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文档简介

2. Z变换的定义及收敛域1. 变换的定义对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换。序列的Z变换实质上是以序列x(n)为加权系数的z的幂级数之和。如n的取值范围0到+，则序列的单边Z变换为序列的单边Z变换是以序列x(n)为加权系数的z的负幂项的级数之和。2从抽样吸纳后的拉普拉斯变化引出Z变换连续信号x(t)冲激抽样信号可表示为：对取拉普拉斯变换，得令，并将T归一化为1，简写为则同样可得到离散信号的 z 变换：对比： 拉普拉斯变换 对应连续信号 Z变换 对应离散信号 是相对连续系统和连续信号的角频率）则，令， 是相对于离散系统和离散信号的圆周频率（rad）， 则。将代入可得：=上式表明，只要满足绝对可和的收敛条件，即，则x(n)的Z变换存在。这样，一个序列x(n)的Z变换可视为该序列乘以一实加权序列后的傅里叶变换，即如果r=1，则，这时Z变换演化为离散序列的傅里叶变换（DTFT）s平面与z平面的映射关系 (1) ，则r1，在z平面内，单位元外。(3) ，则r=1，在z平面内，单位元周。许多常用的离散信号的Z变化都可由Z变换的定义求出，如，（1）单位抽样信号的Z变换：（2）单位阶跃序列的Z变换，表明为z的无穷级数的和，如，则上式级数收敛，其结果为：Z变换的收敛域一个序列的Z变换，只有当定义中的级数和收敛才有意义。对于使级数的和收敛的所有z值的集合称为x(n)的Z变换的收敛域（ROC）。 （，）条件：除 外，还取决于 r 的取值注意：是r是z的模，所以 ROC 具有 “圆”，或“环”的形状，如。即：例：求的Z变换解：，类似地，序列的Z变换为 ROC: 可见：不同的x(n)，其Z变换有可能具有相同的形式，区别在于各自的ROC， 为保证逆Z变换求出的序列是唯一的，则必须指明其收敛域。离散序列Z变换收敛的一般情况设x(n)在区间内有值，即，当和取不同值时，x(n)可以是有限长序列、右边序列、左边序列及双边序列。（1），右边有限长序列 ROC: （2） , , ROC: ()为双边有限长序列。（3） ，ROC
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