线性代数习题及答案-华南理工大学工版.doc

习题一1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）级排列 。解：（1） ； （2） 。2.选择和，使得： 1）1274569成奇排列； 2）1254897为偶排列。解：（1）令，则排列的逆序数为：，排列为奇排列。从而。 （2）令，则排列的逆序数为：，排列为奇排列。与题意不符，从而。3.由定义计算行列式 。解：行列式，因为至少有一个大于3，所以中至少有一数为0，从而（任意），于是 。4.计算行列式：1）； 2）； 3）；4）；5）。解：（1） 40 ； （2） 16 ；（3） 0 ；（4）1008 ；（5） 0 。5.计算阶行列式： 1）； 2）； 3）（）； 4） 。解：（1）原式=（按第一列展开） = 。（2）行列式=（后列和加到第一列，再按第一列展开） = = 。（3）行列式=（第一行第一列为添加的部分，注意此时为级行列式） = 。（4）行列式=（按第二行展开） 。提高题1.已知级排列的逆序数为，求排列的逆序数。解：设原排列中1前面比1大的数的个数为，则1后面比1大的数的个数为，于是新排列中1前比1大的个数为个；依此类推，原排列中数前面比大的数的个数为，则新排列中前比大的个数为个记，故新排列的逆序数为。2.由行列式定义计算 中与的系数，并说明理由。解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含的一次项，因此的项只能由对角线上的元素乘积所得到，故的系数为2。同样的考虑可得的系数为1。3.设 ，其中互不相同。 1）说明是一个次多项式； 2）求的根。解：1) 把按第一行展开得：。而 ，所以是一个次多项式。根据范德蒙行列式2)因为 （）代入中有两行元素相同，所以行列式为零，从而的根为 。习题二解答1.计算1） ；2）已知；求 、。解：1） ； 2） ； ； 。2. 设 1），求 。 2），求 。解：1） ；2） 。3. 设是阶实方阵，且。证明。证明：设 ，则 。从而。 。所以 。因为为实数，故 （）。即 。4 .设，互不相同。证明与可交换的矩阵只能为对角矩阵。证明：设与可交换的矩阵为，由得： 。即 （）。由于互不相同，所以时，。故 。即为对角矩阵。5. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设为方阵，记，则可知为对称矩阵，为反对称矩阵。且。6. 设，定义，其中是阶方阵。已知，计算。解： 。7. 已知方阵满足。证明及可逆，并求它们的逆矩阵。证明：由，可得：。所以可逆，且。同理由，可得：。所以可逆，且。8. 求下列矩阵的逆阵：1） ；2） ；3） ；4） ；5） 。解：1） ；2） ；3） ；4） ；5） 。9. 已知 ，且，求。解：由，可得。又，所以 。10. 设是阶方阵，如果对任意矩阵均有。证明。证明：记，取，由，可得 （） 。同理可得（） 。从而 。11. 已知4阶方阵的行列式，求。解：因为 ，两边取行列式有 。所以 。12. 设，分别为，阶可逆方阵，证明分块矩阵可逆，并求逆。证明：因为 ，可逆，所以 ，。故 ，从而可逆。记是的逆，则，于是 ，解得。故矩阵的逆为。13. 设，其中，存在，求。解：因为 ，所以的逆为 。14. 求下列矩阵的秩： 1） ；2） ； 3） 。解：1） 2 。2） 4 。3）当时，秩为1；当有某两个相等时，秩为2；当互不相等时，秩为3 。提高题1. 秩为的矩阵可表示为个秩为1的矩阵之和。证明：设矩阵的秩，由推论结果可知：存在可逆矩阵和使得，即 ，其中（）表示第行列元素为1、其余元素为0的阶方阵。记（），则的秩为1，且。2. 设矩阵的秩为1，证明：1）可表示成；2） (是一个数)。证明：1）因为的秩为1，所以存在某元素。记的第行元素为，则的任一行向量可由第行线性表示（否则与行向量线性无关，与的秩为1矛盾）。记依次为第1行、第行的表示系数，则有 。2）由1），所以 （其中） 。3. 设是阶方阵，是矩阵，证明： 1）的第个元素等于的第行元素之和； 2）如果可逆，且的每一行元素之和等于常数，则的每一行元素之和也相等。证明：1）记，则。 2）若的每一行元素之和等于常数，由1） ，由于可逆，所以。从而，即的每一行元素之和等于常数 。4. 证明： 1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵； 2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记，为上三角矩阵， 。则时， ，。对任意，当时，当时，即任意，。从而时，。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。 2）对可逆的上三角矩阵，（），对于 ，先进行第二类初等行变换（），再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5. 已知实三阶方阵满足：1）；2） 。求 。解：因为，所以。由于，从而有。于是或。 若，则，由于为实三阶方阵，由习题3可得。此与矛盾。从而。6. 设，其中是非零矩阵。证明：1）的充分必要条件是；2）当时，是不可逆矩阵。证明：1）若，即有。又是非零矩阵，所以是非零矩阵，从而，即。以上每步可逆，故命题成立。 2）当时，由1），。若可逆，则可得，矛盾。故是不可逆矩阵。7. 设，分别是、矩阵，证明： 。证明：因为，所以；又，所以。从而命题成立。8. ，如上题，。证明： 。证明：由于，可得，所以；又，故。从而。习题三1.解下列线性方程组：1） ；2） ；3） 。解：1）解为： ； 2）解为： （为自由未知数）； 3）无解 。2. 讨论，取什么值时，下列方程组有解。1） ；2） 。解：1）由于系数行列式，所以当时，由克莱姆法则可知方程组有解。当时，增广矩阵为，方程组无解；当时，增广矩阵为，方程组无解。2）由于系数行列式，所以当且时，由克莱姆法则可知方程组有解。当时，增广矩阵为，方程组无解。当时，增广矩阵为。故当时方程组有解，当时方程组无解。3. 证明方程组 有解的充分必要条件是。证明：方程组的增广矩阵为：，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是。4.判断下列方程组解的存在性：1） ； 2） 。解：1）方程组的增广矩阵为：。当不等于，中任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当等于，中某一数时，方程组有解。 2）方程组的增广矩阵为：。当，互不相同时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3，方程组有唯一解；当，有某两个相等时，或，全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或2，方程组有无穷个解。5设有齐次线性方程组 ，。讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？解：方程组系数矩阵的行列式 。当时，即时，方程组仅有零解；当时，方程组有无穷多解。提高题1.证明：线性方程组 有解的充分必要条件是 的解全是 的解。证明：1）若方程组有解，设是方程组的解。则 ，从而 。 2）若 的解全是 的解，即 与 同解，所以矩阵与矩阵的秩相等。而它们的转置即为方程组的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的秩相等，所以方程组有解。2.已知平面上三条不同直线的方程分别为：， ：， ：。证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 。证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行列式，故。2）若，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。又，所以系数矩阵的秩为2。从而方程组有唯一解。3已知方程组 （I） 与 （II） 。问方程组（II）中的参数为何值时，方程组（I）与（II）同解。解：因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为。所以， 。4给定齐次线性方程组 ，其中的行列式，且存在一，若 是方程组的任一非零解，证明： 。证明：由于，且存在一，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为，基础解系中仅含一个非零解。又是齐次方程组的一个非零解，所以习题四1.设，。且向量满足，求。解：。2. 下列向量组中，向量能否可由，线性表示？若能，写出表示式，并说明表示式是否唯一。1），；2），。解：1）因为，故。表示式是唯一的。 2）因为，故表示式不唯一，其中一个表示为 。3. 判断下列向量组是否线性相关： 1），； 2），； 3），； 4），。解：1）线性相关；2）线性相关；3）当时线性相关，当时线性无关。 4）当有某两个相等时线性相关，当互不相同时线性无关。4. 设，线性无关，证明，也线性无关。证明：设有 ，即 。由于，线性无关，所以，推出。故，也线性无关。5. 设向量组线性无关，而向量组，线性相关。证明可表示成的线性组合，且表示式是唯一的。证明：因为向量组，线性相关，故存在不全为零的使得 。若，则。又线性无关，可得，此与不全为零矛盾，所以。从而有，即可表示成的线性组合。 下证表示式是唯一。设有，可得 。由线性无关，可得，即表示式是唯一的。6. 判断下列两向量组是否等价： 1） ， ； 2） ， ； 3），；，。解：1）因为，故两向量组不等价。2）因为，故两向量组等价。3）因为，所以无论，的相关性如何，都是线性相关的，故，与不等价。7. 求下列向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量：1），。2），。解：1）因为，所以是一个极大线性无关组，且 。 2）因为，原向量组即为它的一个极大线性无关组。8. 证明：秩（）秩（）+秩（）。证明：记的行向量组为 ，极大线性无关组为；的行向量组为 ，极大线性无关组为。则的向量组为，它可由，线性表示。所以秩（）秩（）秩（）+秩（）。9. 用基础解系表示下列方程组的解。 1） ； 2） 。解：1）因为 ，记，则通解为（为任意数）。 2）因为，记，则通解为（为任意数）。10. 设是非齐次线性方程组的解，是的基础解系。证明：线性无关。证明：设有 使得 （1），若，则：，从而，即为的解，矛盾。故，代入（1），由线性无关，知，所以线性无关。11. 设是一线性空间，为中一组向量，记。证明是的子空间（该子空间称为生成子空间）。证明：任意，则，从而。又对任意数，。所以是的子空间。12. 设。证明为一线性空间，求的一个基和标准正交基。证明：因为为齐次线性方程组解，由齐次方程组解得线性组合仍是齐次线性方程组的解知为一线性空间。它的基础解系为的一个基：， 。施密特正交化得：， 。13. 在中，求由基到基，的过渡矩阵。解：因为，所以所求过渡矩阵为 。提高题1.证明向量组与向量组，等价。证明：因为（），所以与可以相互线性表示，故两向量组等价。2设为阶方阵，。证明： 。证明：记，则的秩等于向量组的秩。又，即是齐次线性方程组的解，从而可由的基础解系表示，所以向量组的秩小于或等于 （基础解系中解向量的个数）。故有：。3若。证明： 。证明：因为，得，由提高题2知： 。又，由习题8可得。故 。4设阶矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的解，且线性无关。证明的任一解可表示为，其中。证明：因为阶矩阵的秩为，所以齐次方程组的基础解系中所含向量个数为。又因为是的线性无关解，所以，是的解，且线性无关，故，是的一个基础解系。因此的任一解可表示为，记 ， ，则习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： 1）；2）；3）；4）。并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解：1），特征值 。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时 ， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。2），特征值 。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。3），特征值 。当时， ，。故属于的特征向量为 （不全为零）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。4） ，特征值 。当时， ，故属于的特征向量为 （）。当时， ，故属于的特征向量为 （）。由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。2. 已知方阵满足，求的所有可能的特征值。解：设是的特征值，则有非零向量满足。于是，。因为非零，所以。即的特征值只能为或 。3. 设是的特征值，证明： 1）是的特征值，（为正整数）是的特征值； 2）设是多项式，则是的特征值； 3）如果可逆，则是的特征值。证明：1）因为，则。，依此类推，即是的特征值。2）由1）（为正整数），记，则，即是的特征值。3）如果可逆，对两边左乘有：。又可逆矩阵的特征值不为零（否则，与可逆矛盾）。故 。4. 设和是的属于两个不同特征值的特征向量，证明不是的特征向量。证明：由题意，设 ， ，则 线性无关。（反证）若是的特征向量，则有： 。从而。因为，所以不全为零，于是线性相关，矛盾。故不是的特征向量。5. 如果方阵可逆，证明矩阵和相似。证明：因为，所以矩阵和相似。6. 设与相似，与相似。证明与相似。证明：因为与相似，与相似，故有可逆矩阵与， 使得：，。于是，即与相似。7. 计算，其中。解： ，特征值 。当时，对应的特征向量为 ；当时，对应的特征向量为 ；当时，对应的特征向量为。故可取，有，使得： 。从而 。8. 求，的值，使得矩阵与相似，其中，。解：因为的特征值为，由与相似，可得，。即，从而 。9. 证明： 1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。证明：1）设是实反对称矩阵， 是的特征值，则有，。取共轭有。考虑 ，一方面；另一方面，；于是。又因为，所以。故，即为0或纯虚数。2）设是正交称矩阵， 是的特征值，则有，。取共轭有，再转置。所以。因为，所以。故，即的模为1 。10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵： 1） ，2） 。解：1）因为，故为正交矩阵；2）不是正交矩阵。11. 设为正交矩阵，证明：1）与为正交矩阵；2）为正交矩阵。证明：1）因为为正交矩阵，所以，即。又，故与为正交矩阵。 2）因为为正交矩阵，所以，。从而，即为正交矩阵。12. 在中，求一单位向量与向量正交。解：设所求向量为，则有。求得基础解系为 。故（为任意数）。13. 求正交矩阵，使得为对角形：1） ； 2）。解：1） ，特征值 。当时， ，。当时， 。由施密特正交化，取，。令，则。2） ，特征值 。当时， ，。当时， 。由施密特正交化，取，。令，则。14. 设3阶方阵的特征值为1，2，3；对应的特征向量为， ，。求矩阵。解：由题意，令，则有。故 。15. 设3阶实对称矩阵的特征值为6和3（二重根）。属于6的特征向量为，求及。解：设是实对称矩阵属于特征值为3的特征向量，则有 。故特征值为3的特征向量， 。令，则 。 。提高题1. 设矩阵，有特征值，属于的一个特征向量为。求和的值。解：因为，所以，即 。由于 ，可得，又，所以 。解得： 。2. 已知3阶矩阵与3维列向量，向量组，线性无关，且满足。1）记，求3阶矩阵，使得；2）计算行列式。解：1）因为，所以，。由，可得 。 2） 。3 设是阶方阵，记，是的个根（重根按重数计算）。证明：1），称为方阵的迹，记为；2）。证明：因为，令，则有，即2）成立。又由于特征多项式中项由行列式定义知只能出现在内，它的系数为；而 中项的系数为。故1）成立。4设，均为非零实数，求可逆矩阵，使得为对角阵。解： ，它为实对称矩阵。当时，的秩为1，所以是的重根，由上题1）的结果知项系数为。故。当时，可得：，。由于属于特征值的特征向量与上述向量组正交，所以（）。故 。令，则。5证明上三角正交矩阵必为对角阵。证明：设上三角矩阵正交，则。一方面由第二章习题知也为上三角，另一方面为下三角，故既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。6是正交矩阵，且。证明不可逆。证明：因为，所以，即。又是正交矩阵，所以 。即，从而，不可逆。习题六1.写出二次型的矩阵表示形式：1）；2）；3）。解：1） ；2） ；3）。2.化下列二次型为标准形：1）；2）。解：1）二次型矩阵为 ， 。所以二次型为标准形为 。 2）二次型矩阵为 ， 等于 。所以二次型为标准形为 。3.判断下列二次型的正定性：1）；2）；3）。解：1）二次型矩阵为 ， 又， ， 。所以二次型正定。2）二次型矩阵为 ， 又， ， 。所以二次型负定。3）取 ，则 ；又取，则 。所