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从一道竞赛题谈导数在高中数学中的应用 华中师范大学2003级教育硕士 430079 卢三国 2004年全国高中数学联赛一试第15题 最 后一题 已知 是方程4x 2 4tx 1 0 t R 的两个不等实根 函数f x 2x t x 2 1 的 定义域为 1 求g t maxf x m inf x 此问关键是要明确在区间 上的单调 性 若用单调性定义的方法就比较繁琐 参考答 案的方法 设 x1 2x1x2 所以 4 x 2 1 x 2 2 4t x1 x2 2 4 2x1x2 4t x1 x2 2 所以2x1x2 t x1 x2 1 2 t x1 x2 2x1x2 1 2 0 所以f x2 f x1 所以f x 在 上递增 所以g t maxf x m inf x f f t 2 2 2 2 2 2 1 因为 t 1 4 所以g t 8t2 1 2t2 5 16t2 25 但若应用导数知识求解 过程就大为简化 因为f x 2 x 2 tx 1 1 x 2 2 令 x x 2 tx 1 x 2 tx 1 4 3 4 又 t 1 4 所以 x x 2 x 3 4 x x 3 4 又x 所以 x x 0 所以 x 3 4 0 所以f x 在 上递 增 用导数处理这一问题 其过程很灵活 方法 很多 又如 f x 2 x 2 tx 1 1 x 2 2 因为x 由已知 4x 2 4tx 1 0 所以x 2 tx 1 4 0 所以x 2 tx 1 3 4 0 所以x 2 tx 1 3 4 0 另外还可将 具体求出 只须令f x 0得 x 2 tx 1 0 t t2 4 2 x t t2 4 2 由已知 是方程4x 2 4tx 1 0两 根 t t2 4 2 t t2 1 2 t t2 4 2 而f x 2x t x 2 1 x 0 这些方法十分灵活 但均建立在导数与函 数增减性关系的基础之上 充分利用这种关系 可优化老教材中的很多问题 再如2000年全国 高考理科第19题 设函数f x x 2 1 ax 其中a 1 求a的取值范围使函数f x 在区间 0 上是单调函数 不用单调性定义 而用导数方法 因为f x x x 2 1 a x 0 令f x x x 2 1 而 x x 2 1 0 1 所以当a 1时 f x 0 即 x x 2 1 a 0 当a 1 左边不等式恒不成立 当0 a 1 左边不 等式不恒成立 综上 当a 1 f x 在 0 递减 由于导数与函数单调性密切联系 对函数 单调性的讨论不仅限于定义方法 实际上导数 方法更简化 更灵活 不仅如此 把这种方法归 纳为一种数字意识 可以使求导方法在高中数 学中有着更为广泛地运用 以下主要谈四个方 面的运用 1 利用导数证明不等式 例1 2001年全国高考理科20题 已知 m n是正整数1 m 1 n m 要证此不等式 只须证明 1 m 1 m 1 n 1 n 令f x 1 x 1 x x N 因为f x 1 x 1 x e 1 x ln 1 x 可令 1 x ln 1 x 所以f x eu u x e 1 x ln 1 x 1 x 2ln 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x ln 1 x x 2 1 x 1 x x 2 1 x x 1 x ln 1 x 令 x x 1 x ln 1 x 当x 2时ln 1 x 1 显然 x 0 所以f x 0 所以f x 在x 2是减函数 因为1 m f n 即证 这种导数运用 需要学生头脑中要有导数 运用意识 将不等式进行等价转化 使之形成函 数的两处取值 然后利用导数与函数单调性的 关系求解 2 利用导数求直线方程 例2 2004年高考湖北卷 理科第1题 与直线2x y 4 0平行的抛物线y x 2 的 切线方程是 A 2x y 3 0 B 2x y 3 0 C 2x y 1 0 D 2x y 1 0 根据导数的几何意义知 抛物线上每一点 x y 的切线斜率即为y 2x 由已知 y k 2 所以x 1即切点 1 1 故所求切线方程 y 1 2 x 1 即2x y 1 0 这样处理可简化在老教材中利用 0解决的方法 也许正因为可以这样处理 命题者才有意识地将此题的位置放在第一题 处 3 利用导数求函数的最值 实际上这也是本文一开始笔者谈到的内 容 这里强调的是老教材中许多求最值的问题 可用导数来解决 特别是执教多年的老教师更 应多多对比 以增强导数的运用意识 比如老教 材有一道习题 求函数y x x 2 1的最大值 54 数学教学通讯 2005年3月 上半月 总第220期 重庆 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 因为函数的定义域 1 1 当x 1时y 0 则只须讨论x 1 因为y 1 x x 2 1 x 1 因为x x 2 1 当x 1时y 0 所以x 1 函数y是递减函数 带 上端点 所以y 1 12 1 1 所以ymax 1 4 利用导数辅助作图 对 3 中函数作图 作y x x 2 1的 图形 当x 1 y 0 即y在 1 递减且y 1 过点 1 1 又x x 2 1 x 所以函数y的图像总在y x的下方 例3 作函数y 3x x 3 的图像 如图1 图1 因为y 3 3x 2 令y 0 所以x 1或1数 当x 1时 y 0 y递减 当 1 x 0 y递增且过点 0 0 新教材没有介绍y 的几何意义 不然作图 时更精确 5 利用导数解决函数方程综合问题 导数为研究函数性质提供了强有力的工 具 尤其是对函数单调性能进行透彻的分析 并 使其过程简化 直观 例4 2004年上海高考 理工第20题 已 知f x x 2 8 x 证明当a 3时 关于x的 方程f x f a 有3个实数解 图2 分析 如图2 令y f a 可视为常数 则问题 转化为判断两函数图像y f x y f a 的交点个 数 因为f x 2x 8 x 2 由f x 0 得x 3 4 则当x 0 x 0 3 4 f x 0即f x 在此区间上为增函 数 因为a 3 3 4 所以f a f 3 11 2 3 3 3 16 f 3 4 从式子知 x 0 f x x 0 f x 则y轴为其渐近线 从图像可知 y f a 与y f x 必有3个交点 6 利用导数解决实际应用问题 例5 2004年福建高考 理工第16题 如 图3将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切 去一个全等四边形 再沿虚线折起 做成一个无 盖的正六棱柱容器 当这个正六棱柱容器的底 面边长为时 其容积最大 64 重庆 数学教学通讯 2005年3月 上半月 总第220期 1994 2007 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 也谈一不等式赛题的形数沟通 江苏省南通师范学校 226006 曹建全 题1 第15届全俄数学竞赛题 若x y z 0 1 则x 1 y y 1 z z 1 x 1 题1曾先后以不同形式出现在欧洲一些国 家的竞赛题之中 如 题2 1981年第21届全苏数学竞赛题 正数a b c A B C满足a A b B c C k 求证 aB bC cA k 2 题3 1990年匈牙利数学竞赛试题 d为 正数a b c中最大的 求证 a d b b d c c d a d 2 综观大量报刊杂志和有关解题的书籍 对 以上三题的解法都不外乎通过构造正三角形或 正方形给出几何证明 并由此给出相应的纯代 数证明 笔者近期对以上三赛题进行了一番研 究 觉得我们对于不等式 的认识还有待 进一步加深 比如 我们能否给出更为直观的几 何证明 既然不等式 均是严格不等式 那么它们的左边和右边到底相差多少 有没有 更为自然的代数证明 等等 本文试图对这些问 题作出回答 由于题1 题2和题3本质完全相 同 所以本文仅以题1为例进行阐述 1 一个几何证明 证明1 如图1 设正方体A C1的棱长为1 图1 在过顶点A的三条棱 A B A A1 A D上分别取点 E A2 G 记A E x A A2 y A G z 则x y z 0 1 且EB 1 x A A1 1 y GD 1 z 再过E作 平面EF1平行于平面A D1 过A2作平面A2C2平行于平面A C 过G作平面 GH1平行于平面A B1 图3 分析 设正六棱柱容器 的底面边长为a 则容器V 6 3 4 a2 3 2 1 a 9 4 a2 9 4 a3 0 a 1 则V 9 2 a 27 4 a2 令V 0得a 2 3 或a 0 不合题意舍 去 由0 a 0 a 2 3 V 0 所以a 2 3 时 V最大 此例涉及求三次函数最值 也可用不等式 知识及技巧变形解决 但导数方法避免了高技 巧性 突出了通性 通法 这类似于小学数学中 复杂的应用题在初中用方程解决 学生普遍感 到比较容易 毕竟新教材介绍微积分知识还不是很多 正因