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上海市杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理)参考答案一填空题:1. 0；2；32；4. （向量表示也可）；5；6. ；7. 8. 2013；9.；10. ；11. 12 48；13 ；14 0； 二、选择题: 15；16；17；18. 三、解答题19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 (1)由已知得， 2分 所以 ，体积 5分(2)取中点，连接，则，所以就是异面直线与所成的角. 7分由已知， . 10分在中，所以，. 12分(其他解法，可参照给分)20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 解：（1）因为 2分 4分 所以,，即函数的最小正周期为 5分， 所以的单调递减区间为 7分（2）因为，得，所以有 8分由，即 10分所以，函数的最大值为1. 12分此时，因为，所以，即. 14分21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以， 4分解得， 故椭圆的方程为 6分（方法2、待定系数法）（2）设，由：， 8分两式相减，得到所以，即， 11分同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 14分方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略) 22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. (1)由已知得， ，则 1分当且仅当时，即等号成立， 3分所以， 4分(2)由题得 5分函数在的最大值为 9分 10分(3)设，则直线的方程为，即， 11分由 得 13分又， 14分 所以，故 16分23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）， 2分 ，则所以. 4分（2），所以，所以，当，即时，所以，解得（，舍去）. 6分当，即时，所以，解得（，舍去）. 7分当，即时，所以，解得（，舍去）. 9分综上，. 10分（3）成立. 11分 （证明1）由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）. 12分 由，可得； 13分若，设（，是非负整数）则 ，而由得，故，可得 14分若则， 15分若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，但小于的正整数共有个，矛盾. 17分故中至少有一个为0，即存在，使得.从而数
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