线性系统的时域分析与校正习题及答案.pdf

第三章第三章 线性系统的时域分析与校正线性系统的时域分析与校正 习题及答案习题及答案 3 1 已知系统脉冲响应 t etk 25 1 0125 0 试求系统闭环传递函数 s 解 sL k ts 0 01251 25 3 2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程 Tc tc tr tr t 近似描述 其中 1 0 T 试证系统的动态性能指标为 T T T td ln693 0 tT r 2 2 T T T ts ln 3 解 设单位阶跃输入 s sR 1 当初始条件为 0 时有 1 1 Ts s sR sC 1 11 1 1 Ts T ssTs s sC C th t T T e t T 1 1 当 时 ttd h t T T e tt d 0 51 1 2 T T e tT d T t T T d ln2ln T T Ttd ln2ln 26 2 求tr 即从到所需时间 tc1 09 0 当 Tt e T T th 2 19 0 tT T T 2 0 1 ln ln 当 Tt e T T th 1 11 0 tT T T 1 0 9 ln ln 则 tttT r 21 0 9 0 1 2 2ln T 3 求 ts Tt s s e T T th 195 0 ln3 20ln ln 05 0ln ln T T T T T T T T Tts 3 3 一阶系统结构图如图 3 45 所示 要求系统闭环增益2 K 调节时间ts 试确定参数的值 4 0 s 21 K K 解 由结构图写出闭环系统传递函数 1 1 1 21 2 21 1 21 1 KK s K KKs K s KK s K s 令闭环增益2 1 2 K K 得 5 0 2 K 令调节时间4 0 3 3 21 KK Tt 得 s 15 1 K 3 4 在许多化学过程中 反应槽内的温度要保持恒定 图 3 46 a 和 b 分别为开 环和闭环温度控制系统结构图 两种系统正常的K值为 1 27 1 若 两种系统从响应开始达到稳态温度值的 63 2 各需多长时 间 1 ttr 0 tn 2 当有阶跃扰动时 求扰动对两种系统的温度的影响 1 0 tn 解 1 对 a 系统 110 1 110 ss K sGa 时间常数 10 T a 系统达到稳态温度值的 63 2 需要 10 个单位时间 632 0 Th 对 a 系统 1 101 10 101 100 10110 100 s s s b 时间常数 101 10 T b 系统达到稳态温度值的 63 2 需要 0 099 个单位时间 632 0 Th 2 对 a 系统 1 sN sC sGn 1 0 tn时 该扰动影响将一直保持 对 b 系统 10110 110 110 100 1 1 s s s sN sC s n 1 0 tn时 最终扰动影响为001 0 101 1 1 0 3 5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压 保持励磁电流不变 测 出电机的稳态转速 另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的 50 或 63 2 所需的时间 利用转速时间曲线 如图 3 47 和所测数据 并假设传递函数为 ass K sV s sG 可求得K和的值 a 若实测结果是 加 10V 电压可得 1200minr的稳态转 速 而达到该值 50 的时间为 1 2s 试求电机传递函数 提示 注意 as K sV s 其中 dt d t 单位是srad 28 解 依题意有 伏 10 tv 40 60 21200 弧度 秒 1 20 5 0 2 1 弧度 秒 2 设系统传递函数 as K sV s sG 0 应有 40 1010 lim lim 0 0 0 a K as K s ssVsGs ss 3 at e a K ass L a K ass K LsVsGLt 1 101110 10 11 0 1 由式 2 3 201401 10 2 1 2 12 1 aa ee a K 得 5 01 2 1 a e 解出 5776 0 2 1 5 0ln a 4 将式 4 代入式 3 得 2586 74 aK 3 6 单位反馈系统的开环传递函数 5 4 ss sG 求单位阶跃响应和调节时间 th ts 解 依题 系统闭环传递函数 1 1 4 4 1 4 45 4 2 T s T s ssss s 21 25 0 1 2 1 T T 41 4 1 4 210 s C s C s C sss sRssC 1 4 1 4 lim lim 00 0 ss sRssC ss 3 4 4 4 lim 1 lim 01 1 ss sRssC ss 29 3 1 1 4 lim 4 lim 04 2 ss sRssC ss tt eeth 4 3 1 3 4 1 4 2 1 T T 3 33 3 11 1 TT T t t s s 3 7 设角速度指示随动系统结构图如图 3 48 所示 若要求系统单位阶跃响应无超调 且调节时间尽可能短 问开环增益K应取何值 调节时间是多少 s t 1 解 依 题 意 应 取 这 时 可 设 闭 环 极 点 为 02 1 1 T 写出系统闭环传递函数 Kss K s 1010 10 2 闭环特征多项式 2 00 2 2 0 2 121 1010 T s T s T sKsssD 比较系数有 K T T 10 1 10 2 2 0 0 联立求解得 5 2 2 0 0 K T 因此有 159 075 4 0 Tts 3 8 给定典型二阶系统的设计指标 超调量 5 调节时间 峰值时间tsts3 s p 1 试确定系统极点配置的区域 以获得预期的响应特性 解 依题 5 45 707 0 30 3 5 3 n n p t 2 1 1 n 综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解 3 8 所示 3 9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题 3 49 图所示 其中模仿心脏的传递函数相 当于一纯积分环节 1 若5 0 对应最佳响应 问起博器增益K应取多大 2 若期望心速为 60 次 min 并突然接通起博器 问 1s 钟后实际心速为多少 瞬时最大 心速多大 解 依题 系统传递函数为 22 2 22 05 005 0 1 05 0 nn n ss K ss K s n n K 205 0 1 05 0 令 5 0 可解出 20 20 n K 将 代入二阶系统阶跃响应公式 st1 t e th n t n 2 2 1sin 1 1 可得 min00145 60000024 1 1 次次 sh 5 0 时 系统超调量 3 16 最大心速为 min78 69163 1163 01 次次 sth p 31 3 10 机器人控制系统结构图如图 3 50 所示 试确定 参数值 使系统阶跃响应的峰值时间 21 K K5 0 p ts 超调量 2 解 依题 系统传递函数为 22 2 121 2 1 21 1 2 1 1 1 1 1 nn n ss K KsKKs K ss sKK ss K s 由 5 0 1 02 0 2 1 2 n p o o t e 联立求解得 10 78 0 n 比较分母系数得 s 146 0 12 100 1 2 2 1 K K K n n 3 11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图 3 51 所示 试确定系统的闭环传递函数 解 依题 系统闭环传递函数形式应为 22 2 2 nn n ss K s 由阶跃响应曲线有 2 1 lim lim 00 K s sssRssh ss 32 o o o o n p e t 25 2 25 2 2 1 2 1 2 联立求解得 717 1 404 0 n 所以有 95 239 1 9 5 717 1717 1404 02 717 12 222 2 ssss s 3 12 设单位反馈系统的开环传递函数为 12 0 5 12 ss sG 试求系统在误差初条件1 0 10 0 ee 作用下的时间响应 解 依题意 系统闭环传递函数为 5 625 5 62 1 2 sssG sG sR sC s 当时 系统微分方程为 0 tr 0 5 62 5 tctctc 考虑初始条件 对微分方程进行拉氏变换 0 5 62 0 5 0 0 2 sCcsCsccssCs 整理得 0 0 5 5 625 2 ccssCss 1 对单位反馈系统有 所以 tctrte 110 0 0 0 101000 0 0 erc erc 将初始条件代入式 1 得 222 5 7 5 2 26 5 2 10 5 625 5110 s s ss s sC 2222 5 7 5 2 5 7 47 3 5 7 5 2 5 2 10 ss s 8 705 7sin 6 105 7sin47 35 7cos10 5 25 25 2 tetetetc ttt 33 3 13 设图 3 52 a 所示系统的单位阶跃响应如图 3 52 b 所示 试确定系统参数 和 1 K 2 Ka 解 由系统阶跃响应曲线有 o o o o p t h 3 333 34 1 0 3 系统闭环传递函数为 22 2 2 1 2 21 2 nn n ss K Kass KK s 1 由 o o o o n p e t 3 33 1 0 1 2 1 2 联立求解得 28 33 33 0 n 由式 1 222 1108 2 1 n n a K 另外 3lim 1 lim 2 1 2 21 00 K Kass KK s ssh ss 3 14 图 3 53 所示是电压测 量系统 输入电压伏 输出位移厘米 放 大器增益 丝杠每转螺距 1mm 电位计滑 臂每移动 1 厘米电压增量为 0 4V 当对电机加 10V 阶跃电压时 带负载 稳态转速为 1000 tet ty 10 K minr 达 到该值 63 2 需要 0 5s 画出系统方框图 求出传递 函数 并求系统单位阶跃响应的峰值时 sEsY 34 间 超调量 p t o o 调节时间和稳态值 s t h 解 依题意可列出环节传递函数如下 比较点 sFsEsE t V 放大器 10 K sE sUa 电动机 15 0 35 15 0 6010 1000 1 sssT K sU s m m a r s V 丝杠 1 0 1 K s sY cm r 电位器 4 0 2 K sY sF V cm 画出系统结构图如图解 3 14 所示 系统传递函数为 3 4 2 3 10 2 ss sE sY s t 866 0 2 2 3 2 n n 44 5 1 2 n p t o o o o e433 0 2 1 5 3 5 3 n s t 35 5 2 1 lim 0 s ssh s 3 15 已知系统的特征方程 试判别系统的稳定性 并确定在右半 s 平面根的个数及纯 虚根 1 01011422 2345 ssssssD 2 0483224123 2345 ssssssD 3 022 45 ssssD 4 0502548242 2345 ssssssD 解 1 0 1011422 2345 ssssssD Routh S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 6 S2 124 10 S 6 S0 10 第一列元素变号两次 有 2 个正根 2 0 483224123 2345 ssssssD Routh S5 1 12 32 S4 3 24 48 S3 3 1224 3 4 32348 3 16 0 S2 4243 16 4 12 48 S 1216448 12 0 0 辅助方程 12480 2 s S 24 辅助方程求导 024 s S0 48 系统没有正根 对辅助方程求解 得到系统一对虚根 sj 1 2 2 3 022 45 ssssD Routh S5 1 0 1 36 S4 2 0 2 辅助方程 022 4 s S3 8 0 辅助方程求导 08 3 s S2 2 S 16 S0 2 第一列元素变号一次 有 1 个正根 由辅助方程可解出 022 4 s 1 1 222 4 jsjssss 1 1 2 22 45 jsjssssssssD 4 0502548242 2345 ssssssD Routh S5 1 24 25 S4 2 48 50 辅助方程 050482 24 ss S3 8 96 辅助方程求导 0968 3 ss S2 24 50 S 338 3 S0 50 第一列元素变号一次 有 1 个正根 由辅助方程可解出 050482 24 ss 5 5 1 1 250482 24 jsjsssss 5 5 1 1 2 502548242 2345 jsjssssssssssD 3 16 图 3 54 是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图 试确定使系统稳定的K值范 围 解 由结构图 系统开环传递函数为 4 124 23 2 sss ssK sG 3 4 v KKk 系统型别 开环增益 0244 2345 KKsKsssssD Routh S5 1 4 2K 37 S4 1 4K K S3 K 1 4K 1 K S 1 4 164732 2 K KK 933 0536 0 K 使系统稳定的 K 值范围是 933 0536 0 K 3 17 单位反馈系统的开环传递函数为 5 3 sss K sG 要求系统特征根的实部不大于 试确定开环增益的取值范围 1 解 系统开环增益 15KKk 特征方程为 0158 23 KssssD 做代换 1 ss 有 0 8 25 1 15 1 8 1 2323 KsssKssssD Routh S3 1 2 S2 5 K 8 S 5 18K 18 K 使系统稳定的开环增益范围为 15 18 1515 8 KT的条件下 确定使系统稳定的T和K的取值范围 并以T和K为坐 标画出使系统稳定的参数区域图 解 特征方程为 38 0 1 2 2 23 KsKsTTssD Routh S3 T2 K 1 0 T S2 T 2K 2 T S T TK K 2 2 1 1 4 2 K 综合所得条件 当1 K 时 使系统稳定的参数取值 范围如图解 3 18 中阴影部所示 3 19 图 3 55 是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统 其目的在于获得希望的辐射水平 增益 4 4 就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数 辐射传感器的时间常数为 0 1 秒 直流增益 为 1 设控制器传递函数 1 sGc 1 求使系统稳定的功率放大器增益K的取值范围 2 设 传感器的传递函数20 K 1 1 s sH 不一定是 0 1 求使系统稳定的 的取值范围 解 1 当控制器传递函数1 sGc时 Ksss sK sR sC s 64 2 11 0 6 11 0 64 2 39 0 4 266016 4 26 10 6 23 KsssKssssD 04 26 36 360 16 4 26960 4 2616 601 0 1 2 3 KKs K K s Ks sRouth 36 360 K 2 20 K 1 1 s sH 时 8 52 1 6 1 8 52 sss s sR sC s 08 526 16 8 52 1 6 23 sssssssD 8 52 357 00 16 8 166 167 0 8 5216 6 0 1 2 3 s s s sRouth 357 00 K 3 26 宇航员机动控制系统结构图如图 3 60 所示 其中控制器可以用增益来表示 宇航员及其装备的总转动惯量 2 K 2 25mkgI 1 当输入为斜坡信号m 时 试确定的取值 使系统稳态误差cm ttr 3 K ss e1 2 采用 1 中的值 试确定的取值 使系统超调量 3 K 21 K K 限制在 10 以内 解 1 系统开环传递函数为 321 21 321 21 I KKK ss I KK KKKsIs KK sE sC sG 1 1 3 v K K 44 ttr 时 令 01 0 1 3 K K ess 可取 3 0 01K 2 系统闭环传递函数为 I KK s I KKK s I KK sR sC s 213212 21 I KKK I KK n 2 213 21 由 o o o o e10 2 1 可解出 592 0 取 6 0 进行设计 将 25 I01 0 3 K代入6 0 2 213 I KKK 表达式 可得 360000 21 KK 3 27 大型天线伺服系统结构图如图 3 61 所示 其中 0 707 n 15 0 15s 1 当干扰 110 ttn 输入0 tr时 为保证系统的稳态误差小于0 01 试确定 的取值 a K 2 当系统开环工作 0 且输入 a K0 tr时 确定由干扰引起的系 统响应稳态值 110 ttn 解 1 干扰作用下系统的误差传递函数为 222 2 2 1 1 nann n en Kssss s sN sE s 110 ttn 时 令 45 a en s en s ssn K s s sssNse 10 10 lim lim 00 01 0 得 1000 a K 2 此时有 2 10 2 222 2 22 2 nn n nn n sss sN sss sCsE lim 0 ssEee s ss 3 28 单位反馈系统的开环传递函数为 5 25 ss sG 1 求各静态误差系数和时的稳态误差 2 5 021 tttr ss e 2 当输入作用 10s 时的动态误差是多少 解 1 5 25 ss sG 1 5 v K 5 25 lim lim 00 ss sGK ss p 5 5 25 lim lim 00 s sGsK ss v 0 5 25 lim lim 0 2 0 s s sGsK ss a 时 1 1 ttr 0 1 1 1 p ss K e 时 ttr2 2 4 0 5 2 2 v ss K A e 2 3 5 0 ttr 时 0 1 3 a ss K A e 46 由叠加原理 321ssssssss eeee 2 题意有 255 5 1 1 2 ss ss sG s e 用长除法可得 33 3 2 210 008 02 0 sssCsCsCCs e 008 0 0 2 0 0 3 2 1 0 C C C C 0 1 2 5 021 2 tr tr ttr tttr ttrCtrCtrCtrCtes2 04 0 3210 4 2 10 s e 3 29 已知单位反馈系统的闭环传递函数为 2006502 001 0 2005 23 sss s s 输入 求动态误差表达式 2 10205 tttr 解 依题意 2006502 001 0 502 001 0 1 23 23 sss sss ss e 用长除法可得 32 3 3 2 210 0000335 000236 005 0 sss sCsCsCCs e 1472 01 02000236 0 2020 005 0 tttes 3 30 控制系统结构图如图 3 62 所示 其中 1 K0 2 K0 试分析 1 值变化 增大 对系统稳定性的影响 2 值变化 增大 对动态性能 的影响 s t 3 值变化 增大 对作用下稳态误差的影响 tatr 解 系统开环传递函数为 47 1 2 21 2 2 1 Kss KK sKs K KsG 1 1 v KK 212 2 21 KKsKs KK s 1 2 21 2 21 2 2 K K KK K KK n 212 2 KKsKssD 1 由 表达式可知 当 sD0 时系统不稳定 0 时系统总是稳定的 2 由 1 2 2 1 K K 可知 2 75 3 K t n s o o 10 时 系统 稳定 令 0 1 lim 421 432 2 0 KKK KKKK s sse C e s ss 得 4 32 K KK KC 3 32 已知控制系统结构图如图 3 64 所示 试 48 求 1 按不加虚线所画的顺馈控制时 系统在干扰作用下的传递函数 s n 2 当干扰 1 ttn 时 系统的稳态输出 3 若加入虚线所画的顺馈控制时 系统在干扰作用下的传递函数 并求对输出 稳态值影响最小的适合 tn tc K值 解 1 无顺馈时 系统误差传递函数为 256 5 20 5 1 5 2 ss s ss s sN sC s n 2 5 lim lim 00 s sssNssc n s n s n 3 有顺馈时 系统误差传递函数为 256 205 5 1 20 1 25 20 1 1 1 2 ss Ks ss s K s sN sC s n 令 25 205 lim lim 00 K s sssNssc n s n s n 0 得 25 0 K 3 33 设复合校正控制系统结构图如 图 3 65 所示 其中 N s 为可量测扰动 若 要求系统输出 C s 完全不受 N s 的影响 且 跟踪阶跃指令的稳态误差为零 试确定前馈 补偿装置 Gc1 s 和串联校正装置 Gc2 s 解 1 求 令 1 sGc 0 1 1 1 1 1 1 1 2211 1112 2211 1 2112 sGKKTsKTss sGKKsK Tss sGKK s K sG Tss KK s K Ts K sN sC s c c c c n 得 1 1 1 K Ks sGc 49 2 求 令 2 sGc 1 1 1 1 1 1 2211 1 2211 1 sGKKTsKTss TsKs Tss sGKK s K s K sR sE s c c e 当作用时 令 1 ttr 0 lim 1 lim 2211 1 00 sGKKK K s sse c s e s ss 明显地 取 s sGc 1 2 可以达到目的 3 34 已知控制系统结构图如图 3 66 a 所示 其单位阶跃响应如图 3 66 b 所示 系统的稳态位置误差 试确定和0 ss evK T的值 解 1 Tss as sG v 待定v aKK 由 时 1 ttr 0 ss e 可以判定 1 v asTss asK Tss as Tss asK s v v v 1 1 1 1 assTssD vv 1 系统单位阶跃响应收敛 系统稳定 因此必有 2 v 根据单位阶跃响应曲线 有 50 10 1 1 lim lim 00 K asTss asK s ssRssh v ss 10lim 1 lim lim 0 0 1 2 assTs aKsKs asTss assK sskh vv s v ss 当时 有 0 T 10lim 0 1 2 v s Ts Ks k 可得 1 1 10 T v K 当时 有 0 T 10lim 0 2 v s s Ks k 可得 0 2 10 T v K 3 35 复合控制系统结构图如图 3 67 所示 图中 均为大于零的常数 1 K 2 K 1 T 2 T 1 确定当闭环系统稳定时 参数 应满足的条件 1 K 2 K 1 T 2 T 2 当输入tVtr 0 时 选择校正装置 使得系统无稳态误差 sGC 解 1 系统误差传递函数 2121 1221 21 21 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 KKsTsTs sTsGKsTsTs sTsTs KK sG sTs K sR sE s c c e 21 2 21 3 21 KKssTTsTTsD 列劳斯表 51 21 0 21 2121211 2121 2 21 3 0 1 KKs TT KKTTTT s KKTTs TTs 因 均大于零 所以只要 1 K 2 K 1 T 2 T 212121 KKTTTT 即可满足稳定条件 2 令 2121 1221 2 0 00 1 1 1 1 1 lim lim KKsTsTs sTsGKsTsTs s V ssRsse c s e s ss 0 1lim 2 21 0 0 s sG K KK V c s 可得 2 KssGc 3 36 设复合控制系统结构图如图 3 68 所示 图中为前馈补偿装置的传递函数 为测速发电机及分压电位器的传递函数 和为前向通路环节的传 递函数 为可量测扰动 1 sGc sKsG tc 2 1 sG 2 sG sN 如果 2 211 1 ssGKsG 试确定 和 1 使系统输出量完全 不受扰动的影响 且单位阶跃响应的超调量 1 sGc 2 sGc 25 峰值时间 stp2 解 1 确定 由梅逊公式 1 sGc 0 1 1 11 2 1 2 2121 221 2 12 2 12 KsGKs sGsGKs GGGGG GGGGG sN sC s c cc c cc n 解得 11 2 21 tcc KKsssGKssG 2 确定 由梅逊公式 t K 2121 21 2 1 GGGGG GG sR sC s c 22 2 11 2 1 2 nn n t ssKsKKs K 52 比较有 由题目要求 nt n KK