南京航空航天大学《高等数学》25高阶导数.pdf

第五节 高阶导数第五节 高阶导数 高阶导数的定义高阶导数的定义 高阶导数求法举例高阶导数求法举例 一 高阶导数的定义一 高阶导数的定义 问题 变速直线运动的加速度问题 变速直线运动的加速度 tfs 设设 tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为 的变化率对时间是速度加速度的变化率对时间是速度加速度tva tftvta 定义定义 lim 0 处的二阶导数在点为函数则称存在 即处可导在点的导数如果函数 处的二阶导数在点为函数则称存在 即处可导在点的导数如果函数 xxfxf x xfxxf xf xxfxf x 记作记作 2 2 2 2 dx xfd dx yd yxf或 或 记作阶导数的函数 阶导数的导数称为的函数一般地 记作阶导数的函数 阶导数的导数称为的函数一般地 1 nxf nxf n n n n nn dx xfd dx yd yxf或或 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数 称为一阶导数称为零阶导数相应地称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf 3 3 dx yd yxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 4 4 4 4 dx yd yxf 二 高阶导数求法举例二 高阶导数求法举例 例1例1 0 0 arctanffxy 求设求设 解解 2 1 1 x y 2 1 1 x y 22 1 2 x x 22 1 2 x x y 32 2 1 13 2 x x 0 22 1 2 0 x x x f 0 32 2 1 13 2 0 x x x f 0 2 1 直接法 1 直接法 由高阶导数的定义逐阶求高阶导数由高阶导数的定义逐阶求高阶导数 例2例2 n yRxy求设求设 解解 1 xy 1 xy 2 1 x 3 2 1 x 1 2 xy 1 1 1 nxny nn 则为自然数若则为自然数若 n nnn xy n 1 ny n 0 例3例3 1ln n yxy求设求设 解解 注意 注意 x y 1 1 2 1 1 x y 3 1 2 x y 4 4 1 3 x y 1 0 1 1 1 1 1 n x n y n nn 求求n阶导数时阶导数时 求出求出1 3或或4阶后阶后 不要急于合并不要急于合并 分析结果的规律性分析结果的规律性 写出写出n阶导数阶导数 数学归纳法证明数学归纳法证明 例4例4 sin n yxy求设求设 解解 xycos 2 sin x 2 cos xy 22 sin x 2 2sin x 2 2cos xy 2 3sin x 2 sin nxy n 2 cos cos nxx n 同理可得同理可得 例5例5 sin nax ybabxey求为常数设求为常数设 解解bxbebxaey axax cossin cossin bxbbxae ax arctan sin 22 a b bxbae ax cos sin 22 bxbebxaebay axax 2sin 2222 bxbaeba ax sin 2 22 nbxebay ax n n arctan a b 2 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 则阶导数具有和设函数则阶导数具有和设函数 nvu 1 nnn vuvu 2 nn CuCu 0 2 1 1 1 2 1 3 kkn n k k n nkkn nnnn vuC uvvu k knnn vu nn vnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 例6例6 20 22 yexy x 求设求设 解解则由莱布尼兹公式知设则由莱布尼兹公式知设 22 xveu x 0 2 120 20 20 2 18 2 2 19 22 20 2 20 xe xexey x xx 22 2 1920 22202 218 2192220 x xx e xexe 9520 2 2220 xxe x n xvxu 0 kkn n k k n vuC 关于莱布尼兹公式 应该注意 关于莱布尼兹公式 应该注意 不要丢了系数 不要丢了系数 k n C 1 0 2 xv xvxu 的为求导最快为 和恰当地选择 的为求导最快为 和恰当地选择 3 间接法 3 间接法 常用高阶导数公式常用高阶导数公式 nn xnx 1 1 4 n nn x n x 1 1 ln 5 1 2 sin sin 2 nkxkkx nn 2 cos cos 3 nkxkkx nn 0 ln 1 aaaa nxnxxnx ee 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式 通过四则通过四则 1 1 1 n nn x n x 运算运算 变量代换等方法变量代换等方法 求出求出n阶导数阶导数 例7例7 1 1 5 2 y x y求设求设 解解 1 1 1 1 2 1 1 1 2 xxx y 66 5 1 5 1 5 2 1 xx y 66 1 1 1 1 60 xx 2 1 2 n y xx y求 求 解解 2 1 1 1 3 1 xx y nn nn xx ny 2 1 1 1 1 1 3 1 1 练习 练习 例例9 cossin 66n yxxy求设求设 解解 3232 cos sinxxy coscossin sincos sin 422422 xxxxxx xxxx 22222 cossin3 cos sin x2sin 4 3 1 2 2 4cos1 4 3 1 x x4cos 8 3 8 5 2 4cos 4 8 3 nxy nn 降幂降幂 三 小结三 小结 高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 n阶导数的求法阶导数的求法 1 直接法直接法 2 间接法间接法 思考思考 2 设连续 且 设连续 且 x g 2 xgaxxf 求求 a f 1 已知函数1 已知函数 xf具有任意阶导数 且具有任意阶导数 且 2 xfxf 则当 则当n为大于 2 的正整数时 为大于 2 的正整数时 xf的 n 阶导数的 n 阶导数 xf n 是 A 是 A 1 n xfn B B 1 n xfn C