理解和把握数学的一种重要思想——基本量思想.pdf

中学数学杂志2 0 0 9 年第7 期 O t 2 s i n a l d 2 s i n O t l r v 2 据定理 t 1 即s 知 由证明过程易知 当且仅当P 点为 A B C 内心时取等号 例2设P 是A A B C 内 点 D E F 分别是点 P 在边B C C A A B 上的正射影 连D E F 得A D E F 记S A O E r S A 仙c 分别为A D E F 与A A B C 的面积 求 1 证 5 A D E F s 删 2 当且仅当P 点是A A B C 的外心时 2 式取等号 证明如图 记 朋C L P C B L P C A 朋C P A B P B A 分别为a l 0 1 2 锣1p 2 7 l 7 2 则器 等尝 c o t r v lC O S X Is i n t x 2 c o t o t 2c o s o 2s t o r y l 易知 当且仅当a O t p 7 即P 是A A B C 的外心时 2 式取等号 例3P 是A A B C 内一点 D E 分别是P 点在 边B C C A A B 上的正射影 记P A R l P B R 2 P C R 见例2 图形 求证 A F B D C E F B D C E A s i n A s i n B s i n C R l R 2 R 3 3 当且仅当P 点为A A B C 内心时 3 式取等号 证明 箸 笔 譬 篙 譬 鬈 s i n F P A s i n L D P B s i n E P C s i n E 朋s i n 肿s i n D P C 厶F P A 厶E P A 厶D P B 厶F P B 2 s l n 一s i n 一 厶E P C 厶D P C 8 1 n r 一曲i n 譬s i n 竽 E P D ABC 一 8 1 n 虿一2 皿0 8 虿c 0 8 i c o s 虿 丢 s i n A s i n B s i n C 据定理 即得 3 式 易知当且仅当P 点为 A A B C 内心时 3 式取等号 同理 丽C E 舞器 A 万F 罴普 注意到s i n t x Is i 叩ls i n l s i n o t 2 s i 邮2 s i n T 2 仿例 1 的三角恒等变形 得 S 肿s i n 2 a ls i n 2 3 ls i t t 2 T I s i n 2 a 2 s i n 2 8 2 s i n 2 T 2 S a 仙c8 s i n d 1 O 2 s i n 卢l 卢2 s i n 7 l y 2 作者简介杨学枝 男 1 9 4 7 年1 1 月生 毕业于武汉大 学数学系 中学特级教师 中国初等数学研究会副理事长 在全国各级C N 刊物 国外数学刊物及大学学报发表了3 0 0 余篇有价值的教育 教学及初数研究论文 主编出版了多本 教学参考用书 理解和把握数学的一种重要思想 基本量思想 山东省滨州市教研室 2 5 6 6 0 0 王文清 1 问题的提出 从一道高考题谈起 大家可能还记得2 0 0 4 年全 国高考新课程卷第 1 2 题 已知a 2 b 2 1 b 2 c 2 2 C 2 a 2 2 则a b 6 c c 口的最小值为 A 再一i 1B i 1 5 C 一i 1 一再D i 1 5 当年该题的得分率极低 因为一看到此题 考生 比较容易想到的是用均值不等式来求最小值 但是 又找不到用均值不等式的途径 其实该题用均值不 等式无法解决 如果一味强求 那么不仅浪费时间 而且徒劳无功 造成这种局面的原因 除了教学中套题型之外 最主要也是最根本的原因 就是教学中 基本量思想 的缺失 因为若有基本量的思想 则一看便知 因为 题设有三个未知数 三个方程 所以三个未知数的值 3 1 万方数据 中学数学杂志2 0 0 9 年第7 期 可以确定 易解得口2 b 2 c 2 三个未知数的值分别是 一号 虿3 进一步可得口 譬 6 譬 c 譬 若要使n 6 6 c c a 取最小值 则必须让绝对值最大 匠R 的c 取负值一等 而绝对值较小的口 b 均取等 即得 正确答案是 口 2 基本量基本量思想 那么 什么是基本量 什么又是基本量思想呢 所谓基本量 就是若干个能唯一确定一个数学 问题的量称为该问题的一组 基本量 多一个没必 要 少一个不行 其中的每一个量称为该问题的一个 基本量 所谓基本量思想 就是在学习和研究数学问题 时 自觉挖掘 利用问题的基本量来指导自己对数学 问题的理解和研究 是对基本量概念的本质认识 3 教学中基本量思想的运用和渗透 下面从概念教学 公式定理教学和解题教学三 个方面 谈谈在数学教学中对基本量思想的运用和 渗透 3 1 在概念 定义的形成过程中 要突出基本量思 想的运用和渗透 因为每个数学概念 定义都具有确定性 都有 一些对其确定性起决定作用的量 即基本量 例如 任意角三角函数的概念及定义 可以按 照 角定 因顶点和始边定 终边定J 坚皇生点定 终 边上异于顶点的一点 不唯一 J 坚点的坐标定 由三角形相似的知识 比值不变 比值定 坐标之间 或坐 标与点到原点的距离之间的比 来引入任意角三角 函数的概念及定义 上述教学设计 前三步紧紧抓住确定角的量 即基本量 的转换 归结为角由终边上任意一点 异于顶点的点 的坐标 即基本量 确定 而最后 一步好像比值定得不出点的坐标定 但满足比值定 的所有点均在角的终边所在直线上的性质不变 所 以我们由锐角三角函数的定义想到用 坐标之间 或坐标与点到原点的距离之间的 比值来定义任意 角的三角函数也就顺理成章了 由此可知 任意角的三角函数 值 的一组基本 量中仅含有一个基本量 比如 该角终边上的 个点 的坐标 因而遇到 已知某角的某一个三角函数 值 求该角的其它三角函数值 的问题 即可逆向思 3 2 考得出 该角终边上的一点的坐标 进而由任意 角三角函数的定义得到该角的其它三角函数值 所 以这种利用任意角三角函数的定义解题的方法 是 来自于对任意角三角函数定义的本质认识 是用基 本量思想指导思考的必然结果 更有意义的是 当接下来教学 诱导公式 时 只需紧紧抓住任意角的三角函数 值 的一组基本 量 即该角的终边 则所有诱导公式的提出和发现就 是水到渠成 再自然不过的事情了 可以如下引导 既然任意角的三角函数 值 的一组基本量 是该角 的终边 那么我们自然想到 要研究两个角的三角函 数 值 之间的关系 首先 想到需从这两个角的终 边具有怎样的特殊关系人手进行探索 学生 就会能 自己提出 并易得到结论 1 终边相同的角 即得一 组诱导公式 2 终边关于原点对称的角 即得一组 诱导公式 3 终边关于并轴对称的角 即得一组诱导 公式 4 终边关于Y 轴对称的角 即得一组诱导公 式 又如 直线的倾斜角与斜率的概念和定义 可以 按照 问题1在平面直角坐标系中 要确定一条直 线z 卜两个点P P 即点P P 的坐标 戈 Y 石2 Y 2 若仅由一点P l z f YJ 能确定一条直线f 吗 不能 那么要确定这条直线f 还需要增加一个 除点P l z Y 1 外的什么条件呢 直 线z 与z 轴或Y 轴的夹角0 堡型堑型塑堕这里按 照习惯我们用直线f 向上的方向与z 轴正方向的夹 角一我们就把这个角叫做直线f 的倾斜角 一般用 a 来表示 且规定0 d 讥 这样利用基本量思想 作指导 直线倾斜角的概念及定义的发现 引出 获 得 学生就会感到不仅自然 合理 而且必要 问题2由上知 给定直线Z 上的一个点P 戈 Y 和倾斜角a 则直线z 就唯一确定一直线Z 上任 意一点P 的坐标 石 Y 就应当可以用点P 的坐标 互 Y 和倾斜角 口表示出来 画出一个直观示意图 利用 解直角三角形的知识 得 z 茗l I 尸l 尸Ic o s a Y Y l I P 尸Is i n a 这实质上已经得出了直线Z 的参数 方程 若要进一步弄清x y 之间的关系 即 满足的方程 只需消去IP P 2l 即得 一 t a n a 茗一茗t d 手 或石 工 a 自然发现t a n c t 的独特作用 需要给 J a n e t 一个名份 即引出斜率的概念 y l 詈 万方数据 中学数学杂志2 0 0 9 年第7 期 琶绍缆饭砀兜狻为 第缎孝彩镤g 名j 邑绍少 当a 詈时 把t a n 理叫做直线z 的斜率 记作k 二 当a i 7 t 时 直线z 的斜率不存在 这样利用基本 二 量思想作指导 直线斜率的概念及定义的发现 引 出 获得 学生就会感到不仅自然 合理 而且必 要 一 问题3 既然由直线Z 上的两个点P 算 Y P 2 石 Y 2 可以唯一确定直线Z 因此由直线Z 上的两 个点P 茹 Y P z Y 2 也就可以唯一确定直线Z 的斜率k 画出一个直观示意图 并利用锐角三角函 V 一v 数定义 即得k 丝 旦 这样利用基本量思想作 X 2 一互l 指导 过两点的直线的斜率公式的发现 引出 获得 学生就会感到不仅自然 合理 而且是一种必然的内 在联系 由上知 一条直线的一组基本量由两个基本量 组成 即确定一条直线需要两个基本量 如 两个点 的坐标 或一个点 的坐标 和倾斜角 或一个点 的坐标 和斜率 这样每当遇到处理有关直线问题 时 就会用基本量思想思考 知道了什么 还需要什 么 就能整体把握问题 不仅做到心中有数 而且明 确了解题的方向和思路 像上述这样从确定数学对象的基本量人手 即 用基本量思想探索 发现 引人数学基本概念 引入 概念的必要性 合理性 确定性 可行性等昭然若揭 不仅知其然 而且知其所以然 学生自然而然就会 迁移到其它数学概念的学习 理解 甚至于自己给数 学概念下定义的创造性活动中去 不仅如此 当学生 习惯了用基本量思想思考问题后 遇到问题 马上就 会用基本量思想指导解题 这对提高学生的解题能 力大有裨益 3 2 在公式 定理的获得过程中 要突出基本量思 想的运用和渗透 1 例如 等差数列 口 的通项公式和前n 项和公 式的教学 首先 要让学生弄清楚 口 和d 是等差数列 a 的一组基本量 只要告诉项数凡 则Q 和5 就将唯一 确定 即这时a 和s 都是厅的函数 亦即a 和S 都 可以用凡表示出来 比如 所谓求等差数列 a 的 前n 项和公式s 即想办法将等式S a l a 2 a 3 口川 a 的右式中的 2 0 3 a 以及 都消去 而仅用a d 和凡的表达式表示出来 为此 用a i 口 i 1 d i 1 2 3 1 代替是极其 自然的 而且学生知道努力的目标是什么 进而即 可找到达到目标的方法 教学中了解到学生对推导等差数列 a 的前厅 项和公式S 时的目标不清楚 即不知道要干什么 向何处去 所以只是跟着教师走 到最后也不明白为 什么这样处理 所有这些 都是缺乏用基本量思想 指导思考的结果 当然 口 和口 或a 和a m k 是已知的常数 a m 是已知的常数 和d 等等 也分别是等差数列 a 的一组基本量 又例如 余弦定理的教学 可以按照 首先 从三角形的基本量出发 发现并提出问 题 因为三角形有三个基本量 分别是 三条边 三 个角则不是 两边及其夹角 两角及其夹边 现以 两边及其夹角为例 若已知三角形的两边及其夹角 则三角形唯一确定 因此 第三条边唯一确定 可 求 自然引出了著名的余弦定理 即 如图 在 A B C 中 已知A B c A C b A 求n 其次 解决问题 要建 立边和角的联系 到现在只 有直角三角形这个媒介 为 此构造恰当的直角三角形 是解决问题的关键 过点C A 作C D 上A B 垂足为D 则在R tA A D C 中 C D b s i n A A D b c o s A 则D B Ic b c o s AI 当然 也 可以分A 是锐角 直角 钝角讨论 在R t B D C 中 a 2 D B 2 C D 2 Ic b c o s AJ 2 b s i n A 2 b 2 C 2 2 b c c o s A CCC D 同理可证 b 2 2 a b c o sc 这样 从基本量思想的角度观察和研究三角形 余弦定理的发现 提出 探索 证明是情理之中的事 情 综上知 运用基本量思想观察 研究数学对象或 问题 数学结论 公式 定理 的发现 提出 获得不 再是高不可攀的事情 而是自然而然的思考成果 3 3 在解题过程中 要突出基本量思想的运用和 渗透 在解题时 基本量思想的意义主要在于使解题 者能意识到题目所给条件是否能足以保证问题是确 3 3 万方数据 中学数学杂志2 0 0 9 年第7 期 定的 即可判断题目是否有唯一解 还是有多解 题 目可解 确定 还是不可解 不确定 更重要的在 于解题者整体地把握了问题 以下分类举例说明 3 3 1 平面几何问题 例1 证明三角形三内角的平分线之积小于三 边的连乘积 分析若记三角形三边 分别为口 b c 其边上的角平 分线相应为t t t 如图所 示 则要证明的结论是t a t t a b c 由基本量思想知 t 由 b c A 唯一确定 即应有t 八b c A C 沿这一思路 使我们很快获得以下解题途径 因为S 柚c S A 肋 s D c 即 专 b c s i n A 1A1 A 虿 n c 8 1 n 虿 虿 6 8 1 n 虿 所以6 c c s 孚 虿1 6 c 所以c 兰c s 孚 兰 焘 瓜 同理可证 t 6 凸c t 6 三式相乘得 t a t 6 t o 时 s s 1 g 寺 1 2 扛寺咄 当公比g o 时 5 l 一 一口一号 1 2 叫 一寺 一 所以S 3 一 一1 u 3 故选D f 待缍 数学选择题巾的 i 舌11 t l I 之误 江苏省灌南县教育局教研室 2 2 2 5 0 0 李太敏 汉语是内涵最丰富的语言之一 而数学语言则更 为多姿多彩而又严谨规范 常常会存在着不可或缺的 关键词语 即 词眼 增之一字意已变 减之一字意 也变 这就要求在读题时需观察有无这样的 词眼 存在 如若对这样的关键词视而不见 必会词不达意 发生词义的错觉 有时甚至会产生一词之误 只有睁开 慧眼 看清词眼 才能避免在解题之道上迷失方向 1 顺序之错 例l在圆形的钥匙圈上挂了5 把不同的钥匙 则 不同顺序的排法有 A 5B 1 0C 1 2D 2 4 错解不同的排