)+isin(2k+1)令k=0、1、2、3,就得到原方程的四个根:如图,M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.M1M2M3M4是一个正方形.解法二:x4+1=(x4+2x2+1)-2x2原方程即它的根是如图,线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴,线段M4M1与M3M2都平行于OY轴.所以M1M2M3M4是一个正方形. 4.已知A、B、C是三角形的三个内角,求证: Key 4.解法一:利用正弦定理代入所要证明的等式的右边,并化简得由余弦定理,上式右边就是cosA.解法二:利用A=-(B+C),sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)=2sinBsinC-cos(B+C)=2sinBsinCcos-(B+C)=2sinBsinCcosA.两边除以2sinBsinC,得到 5.已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的平方和为6,且知这个方程有两相等的正根,求m、n的值. Key 5.解法一:设这个方程的三个根为、.根据已知条件和根与系数的关系,得(2)的两边乘以2,得22+4=-6,(3)(1)与(3)的两边分别相加,得42+4+2=0,即(2+)2=0,=-2.代入(1),22+(-2)2=6,62=6,=1.=-1不符合题意,舍去.故=1,=-2.m=-(2+)=0,n=-2=2.解法二:仿解法一得代简,得4-22+1=0,即(2-1)2=0,=1.=-1不合题意,舍去.故=1,代入(2)得,=-2.m=-(2+)=0,n=-2=2. 6.圆台形铁桶的上口半径是15厘米,下底半径是10厘米,母线长是30厘米,将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平,得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离. Key 6.解法一:延长AD、BC相交于O,设COD=,OD=x,则(x+30)=30,x=20,相减,得30=10,因为OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）.解法二:延长AD、BC相交于O,设OD=x,则解出x,得x=60,因为OAB是一个等边三角形,所以AB=OA=90（厘米）. 7.A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1,在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形,求证ABCD也是一个平行四边形. Key 7.解:如图,设A1、B1、C1、D1所在的直线为l,过直线l与直线作AA1作一平面P,则P必垂直于M.显然A在平面P内.又因B1在平面P内,且直线BB1垂直于平面M,故BB1必在平面P内.因而B也在平面P内.同理,C、D也在平面P内.因AA2DD2,且A2B2D2C2,故由AA2与A2B2所决定的平面平行于由DD2与D2C2所决定的平面.又P与这两个平面的交线分别为AB与CD,故ABCD.同理BCAD.故ABCD是平行四边形. 8.下图中ABCD是正方形,其每边长为1;在正方形内,O与O互相外切,并且O与AB、AD两边相切,O与CB、CD两边相切.(1)求这两圆半径之和.(2)当两圆半径各多么长时,两圆面积之和最小?当半径各多么长时,面积之和最大?证明你的结论. Key 8.解法一:但OO是两圆连心线,所以OO抇=r+r抇=s.故由上式得(2)两圆面积之和是(r2+r2)=r2+(s-r)2现在讨论当半径各多么长时,面积之和最大.不妨先设rr,即不妨解法二:(2)两圆面积之和是 两圆面积之和最小.由(),得 附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得到什么结果?为什么?(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么? Key 附加题(1)如果把第8题中的正方形改成矩形,你能得什么结果?为什么? 容易看出:AP=r,RB=OQ=r.因此,OS=PR=a-s.仿此,OS=b-s.但OSO是直角三角形,而OO=r+r=s,故得(a-s)2+(b-s)2=s2.即s2-2(a+b)s+a2+b2=0.显然sa+b,故应取“-”号.因此另一方面,两圆面积之和为又由（）有(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体,把圆改成球,你能得到什么结果?为什么?解:设球O与球O互相外切,并且都在正方体ABCDB