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第七章 二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设其中, 则下列结论正确的是x+y=4x+y=0D( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 区域D位于直线 之间, 所以 所以 所以 . (A)为答案.2. 设, 其中: , , 则下列结论正确的是( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 因为 , 所以, (C) 为答案.3.设其中, 则下列结论正确的是( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在区域D中, , 所以 .( A )为答案.二. 将二重积分化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下:1. D: 由与所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x2y + 1 = 0及x2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由, y x及x 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| 1所围之区域.解. 1. 2. 3. 4. 三. 改变下列积分次序:1. 2. 3. 解: 1. 2. 3. =四. 将二重积分化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a2 x2 +y2 b2, y 0, (b a 0)2. D: x2 +y2 y, x 03. D: 0 x +y 1, 0 x 1解. 1. 2. 3. +五. 求解下列二重积分:1. 2. 3. , D: 由y = x4x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形4. , D: y x及1 x2 + y2 2解. 1. = = =2. =3. , D: 由的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形.解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以 4. , D: y x及1 x2 + y2 2.解. 使用极坐标变换 = 0六. 计算下列二重积分:1. , D: .解. 令, .雅可比行列式为 2. , D: , 并求上述二重积分当时的极限.解. =所以.3. 解. = = 4. , D: x2 + y2 1, x 0, y 0.解. =.七. 求证: , 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x 0, y 0)所围成之区域.证明: 令u = xy, y = vx. 即, . . 所以 八. 求证: 证明: 令, . . 所以 =九. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证: 证明: 左 = =右十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明: 证明: 区域D既对x轴对称, 又对y轴对称.当m为奇数时为对于x的奇函数, 所以二重积分为0;当n为奇数时为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.L十一. 设平面区域, 是定义在上的任
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