南京航空航天大学《高等数学》105对坐标的曲面积分.pdf

基本概念基本概念 对坐标的曲面积分的定义对坐标的曲面积分的定义 对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算 概念的引入概念的引入 两类曲面之间的联系两类曲面之间的联系 观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的 曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧曲侧曲面分面分内内侧和侧和外外侧侧 一 基本概念一 基本概念 n 1 曲面的分类曲面的分类 1 双侧曲面 1 双侧曲面 2 单侧曲面 2 单侧曲面 典 型 双 侧 曲 面 典 型 双 侧 曲 面 莫比乌斯带莫比乌斯带 Mobius 典型单侧曲面典型单侧曲面 轴正向夾角为钝角即法线与 朝下的一侧取下侧 轴正向夾角为锐角即法线与 朝上的一侧取上侧 对不封闭 轴正向夾角为钝角即法线与 朝下的一侧取下侧 轴正向夾角为锐角即法线与 朝上的一侧取上侧 对不封闭 z n z n yxzzi 0cos 0cos 0cos 0cos 指向内的一侧内侧 指向外的一侧外侧 对封闭 指向内的一侧内侧 指向外的一侧外侧 对封闭 n n 3 曲面的投影问题 3 曲面的投影问题 面在面在xoyS 在有向曲面 上取一小块在有向曲面 上取一小块 0cos0 0cos 0cos 时当 时当 时当 时当 时当 时当 xy xy xy S 表示投影区域的面积其中表示投影区域的面积其中 xy 为上的投影为上的投影 xy S 曲面 曲面 S zxyz SSxozyozS 面上的投影在同理可定义面上的投影在同理可定义 思考题思考题 呢 么什么角 取什么侧 那 轴成的法向量与则 取外侧为球面设 呢 么什么角 取什么侧 那 轴成的法向量与则 取外侧为球面设 22 22 222 1 1 1 zxy ozyxz zyx 思考题解答思考题解答 此时与此时与oz轴成钝角 取下侧 轴成钝角 取下侧 22 1yxz 而与而与oy轴成锐角 取右侧轴成锐角 取右侧 22 1zxy 二 概念的引入二 概念的引入 实例实例 流向曲面 一侧的流量 流向曲面 一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体 假定密度为 1 的速度场由 设稳定流动的不可压缩流体 假定密度为 1 的速度场由 kzyxRjzyxQizyxPzyxv 给出 是速度场中的一片有向曲面 函数 给出 是速度场中的一片有向曲面 函数 zyxRzyxQzyxP 都在 上连续 求在单位 时间内流向 指定侧的流 体的质量 都在 上连续 求在单位 时间内流向 指定侧的流 体的质量 x y z o 无关 与不可压缩 密度 无关关 与时间稳定流体的速度与点有 无关 与不可压缩 密度 无关关 与时间稳定流体的速度与点有 t t 1 体积流量截面的质量 流体通过某个指单位时间内流量 体积流量截面的质量 流体通过某个指单位时间内流量 求面积为且流过平面若 求面积为且流过平面若 1 qSczyxv 的单位法向量为 的单位法向量为Sn nvSvS n 投影正柱体体积 投影正柱体体积 积为母线方向的斜柱体体以为底以积为母线方向的斜柱体体以为底以vS 解解 nvSvS n S cv n n v X Y Z O i S iii i v i n 1 2 不能直接用 曲面各点不同现在的问题 不能直接用 曲面各点不同现在的问题 zyxvv 取极限来解决求和近似代替用可分割取极限来解决求和近似代替用可分割 i n 法向量为法向量为 把曲面 分成 把曲面 分成n小块小块 i s i s 同时也代表 第 同时也代表 第i小块曲面的面积 在 小块曲面的面积 在 i s 上任取一点上任取一点 iii 1 分割分割 i v 则该点的流速为则该点的流速为 X Y Z O i S iii i v i n iiii Snv kjin iiii coscoscos 2 近似代替近似代替 3 求和求和通过 流向指定侧的流量通过 流向指定侧的流量 n i iii Snv 1 iiiii iiii n i iiii SR QP cos cos cos 1 xyiiii xziiiiyz n i iiii SR SQSP 1 4 取极限4 取极限0 的精确值取极限得到流量的精确值取极限得到流量 三 对坐标的曲面积分的定义三 对坐标的曲面积分的定义 存在 时 的最大值若当各小块面积的直径 对平面的投影为在 面积也记为块任意分成把 上有界在为光滑有向曲面 存在 时 的最大值若当各小块面积的直径 对平面的投影为在 面积也记为块任意分成把 上有界在为光滑有向曲面 n i xyiiii iiiixyii ii SR SSxoyS SniSn zyxR 1 0 lim 0 4 2 1 3 2 1 则称此极限为函数则称此极限为函数R x y z 在有向曲面 上在有向曲面 上 对坐标对坐标x y的曲面积分的曲面积分 也称第二类曲面积分也称第二类曲面积分 定义定义 设设 记作记作 dxdyzyxR 即 即 n i xyiiii SRdxdyzyxR 1 0 lim 被积函数 积分曲面 被积函数 积分曲面 类似可定义类似可定义 n i yziiii SPdydzzyxP 1 0 lim n i zxiiii SQdzdxzyxQ 1 0 lim 存在条件存在条件 当当 zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲 面 上连续时 对坐标的曲面积分存在 在有向光滑曲 面 上连续时 对坐标的曲面积分存在 组合形式组合形式 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP 物理意义物理意义 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP 性质性质 21 21 1 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz RdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxR dzdxzyxQdzdxzyxQ dydzzyxPdydzzyxP 2 四 对坐标的曲面积分的计算四 对坐标的曲面积分的计算 设积分曲面 是由 方程 设积分曲面 是由 方程 yxzz 所给 出的曲面上侧 在 所给 出的曲面上侧 在 xoy面上的投影区域 为 面上的投影区域 为 xy D 函数 函数 yxzz 在在 xy D上具 有一阶连续偏导数 被积函数 上具 有一阶连续偏导数 被积函数 zyxR在 上连续 在 上连续 yxzz xy D x y z o xy s n i xyiiii SRdxdyzyxR 1 0 lim 0cos iii xyxyi z S 又 取上侧 又 取上侧 n i xyiiiii n i xyiiii zR SR 1 0 1 0 lim lim xy D dxdyyxzyxRdxdyzyxR 即即 0cos xyxyi S cba czbyax dzdxydydzxI 取外侧的整个边界 围成的长方体是坐标面与 计算例 取外侧的整个边界 围成的长方体是坐标面与 计算例 654321 654321 2 2 dzdxdzdxy dydzdydzxI解解 22 2222 42 baabcacbbca dbdadzdxydydzx xzyz D xz D yz X Y Z 后侧 后侧 0 1 x 前侧 前侧 2 ax 左侧 左侧 0 3 y 4 右侧右侧by 0 5 下侧下侧 z 上侧 上侧 6 cz 取外侧 取外侧 654321 取外侧 围成的立体的整个边界 是坐标面与其中 计算例 取外侧 围成的立体的整个边界 是坐标面与其中 计算例 3 3 zyx xdydzI x y z o 后侧 后侧 0 1 x 左侧 左侧 0 2 y 下侧 下侧 0 3 z 3 4 上侧上侧yxz 4 5 五 两类曲面之间的联系五 两类曲面之间的联系 设有向曲面 是由方程设有向曲面 是由方程 yxzz 给出 在给出 在 xoy面上的投影区域为面上的投影区域为 xy D 函数 函数 yxzz 在在 xy D 上具有一阶连续偏导数 上具有一阶连续偏导数 zyxR在 上连续 在 上连续 对坐标的曲面积分为 对坐标的曲面积分为 xy D dxdyyxzyxR dxdyzyxR xy D yxzz x y z o ds n 曲面 的法向量的方向余弦为 曲面 的法向量的方向余弦为 1 1 cos 1 cos 1 cos 22 22 22 yx yx y yx x zz zz z zz z xy xy D xy D xyyx yx dyxzyxR dzz zz yxzyxR dSzyxR 1 1 1 cos 22 22 所以所以dSzyxRdxdyzyxR cos 注意取曲面的两侧均成立 注意取曲面的两侧均成立 dSRQP dxdyRQdzdxPdydz coscoscos 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系 为曲面的方向余弦 其中为曲面的方向余弦 其中 cos cos cos 向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdA n 或或 其中其中 cos cos cos nRQPA 为 有向曲面 上点 为 有向曲面 上点 zyx处的单位法向量 处的单位法向量 dxdydzdxdydzdSnSd 称 为称 为 有 向 曲 面 元 有 向 曲 面 元 n A为向量为向量A 在在n 上的投影 上的投影 30 1 22 前侧 部分的所截得的在第一卦限内及被 计算 前侧 部分的所截得的在第一卦限内及被 计算 zz yxydzdxxdydzzdxdy 0coscoscos 0 2 2 2222 yx y yx x yxn 例例4 解解 30 1 22 前侧 部分的所截得的在第一卦限内及被 计算 前侧 部分的所截得的在第一卦限内及被 计算 zz yxydzdxxdydzzdxdy 2 3 1 0 coscoscos 22 22 2 22 2 dS dSyxdSz yx y yx x dSzyxydzdxxdydzzdxdy 例例4 解解 例 5例 5 计算 计算zdxdydydzxz 2 其中 是 旋转抛物面 其中 是 旋转抛物面 2 1 22 yxz 介于平面介于平面0 z及 及 2 z之间的部分的下侧 之间的部分的下侧 有上在曲面有上在曲面 解解 1 1 cos 1 cos 22 22 yx yx x dS yx z yx x xz 1 1 1 2222 2 xy D dxdyyxxxyx 2 1 4 1 22222 xy D dxdyyxx 2 1 222 2 0 222 2 0 2 1 cos rdrrrd 8 dSzxz zdxdydydzxz cosc