竖直平面内的圆周运动分析.doc

竖直平面内的圆周运动及实例分析河南 曹传涛竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置最高点和最低点。一、两类模型轻绳类和轻杆类1轻绳类如图1所示，运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的是质点通过最高点的最小速度，叫临界速度；（3）质点过最高点的最小向心加速度；（3）质点能通过最高点的条件是，当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最高点。2轻杆类如图2所示，运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零。（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即；（2）当时，；（3）当，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力，且拉力随速度的增大而增大；（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小。二、可化为这两类模型的圆周运动竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，如竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。三、典例分析例1如图3所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。 解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得 物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力。重力与压力的合力提供向心力，有 物块能通过最高点的条件是 由式得 由式得H25R 由题意可知，由式得由式得h5R 综上所述，可知h的取值范围是25Rh5R 例2 如图4所示，光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动两球先后以相同速度v0通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（ ）A速度v0至少为，才能使两球在管内做圆周运动 B当时，小球b在轨道最高点对轨道无压力 C当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg D只要，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg解析：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知得，所以A错误；当小球在最高点的速度，此时，即重力