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文档简介

第五节 隐函数的求导公式 在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程（1）求它所确定的隐函数的导数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且 , 。则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件， 并有 (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式作如下推导。将方程(1)所确定的函数代入(1)，得恒等式 其左边可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有 由于连续，且 ,所以存在的一个邻域，在这个邻域内 于是得 隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程就有可能确定一个二元隐函数。与定理1相仿，我们同样可以由三元函数的性质来断定由方程 所确定的二元函数的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，。则方程在点的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 ， （4） 这个定理我们不证。与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导。由定理条件可知：将公式两端分别对和求偏导数，应用复合函数求导法则有 因为连续，且。所以存在点的一个邻域，在这个邻域内,于是得 ，公式（4）即是求二元隐函数的偏导数的计算公式。例1 设确定二元函数，求,解： 设 则 应用公式（4）得对再一次对求偏导数有 例2 设方程F确定了二元函数z=z，试证：证明：设G，则有G于是 所以有 习题8-51.求下列各方程所确定的隐函数的导数 (1) (2)2.求下列各题所确定的隐函数的偏导数 (1) (2) (3) (4)3. 设，其中可微,证明:4设具有连续偏导数,证明由方程所确定的函数满足 5.设,求6.设，求，
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