第六节 朱世杰及元代数学.doc

第六节 朱世杰及元代数学一、元初数学成就1王恂的数学工作王恂(12351281)，元代数学家字敬甫，唐县(今属河北)人他“六岁就学，十三岁学九数，辄造其极”后从刘秉忠学，官至太史令至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(12311316)等共同编成授时历，其中的数学工作主要是王恂作的唐代张遂制订历法时，假定太阳作匀加速运动，所以使用二次内插法但实际上，太阳运行的加速度是不断变化的在授时历中，王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标，王恂之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的王恂首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知太阳的“黄道积度”，求“赤道积度”和“赤道内外度”如图816，设A为春分点，D为夏至点，其中d为直径，BNOC，CPOE只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果2赵友钦的割圆术赵友钦，元代天文学家、数学家字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详所著革象新书是一部天文数学著作作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图817)“置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也”周率近似值中最准确的一个赵友钦说：“自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密若节节求之，虽至千万次，其数终不穷”可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种思想与现代极限观念相当接近赵友钦还进一步揭示了方、圆关系，说：“要之方为数之始，圆为数之终圆始于方，方终于圆”这种“曲直互通”的思想是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限二、朱世杰生平朱世杰，元代数学家字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”朱世杰全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的算学启蒙(三卷)和四元术的代表作四元玉鉴(三卷)，先后于1299年和1303年刊印朱世杰是元代最杰出的数学家，清罗士琳(17741853)说他“兼包众有，充类尽量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上”四元玉鉴的成书则标志着宋元数学达到最高峰美国科学史家萨顿(GSarton)称赞该书“是中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一”三、算学启蒙算学启蒙的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、高次方程解法等尤其引人注目的是，卷首“总括”中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础其中包括正负数乘法法则及倒数概念朱世杰明确指出：“同名(号)相乘为正，异名相乘为负”又指出：“平除长为小长，长除平为小平小长平相乘得一步为小积”这便给出倒数的基本性质 在算学启蒙中，朱世杰借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次例如卷下“方程正负门”第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展朱世杰还致力于算法研究，给出一些新的公式，如“开方释锁门”给出根式运算法则其中n，a，b为自然数，n2算学启蒙为四元玉鉴提供了必要的预备知识，正如罗士琳所说，该书“似浅实深”，与四元玉鉴“相为表里”四、四元玉鉴四元玉鉴的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法在他之前，已有李德载两仪群英集臻讨论二元术，刘大鉴乾坤括囊讨论三元术在此基础上，朱世杰“演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元”(四元玉鉴后序)，创立了举世闻名的四元术朱世杰的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下“三才变通”第1题)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下“四象朝元”第6题)分别摆成图8.19和图8.20的形状四元玉鉴共24门288问，所有问题都与方程或方程组有关题目顺序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组朱世杰创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(E.Bezoub,17301783)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰但朱世杰的消法要点仅见于书首“假令四草”，其他各题均无草书首还列有“今古开方会要之图”、“四元自乘演段之图”、“五和自乘演段之图”和“五较自乘演段之图”，这些图的作用也是统御全书朱世杰说：“凡习四元者，以明理为务必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也”卷首各图便是为“明理”而作，他说：“夫算中玄妙，无过演段如积幽微，莫越认图其法奥妙，学者鲜能造其微前明五和，次辨五较，自知优劣也”四元玉鉴表明，朱世杰在方程领域取得重要成就以前的方程都是有理方程，朱世杰则突破有理式的限制，开始讨论无理方程他不化为有理方程(见“左右逢源”第21题，“拨换截田”第18题，“四象朝元”第1题)四元消法是朱世杰方程理论的核心他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程三元式和四元式的消法称为“剔而消之”，即把全式剔分为二，进行相消二元式的消法称为“互隐通分相消”下面以二元三行式为例说明其消法其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数)欲消x2项，先以B2乘(1)式中x2项以外各项，再以A2乘(2)式中x2项以外各项，相减，得C1xC00 (3)以x乘(3)，得C1x2C0x=0 (4)将(4)与(1)或(2)联立，用同样方法消去x2项，得D1x+D00 (5)(3)与(5)联立，便为二元二行式朱世杰称C1，D0为外二行，C0，D1为内二行内二行乘积与外二行乘积相减，得C1D0-C0D10这便消去x，得到只含另一个未知数的一元方程了四元玉鉴含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平“四象朝元”第6题所导出的十四次方程是中国古算史上次数最高的方程高阶等差级数理论是书中另一成就沈括的隙积术开了研究高阶等差级数的先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式朱世杰在这一领域作了总结性工作在中卷“茭草形段”和下卷“果垛叠藏”中，他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题，不仅给出相应的公式，而且发现其规律，掌握了如下的三角垛统一公式从而奠定了垛积术的理论基础实际上，等差级数是几阶的，便可把上式中的p换为几朱世杰给出了p1，2，5的特例他还发现垛积术与内插法的内在联系，在“如象招数”第5题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数，五次差为零)：其中1，2，3，4分别为一次差、二次差、三次差、四次差由于朱世杰正确指出了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积，他显然能够解决更高次的内插问题，从而把中国古代的内插法推向一个新水平在几何方面，朱世杰也有一定的贡献自九章算术以来，中国就有了平面几何与立体几何，但一直到北宋，几何研究离不开勾股和面积、体积李冶开始注意到圆城图式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形朱世杰在李冶思想的基础上，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理例如卷上“混积问元”第七题，如图821，朱世杰得到公式易证等号左面等于h2，所以此式与射影定理h2ef等价再如卷中“拨换截田”第十四题，如图822，ABCD于E，朱世杰给出公式4CEEDAB2此式显然是弦幂定理CEEDAEEB在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形五、宋元数学的外传及衰落算学启蒙出版后不久即传到朝鲜和日本在朝鲜李朝时期(1416世纪)，算学启蒙及杨辉算法都被作为朝廷选拔算官的基本书籍两书的朝鲜庆州府刻本(15世纪)一直保存至今由于算学启蒙在明代失传，清罗士琳幸得朝鲜金始振翻刻本(1660)，于1839年在扬州重新出版，成为中国现存各版本的母本算学启蒙对日本的影响也很大，不少日本学者在研究此书的基础上写出专著，比较著名的有星野实宣新编算学启蒙注解三卷(1672)、建部贤弘算学启蒙谚解大全七卷(1690)等宋元数学还曾传到阿拉伯13世纪旭烈兀西征时，带走了一批中国天文学家和数学家他征服波斯后支持纳西尔丁(NasiradDin，12011274)在马拉盖(Maraghen，今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台，并把带去的中国学者留在天文台和纳西尔丁一起工作，这是中国数学传入阿拉伯国家的一个途径阿拉伯数学家卡西(alksh，？1429)的算术之钥(The Key of Arithmetic，1427)中有不少内容与中国数学相同，如贾宪三角形、增乘开方法，以及和“百鸡问题”极为类似的“百禽问题”等他受到中国数学影响是可以肯定的，当然不排除其独立取得成果的可能性在元代，阿拉伯数码曾传入中国，但并未被中国人接受欧几里得几何原本也传到上都(今内蒙古正蓝旗)，可惜没有译成中文，所以影响不大，不久便散失了朱世杰之后，元代数学便开始走下坡路明代数学理论水平远不及宋元，天元术、四元术成为绝学直到明末清初，由于西方数学的传入及中国学者的努力，数学才有所回升那么，宋元数学衰落的原因是什么呢？首先，中国传统数学是依靠算筹的，虽然这是一种很有用的计算工具，但具有不可避免的局限性，因为它只适于计算而不适于证明，只能表示具体的量而不能表示抽象的量这就限制了人们的抽象思维，限制了数学一般化程度的提高宋元方程理论可以由天元术发展为四元术，但在筹算体系内却无法建立五元术或n元术，因为四个未知数已把“太”的上下左右占满这个例子便说明了算筹的局限性更重要的是，人们无法利用算筹进行逻辑推理，也很难在筹算体系内发展数学符号但这些消极因素的总和，充其量是使数学停滞不前而事实上，元末数学不仅没前进，反而后退造成这种状况的原因就不在数学内部，而在于社会了当时的政策是不利于科学发展的，尤其是八股取士制1314年恢复科举考试后，内容以朱熹集注的四书为主，将数学内容完全取消不久，这种考试发展为“以四书五经命题、八股文取士”的制度，引导知识分子远离自然科学，严重束缚了读书人的思想知识分子们为了功名，纷