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无穷网络的解题思路与示例文/李伯生20世纪80年代以来，在各种物理竞赛（包括奥林匹克物理竞赛）中，常常出现无穷网络的等效电阻的计算问题解决这类问题的的基本思路和技巧，就是理解“无限”的意义，分析无限和有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化下面我们先来讨论几种不同类型的无穷网络，然后以此为基础去讨论比较复杂的问题一、开端形半无穷梯形网络图1如图1所示电路称为开端形半无穷梯形网络因为是无穷网络，所以、间等效电阻与去掉一个格子后的电阻应相等，即（），即二、闭端形半无穷梯形网络图2如图2所示电路称为闭端形半无穷梯形网络因为是无穷网络，所以、间的电阻同样应与格子数无关，故有（）（），即三、中间缺口形无穷梯形网络图3如图3所示电路为中间缺口形无穷梯形网络它可以看成是在、处两个相同的开端形半无穷梯形网络并联而成，所以有（12）四、底边缺口形无穷梯形网络图4如图4所示电路称为底边缺口形无穷梯形网络它可以看成是两个相同的闭端形半无穷梯形网络与电阻1串联而成，则2五、完整形无穷梯形网络图5如图5所示电路称为完整形无穷梯形网络欲求、间的等效电阻可以有不同的方法我们可以将完整形无穷梯形网络看成是一个开端形半无穷梯形网络与一个闭端形半无穷梯形网络并联而成，因此有（），将式、式代入上式化简得我们也可以将完整形无穷梯形网络看成是中间缺口形无穷梯形网络与并联而成，于是有（），将式代入，化简得如果我们欲求完整形无穷梯形网络、之间的等效电阻可将其看作是底边缺口形无穷梯形网络与3并联而成，则3（3），将式代入，化简得例题空间电阻丝无限网络如图6所示，每一段金属丝的电阻均为，试求、间的等效电阻图6解法一设想电流从点流入，从点流出，由对称性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效简化为如图7所示的平面完整形无穷梯形网络，其中，（23），根据式有，将，（23）代入可得（221）图7解法二因网络相对、连线具有左、右对称，故可折叠成如图8所示
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