竞赛中的向量和向量方法.doc

向量和向量方法李智伟 林绍华（湖北省宜昌市第一中学，443000）（本讲适合高中）空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用2001年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究一、有关知识：（1） 共线向量定理：存在唯一的实数使得（2） 平面向量基本定理：设向量为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数对使得（3） 若，则三点共线的充要条件是定比分点公式：若点在直线上，且，为任意一点，则（4） 对于向量，（5） 设为两个向量，则，（6） 空间向量基本定理：设向量为空间中三个不共面的向量，则对于空间中任意一个向量，有且仅有唯一的有序实数组使得若，则四点共面的充要条件是（7） 两向量的夹角公式：；向量模长公式：；点到平面的距离公式：（其中是以点为起点，以平面内任意一点为终点的一个向量，是平面的一个法向量）（8） 三角形中“四心”的向量形式：重心：若为的重心，则；垂心：若为的垂心，则(1)； (2) ；外心：若为的外心，则； 结合垂心有：；内心：若为的内心，则二、赛题分析：几何中的运用例1.（2004年全国高中联赛）设点在的内部，且有，则 的面积与的面积之比为（ ）A B C D【分析及解答】思路：题目中所给的为三个起点相同的向量，可考虑将其化为两个向量的线性和，继而得到共线向量如图1，取中点，中点，则有，故，即，所以三点共线且，故选C【说明】此思路借助向量共线定理，巧妙地转化了线段长度和面积，不失为一种方便可行的解题思路但受制于原三向量的系数关系，难以推广思路：由起点相同的三向量和为零向量，可联想到一个重要结论：为三角形的重心的充要条件是，于是可以考虑构造满足此形式的三个向量如图2，延长到点和点，使得，故由已知有： ，即为的重心，所以故选C【说明】此思路利用所给条件的结构，从熟知的结论入手，将原问题转化为和重心相关的三角形的面积关系和思路1比较起来，思路2适合将原命题做更一般的推广【拓展】命题：设点在的内部，则成立的充要条件是命题证明与思路2类似，设，则，故为的重心，由得推论：设点在的内部，则（*）对（*）可以有以下的理解：由得 （1） （2）若设即为平面内不共线的三个单位向量（2）化为 （3）注：（3）式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明推论：设点在的内部，若，若(1)，则为的重心，反之也成立；(2)，则为的外心，反之也成立；(3)，则为的内心，反之也成立；(4)，则为的垂心，反之也成立注：由平面向量基本定理知，对于给定的内部的任意一点，中的的比值是唯一的，而推论即是给出了三角形内的特殊点相应的唯一比值例2.(2005年全国高中联赛）空间四点，满足，则的取值（）A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个【分析及解答】题中的条件是空间四边形的四条边长，结合对角线和边的向量和关系，比较容易想到利用向量模长公式：来处理注意到，由于，故只有一个值0故选A【说明】这里得到的结论实际上是空间四边形（或四面体）的一个重要性质，当两组对边（棱）的平方和相等时，对角线（第三组对棱）垂直，反之也成立特别的，垂心四面体的三组对棱的平方和都相等，它的三组对棱都彼此垂直用传统方法，向内作平行线或向外补成平行六面体也能证明此结论，但没有向量方法来的直接、明了，这进一步说明向量法在解决某些几何问题的优势类似的，我们还可以得到有两组对棱相等的四面体，第三组对棱中点连线垂直于另两组棱中点的连线例3.（2006年全国高中联赛）已知，若对任意，则的形状是（ ）A必为锐角三角形 B必为钝角三角形C必为直角三角形 D不确定【分析及解答】思路：这里是和向量相关的几何不等式问题，由于的任意性，故可考虑取适当的将原式化为与向量相关的不等式令，点作于，由令代入上式得：从而有，由此得故选C【说明】此处令的目的是化为，将两个向量的模长统一，由结合距离的定义即得思路：思路中利用了距离最小性证明了垂直，从此可以直接考虑条件的几何意义来证明（）的几何意义：表示以为终点，起点在直线上的所有向量（如图3） 则说明为这些向量的最小值，故由距离最小性得，故选C思路：由于向量模和数量积都是具体的代数值，故可以考虑将原问题转化为代数问题求解由得，即于是，所以关于的二次不等式应满足，故选C【说明】向量由于其结合了数和形的特征，在给出了形对应的特殊位置关系的同时，实质上也建立了代数上的关系（第二部分的内容会进一步说明向量在联系数形上的作用）向量的模长公式便是联系数形关系最常用的工具之一例4.（2007年全国高中联赛）在中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值等于 【分析及解答】已知与的模长，求夹角，故可联系向量的夹角公式来处理，故设与的夹角为，即是与的夹角，则有，得【说明】题中除了注意各边的长度外，转化条件应是此题的关键，用向量拆分为与所求向量与相关的向量，再处理便显得得心应手了代数中的运用例5.（2005年全国高中联赛）使关于的不等式有解的实数的最大值是 【分析及解答】思路：很容易发现此题就是要求函数的最大值，注意到为定值，故可以平方去根号（或用柯西不等式）处理令，则（）故实数的最大值为思路：为了转化根号，可以考虑构造向量，从而将原问题化为和向量数量积相关的不等式同思路设定函数，设，则令和的夹角为，则，若向量和以原点为起点，则的终点应在以原点为圆心、半径为的圆周上（第一象限内），则易判断（如图4），所以，故，实数的最大值为【说明】用向量方法转化代数问题时有很强的构造性，须仔细研究代数式的结构再变形值得一提的是，思路2只需运用重要不等式就能很快求出最大值（须验证取等条件），这里结合几何关系更进一步地确定了所求函数的范围，为求此类函数的值域提供了很好的思路例6.（2009年全国高中联赛）求函数的最大和最小值【分析及解答】和第5题相比，这里多了一个根号，故可以考虑将原问题转化为空间向量的数量积问题来处理设，则（其中）则，当和共线时取等，即，解得，故当时等号成立，故最大值为又，当时等号成立，故最小值为【说明】此类代数问题，构造向量，使复杂问题简单化，事半功倍例7.（2005年全国高中联赛）过抛物线上的一点作抛物线的切线，分别交轴于，交轴于，点在抛物线上，点在线段上，满足；点在线段上，满足，且，线段与交于点当点在抛物线上移动时，求点的轨迹方程【分析及解答】先考虑点的形成，两点由确定，点运动时，随之运动，故而相交形成点，适合用相关点法求轨迹又由于点、线较多，故考虑用向量转化可简化计算过抛物线上点的切线斜率为，切线的方程为，且是线段的中点设，则，由平面向量基本定理知：两式相加得，即是的重心，设，则消去得，故点的轨迹方程为【说明】利用向量转化线段长度关系，通常可以联系定比分点公式本题的解法主要运用了向量基本定理，给出同一向量的两种表示方式，对应系数应该相等此外得到三角形重心后，便利用重心性质，使计算大大简化三、归纳小结这里仅仅是对近年来联赛一试中的试题进行了探究，而二试中的平面几何和部分不等式均可以考虑用向量方法解决希望这里的探究能给大家带来处理向量问题及向量方法解题的一些启示众所周知，随着高中教材改革的深入，全国高中数学联赛以及各省市高中竞赛中对向量的考查将愈发灵活多变，比重也将愈来愈大只有在充分熟知向量相关的各种性质的基础上，多去自发地运用向量知识解决几何和代数问题，自主地探究向量方法，才能在竞赛中处于优势地位四、针对练习1.已知正三棱锥的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心满足，则这个正三棱锥的体积为 （2008年湖北省预赛试题）（提示：由条件得为底面三角形的重心即中心，然后求出高即可求得体积）2.已知为内一点，且满足，那么，的面积比为 （2006年吉林省预赛试题）（提示：由例1思路2求解即可，注意比例顺序，答案为5:3:4）3. 是平面上不共线三点，向量，设为线段垂直平分线上的任意一点，向量若，则的值是 （2008年河北省预赛试题）（提示：结合中垂线的性质证得即可，结果为8）4已知都在区间内，且，则函数的最小值为 （2003年全国联赛试题）（提示：构造向量其中，利用得 ）5如图6，已知抛物线，为的焦点，为准线，且与轴的交点为，过点任意作一条直线交抛物线于两点若，求证：（2006年陕西预赛试题第1问）（提示：利用抛物线定义，作出两点在准线上