《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章).doc

应用数理统计作业题及参考答案(前三章)第一章 数理统计的基本概念P261.2 设总体的分布函数为，密度函数为，为的子样，求最大顺序统计量与最小顺序统计量的分布函数与密度函数。解：.1.3 设总体服从正态分布，今抽取容量为5的子样，试问：（i）子样的平均值大于13的概率为多少？（ii）子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？（iii）子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？解：，.（i）.（ii）令，.，.（iii）.1.4 试证：（i）对任意实数成立。并由此证明当时，达到最小。（ii），其中。证明：（i）.当时，达到最小。（ii）.P271.5 设，为正态总体的样本，令，试证，。证明：，则. .1.6 设总体服从正态，为其子样，与分别为子样均值及方差。又设与，独立同分布，试求统计量的分布。解：由于和是独立的正态变量，且它们相互独立.则.而，且与相互独立，则.1.7 设，求证.证明：又分布的定义可知，若，且与相互独立，则，这时，其中，.由分布的定义可知，.1.9 设，和，分别来自总体和，且相互独立，和是两个已知常数，试求的分布，其中，。解：，与相互独立，.，且与相互独立，.，即.第二章 参数估计（续）P682.13 设总体服从几何分布：，证明样本均值是的相合、无偏和有效估计量。证明：总体服从几何分布，. .样本均值是的无偏估计量。 .样本均值是的有效估计量。 证法一：，.样本均值是的相合估计量。证法二：，. 样本均值是的相合估计量。证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的，即对于任给，有.因此，样本均值是的相合估计量。综上所述，样本均值是的相合、无偏和有效估计量。2.14 设总体服从泊松分布，为其子样。试求参数的无偏估计量的克拉美劳不等式下界。解：. . . .参数的无偏估计量的克拉美劳不等式下界为：.2.19 设总体服从泊松分布，为来自的一个样本。假设有先验分布，其密度为，求在平方损失下的贝叶斯估计量。解：服从泊松分布，.的先验分布密度为.给定，样本的分布列为：的后验概率密度为：从而在平方损失下，的贝叶斯估计为：.（*）其中，（*）将（*）式代入（*）式得：，即为在平方损失下的贝叶斯估计量。第三章 假设检验P1313.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于1000（小时）。现在从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950（小时）。已知该种元件寿命服从标准差（小时）的正态分布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。解：本题需检验：，：.元件寿命服从正态分布，已知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.其中，.则. 查表得，得，落在拒绝域中，拒绝，即认为这批元件不合格。3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布，其中（kg / cm2）。现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为，与以往正常生产时的相比，较大20（kg / cm2）。设总体方差不变，问在下能否认为这批钢索质量有显著提高？解：本题需检验：，：.钢索的断裂强度服从正态分布，已知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.其中，.则. 查表得，得，未落在拒绝域中，接受，即认为这批钢索质量没有显著提高。3.5 测定某种溶液中的水分。它的10个测定值给出，。设总体为正态分布，试在水平5%检验假设：（i）：； ：.（ii）：； ：.解：（i）总体服从正态分布，未知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.查表得.而.落在拒绝域中，拒绝.（ii）总体服从正态分布，未知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为.查表得.而.未落在拒绝域中，接受.3.6 使用（电学法）与（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是0.72的冰块，下列数据是每克冰从0.72变成0水的过程中的吸热量（卡 / 克）：方法：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02方法：80.02，79.94，79.97，79.98，79.97，80.03，79.95，79.97假定用每种方法测得的数据都服从正态分布，且它们的方差相等。检验：两种方法的总体均值是否相等。（）解：假设方法、方法所得数据分别服从正态分布和.其中，.本题需检验：，：.测得的数据服从正态分布，未知，当成立时，选取统计量，其拒绝域为. 查表得，又计算得，.代入得，落在拒绝域内，拒绝.3.7 今有两台机床加工同一种零件，分别取6个及9个零件测其口径，数据记为，及，计算得，；，假定零件口径服从正态分布，给定显著性水平，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方差无显著性差异？解：本题需检验：，：.零件口径服从正态分布，均值未知，选取统计量，其拒绝域为.查表得，.而.同理得.故，落在拒绝域外，无显著差异。P1323.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量，得如下结果重量法：次测量，比色法：次测量，假设两种分析法结果都服从正态分布，问（i）两种分析方法的精度（）是否相同？（ii）两种分析方法的均值（）是否相同？（）.解：（i）本题需检验：，：. 两种分析法结果都服从正态分布，且、未知，选取统计量，其拒绝域为.查表得，.，未落在拒绝域内，无显著性差异。（ii）本题需检验：，：.由（i）知（未知），选取统计量，其拒绝域为.查表得，计算，落在拒绝域内，差异显著。P1333.14 调查339名50岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系，得下表： 是否吸烟是否患病吸烟不吸烟患慢性气管炎未患慢性气管炎431621312156283205134339患病率21.09.716.5试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同（）？解：设抽一人是否吸烟，抽一人是否患病.本题需检验：与独立，：与不独立.，.，拒绝，认为吸烟者的慢性气管炎患病率要高。3.15 下表为某种药治疗感冒效果的列联表。 年龄疗效儿 童成 年老 年显 著583832128一 般284445117较 差2318145510910091300 试问疗效与年龄是否有关（）？解：设该药治疗感冒疗效，患者年