2006年7月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛个人赛试题与解答(简体).doc

第一部份： 填空题，请将答案填写在空格内.不须列出演算过程，共12题，每题五分.1. 小琳用计算器求三个正整数a, b, c的表达式的值.她依次按了a, +, b, , c, =，得到数值11.而当她依次按b, +, a, , c, =时，惊讶地发现得到数值是14.这时她才明白计算器是先做除法再做加法的，于是她依次按(, a, +, b, ), , c, = 而得到了正确的结果.这个正确结果是什么？答案： _5_解答 因为 ，所以 ，即 ，因为c1和c互质，所以c1能整除25，所以c4或者24。若c24，则a + b = 1，此时中至少一个不是整数。 所以 c4, ab20。故。2. 平面上有一线段AB，长度为5，在此平面上与A，B两点距离分别为2和3的直线有多少条？答案： _3_解答 在这个平面上，以A为圆心作半径为2的圆，以B为圆心作半径为3的圆，则所求的直线为两圆的公切线。因为此二圆互相外切，有三条公切线，所以满足条件的直线有3条。3. 如图所示，在ABC中，点D是BC延长线上的点，点F是AB延长线上的点.的平分线交BA延长线于点E，的平分线交AC延长线于点G.若CE = BC = BG，求的度数.答案： _12_解答 设. 因为，所以. 故.由，得。由，可知又，所以。4. 老师说：“a, b两个数满足关系式.已知a不是整数，则对b可作出怎样的结论？”学生A说：“b也不是整数.”学生B说：“我认为b必定是正整数.”学生C说：“我认为b必定是负整数.”三位同学谁说的是正确的呢？答案： _B_解答 由解出b得，因为a不是整数，所以b1。学生B回答正确。5. 平行四边形ABCD中，点P是BAD内一点.若PAB面积为2，PCB面积为5，求PBD面积.答案： _3_解答 易知，所以 。6. 非零实数a, b, c, d, x, y, z满足关系，求的值.答案： _1_解答 设，则 ，所以 ，所以原式为1。7. 一辆汽车下坡的速度为72 km/h，在平地上的速度为63 km/h，上坡的速度为56 km/h.汽车从A地到B地用了4个小时，而返程用了4小时40分钟则AB两地相距多少km？答案： _273_解答 分別用x，y，z表示下坡，平地，上坡距离，则从A到B时，返程时 ，对这个不定方程組，我们只需知道 x+y+z。上面两式同时乘以72，63，56的最小公倍数，得7x + 8y + 9z = 4 7 8 9，9x + 8y + 7z = 7 8 9，两式相加即得 16(x + y + z) = 7 8 9，所以 x + y + z = 273，所以AB相距273 km。8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD 的中点，点G是CF上的一点，使得3 CG 2 GF，求三角形BEG的面积. 答案： _4/5_解答 分別延长BA和CF，它们相交于点H，則AHFDCF，所以，HBC的面积等于正方形ABCD的面积。因为3 CG 2 GF，所以HG4CG，于是，又HE3EB，所以，故。9. 已知实数x，y满足，求x+y的值.答案： _-2/3_解答 展开后配方,得，所以，故。10. 一家机密文件碎纸公司有许多位雇员，这些雇员在输送带前排列成一列，分别编号为1, 2, 3,.老板接到将一张文件撕碎的任务，他先把这份文件撕成5块后交给第1号雇员.每当第n号雇员接到前手传来的一迭纸时，都从中取n块，把每块再分成5块，然后再传给第n+1号雇员.若第k号雇员接到前手传来的总块数少于2006块，但传给下一位的总块数超过2006块，请问k是多少？答案： _32_解答 第1次操作完毕后为9 (块)；第2次操作完毕后为5+4+8 = 17 (块)；第3次操作完毕后为5+4+8+12 = 29 (块)；，第n次操作完毕后为S = 5+41+2+3+n块。当n=31時，S = 5+23132 = 1989；当n=32時，S = 5+23233 = 2117。所以，k32。11. 从一个有36条棱的凸多面体P，切去以其顶点为顶点的一些棱锥，得到一个新的凸多面体Q.这些被切去的棱锥的底面所在平面在P上或内部都互不相交，求凸多面体Q的棱数.答案： _108_解答 P的所有棱仍是Q的棱。 Q中新的棱由切去的棱锥的底面形成. 每个棱锥新增加棱的条数，等于从顶点出发的棱的条数. 所以Q的棱有3672108条。12. 已知正整数m，n满足n，求n的最大值.答案： _104_解答 设，則，所以，于是是完全平方数，令（b是正整数），則，由于ab和ab同奇偶，即为偶数，所以ab的最大值为52104，故的最大值为，n的最大值为104，此时m2775。第二部份：计算及证明题，必须写下计算或证明过程.共三题，每题20分.1. 一座大楼有4部电梯，每部电梯可停靠三层(不一定是连续三层，也不一定停最底层). 对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？解答：设大楼有n层，則楼层对有，每部电梯停3层，有个层对，所以，所以. 当时，四部电梯停靠楼层分別為(1,4,5), (2,4,5), (3,4,5), (1,2,3)。2. 四个的长方形排成如图形状，则覆盖这个图形的最小圆的半径是多少？解答：圆心必在四个矩形所成图形的对称轴上。设圆心与边长为6的边的距离为y，则，所以 。故半径为 。3. 把1, 2, , 30这三十个数分成k个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求k的最小值.解答：首先，考虑数