南京航空航天大学《高等数学》54定积分的换元法.pdf

第四节 定积分的换元法第四节 定积分的换元法 定理定理 假设 1 假设 1 xf在在 ba上连续 2 函数 上连续 2 函数 tx 在在 上是单值的且有连续 导数 上是单值的且有连续 导数 3 当 3 当t在区间在区间 上变化时 上变化时 tx 的值 在 的值 在 ba上变化 且上变化 且a b 则 有 则 有dtttfdxxf b a 一 换元公式一 换元公式 证证设设 xF是是 xf的一个原函数 的一个原函数 aFbFdxxf b a tFt dt dx dx dF t txf ttf dtttf t 是是 ttf 的一个原函数的一个原函数 a b FF aFbF aFbFdxxf b a dtttf 注意注意 当当 时 换元公式仍成立时 换元公式仍成立 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意 1 2 求出求出 ttf 的一个原函数的一个原函数 t 后 后 不必还原成变量不必还原成变量x的函数 只要把的函数 只要把 t 的上 下限的上 下限 分别代入分别代入 t 然后相减就行了然后相减就行了 用用 tx 把变量把变量x换成新变量换成新变量 t 时 积分限 也相应的改变 时 积分限 也相应的改变 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意 3 tx 要求是单值函数 要求是单值函数 4 定积分换元法可以用来证明积分等式 关键在于 定积分换元法可以用来证明积分等式 关键在于 tx 的构造 这与的构造 这与积分的上下限积分的上下限 以及以及被积函数的形式被积函数的形式有关 有关 例1 例1 计算计算 sincos 2 0 5 xdxx 解解令令 cosxt 2 x 0 t0 x 1 t 2 0 5 sincosxdxx 0 1 5dt t 1 0 6 6 t 6 1 sin xdxdt 换元换元要换限要换限凑元凑元不换限不换限 例2 例2 计算计算 解解 sinsin 0 53 dxxx xxxf 53 sinsin 2 3 sincosxx 0 53 sinsindxxx 0 2 3 sincosdxxx 2 0 2 3 sincosdxxx 2 2 3 sincosdxxx 2 0 2 3 sinsinxdx 2 2 3 sinsinxdx 2 0 2 5 sin 5 2 x 2 2 5 sin 5 2 x 5 4 2 0 53 sinsindxxx 令令 x t sinsin2 2 0 53 dxxx 2 1 sin u du dxux 令 令 5 4 5 4 2 1 2 1 0 1 0 2 3 1 0 2 53 uduu u du uu 2 53 sinsindxxx sinsin 0 53 dxxx 例3 例3 计算计算 解解 ln1 ln 4 3 e e xxx dx 原式原式 4 3 ln1 ln lne e xx xd 4 3 ln1 ln lne e xx xd 4 3 2 ln 1 ln 2 e e x xd 4 3 lnarcsin 2 e e x 6 解 令解 令 xt 则则 2 2 tdtdxtx 2 1 1 2 tt dt 原式原式 2 1 1ln ln2tt dt tt 1 11 2 2 1 3 4 ln2 解解 令令 dttt 2 1 2 0 1 原式原式 15 4 42 42 1 0 dttt tdtdxtxxt2 1 1 2 4 1 1 xx dx 例4 1 例4 1 计算计算 dxxx 1 1 0 例4 2 例4 2 计算计算 例5 例5 计算计算 解解 a adx xax 0 22 0 1 令令 2 0 sin ttax ax 2 t0 x 0 t costdtadx 原式原式 2 0 22 sin1 sin cos dt tata ta 2 0 cossin cos dt tt t 2 0 cossin sincos 1 2 1 dt tt tt 2 0 cossinln 2 1 22 1 tt 4 例 6例 6 当当 xf在在 aa 上连续 则上连续 则 1 1 a a a dxxfxfdxxf 0 2 2 xf为偶函数 则为偶函数 则 a a a dxxfdxxf 0 2 3 3 xf为奇函数 则为奇函数 则 a a dxxf0 证证 0 0 a a a a dxxfdxxfdxxf 在在 0 a dxxf中令中令tx 0 a dxxf 0 a dttf 0 a dttf 0 a dxxf 0 a dttf 0 a dttf xf为偶函数 则为偶函数 则 tftf a a a a dxxfdxxfdxxf 0 0 2 0 a dttf xf为奇函数 则为奇函数 则 tftf a a a a dxxfdxxfdxxf 0 0 0 奇函数奇函数 例7 例7 计算计算 解解 11 cos2 1 1 2 2 dx x xxx 原式原式 1 1 2 2 11 2 dx x x 1 1 2 11 cos dx x xx 偶函数偶函数 1 0 2 2 11 4dx x x 1 0 2 22 1 1 11 4dx x xx 1 0 2 11 4dxx 1 0 2 144dxx 4 单位圆的面积单位圆的面积 例 8例 8 若若 xf在在 1 0 上连续 证明上连续 证明 1 22 00 cos sindxxfdxxf 由此计算由此计算 2 0 cossin sin dx xx x 2 00 sin 2 sindxxfdxxxf 由此计算由此计算 0 2 cos1 sin dx x xx ttcos 2 sin 2 0 sindxxf 0 22 sindttf 2 0 cosdttf cos 2 0 dxxf 2 设 设tx dtdx 0 x t x 0 t 0 sindxxxf 0 sin dttft sin 0 dttft 证证 1 设 设tx 2 dtdx 0 x 2 t 2 x 0 t 0 sindttf 0 sindtttf 0 sindxxf sin 0 dxxxf sin 2 sin 00 dxxfdxxxf 0 2 cos1 sin dx x xx 0 2 cos1 sin 2 dx x x 0 2 cos cos1 1 2 xd x 0 arctan cos 2 x 4 2 44 2 0 sindxxxf 几个特殊积分 定积分的几个等式几个特殊积分 定积分的几个等式 定积分的换元法定积分的换元法 dxxf b a dtttf 二 小结二 小结 思考题思考题 指出求指出求 2 2 2 1xx dx 的解法中的错误 并写出正确 的解法 的解法中的错误 并写出正确 的解法 令令 sec 解解 tx 4 3 3 2 t sectantdttdx 2 2 2 1xx dx tdtt tt tansec tansec 1 4 3 3 2 dt 4 3 3 2 12 思考题解答思考题解答 计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的 txsec 4 3 3 2 t 0tan 0 0 1 2 xe xx xf x 求求 dxxf 2 3 1 解 令解 令 2tx 原式原式 dttf 1 1 dtedtt t 1 0 2 0 1 1 e 1 3 7 dttxf dx d dttftx dx d xf x 2 1 5 2 1 0 2 2 为连续函数 求 设为连续函数 求 设 dttfx x 2 2 0 1 2 xfxf ds dI dt dI dx dI dxxtftIxf t s 求 为连续函数 设 求 为连续函数 设 6 0 00sf ds dI dt dI dx dI ss t s duufdu t uftdxxtftuxt 000 1 关键在于换元关键在于换元 su t s x 0 0 7 证明 证明 x dx x a xf x dx x a xf aa 2 1 2 2 2 1 证 设证 设tx 2 2 1 dtxdx 则 则 2 1 1 at ax 左式左式 t dt t a tf x xdx x a xf aa 2 1 2 1 22 2 2 1 2 t dt t a tf t dt t a tf a a a 2 1 22 1 2 du u a dt