南京航空航天大学《高等数学》121微分方程的定义及有.pdf

1 回顾 在学导数时 曾做过题目 回顾 在学导数时 曾做过题目 sincos cossin 2 2 21 2 2 2 21 得证代入满足方程及将 解 得证代入满足方程及将 解 x dt xd ktcktck dt xd ktkcktkc dt dx 0 sincos 2 2 2 21 xk dt xd ktcktcx满足方程验证满足方程验证 2 数关系 解 得到变量之间的函 过微分方程的求或微分的关系式 再通 知函数及其导数易 但容易建立含有未 的函数关系不容往往直接寻求变量之间 何等问题中在不少力学 物理 几 数关系 解 得到变量之间的函 过微分方程的求或微分的关系式 再通 知函数及其导数易 但容易建立含有未 的函数关系不容往往直接寻求变量之间 何等问题中在不少力学 物理 几 方程这种方程就是一个微分的方程 及函数导数未知函数它是一个含有函数 方程这种方程就是一个微分的方程 及函数导数未知函数它是一个含有函数 法几种常用微分方程的解 的一些基本概念和本章主要介绍微分方程 法几种常用微分方程的解 的一些基本概念和本章主要介绍微分方程 与代数方程不同 该方程与代数方程不同 该方程0 2 2 2 xk dt xd 3 问题的提出 微分方程的定义及有关概念 问题的提出 微分方程的定义及有关概念 4 先看几个简单的例子在说明基本概念前 先看几个简单的例子在说明基本概念前 2 2 1 的方程求这曲线 处的切线斜率上点 且在曲线点过一条曲线 的方程求这曲线 处的切线斜率上点 且在曲线点过一条曲线 C xkyxM CC 1 2 x dx dy xyyC 由导数的几何意义 设曲线 由导数的几何意义 设曲线 一 问题的提出一 问题的提出 例例1 解解 2 2 1 x y此外此外 5 1 3 2 1 2 1 cy x 得代入 将点曲线过 得代入 将点曲线过 4 1 2 xxy所求曲线为所求曲线为 X Y O 1 2 cxy 2 的函数有无穷多个 满足方程说明由 的函数有无穷多个 满足方程说明由 1 3 3 2 1 2 cxxdxy 两边积分对两边积分对 6 5 4 0 2 2 dt sd tss 则数 设刹车后的运动规律函 则数 设刹车后的运动规律函 且花了多少时间 能停下 少路程才 问列车刹车后行驶多 刹车获得沿平直线路行驶设列车以 且花了多少时间 能停下 少路程才 问列车刹车后行驶多 刹车获得沿平直线路行驶设列车以 4 0 20 2 s m a s m v 6 200 0 00 t tt dt ds vs此外此外 例例2 解解 为任意常数 有由 为任意常数 有由 2121 2 1 8 2 0 7 4 0 5 ccctcts ctv dt ds 7 500 10 50 50 4 0 20 9 0 msst stv 代入 代入 代入 代入 20 7 20 1 0 cv t 得代入将得代入将 10 202 0 9 204 0 2 tts t dt ds v 0 8 0 2 0 cs t 得代入将得代入将 8 二 微分方程的定义及有关概念二 微分方程的定义及有关概念 分方程 程称之常微自变量之间的关系的方 未知函数的导数与凡表示未知函数 分方程 程称之常微自变量之间的关系的方 未知函数的导数与凡表示未知函数 现未知函数的导数必须出 现未知函数的导数必须出 5 2 1 1中方程例的方程中如 例中方程例的方程中如 例 程的阶 导数的阶数称之微分方 函数的最高阶微分方程中出现的未知 程的阶 导数的阶数称之微分方 函数的最高阶微分方程中出现的未知 中微分方程为二阶 例微分方程为一阶 中例中微分方程为二阶 例微分方程为一阶 中例21 定义定义 注 定义定义 9 11 0 0 nn yyyyxF n 阶微分方程的形式是一般地 阶微分方程的形式是一般地 四阶 三阶 又如 四阶 三阶 又如 xyyyyy xxyyxyx 2sin5 12 10 4 3 4 4 223 微分方程的解 函数称为微分方程成为恒等式的代入 微分方程的解 函数称为微分方程成为恒等式的代入 上的解 在区间为微分方程 称 则 上如果在 阶连续导数 上有在区间即 设 上的解 在区间为微分方程 称 则 上如果在 阶连续导数 上有在区间即 设 Ix xxxxF I nIxy n 11 0 定义定义 10 的解是方程 中函数例 的解是方程 中函数例 的解是方程 中函数例 的解是方程 中函数例 5 10 8 2 1 4 3 1 般解 这样的解称为通解或一 数的个数与阶数相同解中含有任意常数且常 解有两种不同形式 般解 这样的解称为通解或一 数的个数与阶数相同解中含有任意常数且常 解有两种不同形式 i 8 2 3 1中的函数例中的函数例中的函数例中的函数例 中的常数定的条件用来确定通解 些特对实际问题往往还有一事物的规律性 故还不能完全反映客观通解含有任意常数 中的常数定的条件用来确定通解 些特对实际问题往往还有一事物的规律性 故还不能完全反映客观通解含有任意常数 11 之特解 任意常数而得到的解称 从通解中确定按问题所给的特定条件 之特解 任意常数而得到的解称 从通解中确定按问题所给的特定条件 ii 条件 这些特定条件称为初始 条件 这些特定条件称为初始 的条件为 通常用来确定任意常数 的条件为 通常用来确定任意常数 0 0 00 0 yyyy yy xxxx xx 二阶 一阶 二阶 一阶 6 2 2 1中的条件例中的条件例中的条件例中的条件例 12 的积分曲线 一条曲线称为微分方程 其中每平面曲线通解在几何上表示一族 的积分曲线 一条曲线称为微分方程 其中每平面曲线通解在几何上表示一族 12 11 00 nn n nn yyyxfy y yyyyxF n 得微分方程 中解出 阶微分方程若能从 得微分方程 中解出 阶微分方程若能从 约定 在本章中所讨论的微分方程都是已解 出最高阶导数的方程 约定 在本章中所讨论的微分方程都是已解 出最高阶导数的方程 12 或能解出最 高阶导数的方程 或能解出最 高阶导数的方程 11 且式 且式 12 右边在所讨论的范围内连续 右边在所讨论的范围内连续 13 2 0 2 dyyxNdxyxM 可写成微分形式 方程可写成微分形式 方程 1 0 yyxF一般式一阶一般式一阶 yxN yxM yxf写成将写成将 2 yxfy 解出最高阶导数为 解出最高阶导数为 14 5 2 见方程的解法 本类型的一阶下面介绍几种简单的基 见方程的解法 本类型的一阶下面介绍几种简单的基 13 0 0