南京航空航天大学《高等数学》57广义积分.pdf

1 第七节 广义积分第七节 广义积分 无穷限的广义积分无穷限的广义积分 无穷积分无穷积分 无界函数的广义积分无界函数的广义积分 瑕积分瑕积分 2 定义 1 设函数定义 1 设函数 xf在区间在区间 a上连续 取上连续 取 ab 如果极限 如果极限 b a b dxxf lim存在 则称此极 限为函数 存在 则称此极 限为函数 xf在无穷区间在无穷区间 a上的广义积 分 记作 上的广义积 分 记作 a dxxf a dxxf b a b dxxf lim 当极限存在时 称广义积分收敛 当极限不存在 时 称广义积分发散 当极限存在时 称广义积分收敛 当极限不存在 时 称广义积分发散 一 无穷限的广义积分一 无穷限的广义积分 3 类似地 设函数类似地 设函数 xf在区间在区间 b 上连续 取上连续 取 ba p时收敛 当 时收敛 当1 p时发散时发散 证证 1 1 p 1 1 dx x p 1 1 dx x 1 ln x 1 2 p 1 1 dx x p 1 1 1p x p p时广义积分收敛 其值为时广义积分收敛 其值为 1 1 p 当 当1 p时广义积分发散时广义积分发散 8 例 4例 4 证明广义积分证明广义积分 a px dxe当当0 p时收敛 当 时收敛 当0 p时发散时发散 证证 a pxdx e b a px b dxelim b a px b p e lim p e p e pbpa b lim 0 0 p p p e ap 即当即当0 p时收敛 当时收敛 当0 如果极限 如果极限 b a dxxf lim 0 存在 则称此极限为函数存在 则称此极限为函数 xf 在区间在区间 ba上的广义积分 记作上的广义积分 记作 b a dxxf b a dxxf b a dxxf lim 0 当极限存在时 称广义积分收敛 当极限不存在 时 称广义积分发散 当极限存在时 称广义积分收敛 当极限不存在 时 称广义积分发散 二 无界函数的广义积分二 无界函数的广义积分 10 类似地 设函数类似地 设函数 xf在区间在区间 ba上连续 而在点 上连续 而在点b的左邻域内无界 取的左邻域内无界 取0 如果极限 如果极限 b a dxxf lim 0 存在 则称此极限为函数存在 则称此极限为函数 xf在区间在区间 ba上的广义积分 记作 上的广义积分 记作 b a dxxf b a dxxf lim 0 当极限存在时 称广义积分收敛 当极限不存在 时 称广义积分发散 当极限存在时 称广义积分收敛 当极限不存在 时 称广义积分发散 11 设函数设函数 xf在区间在区间 ba上除点上除点 bcac a xa dx a 1 lim 22 0 xa ax ax 为被积函数的无穷间断点为被积函数的无穷间断点 a xa dx 0 22 a xa dx 0 22 0 lim a a x 0 0 arcsinlim 0arcsinlim 0 a a 2 13 例 6例 6 证明广义积分证明广义积分 1 0 1 dx x q 当当1 q时收敛 当时收敛 当 1 q时发散时发散 证证 1 1 q 1 0 1 dx x 1 0 ln x 1 2 q 1 0 1 dx x q 1 0 1 1 q x q 1 1 1 1 q q q 因此当因此当1 q时广义积分收敛 其值为时广义积分收敛 其值为 q 1 1 当 当1 q时广义积分发散时广义积分发散 1 0 1 dx x q 14 例7例7计算广义积分计算广义积分 解解 ln 2 1 xx dx 2 1 ln xx dx 2 1 0 ln lim xx dx 2 1 0 ln ln lim x xd 2 1 0 ln lnlim x 1ln ln 2ln lnlim 0 故原广义积分发散故原广义积分发散 15 例8例8计算广义积分计算广义积分 解解 1 3 03 2 x dx 1 x瑕点瑕点 3 0 3 2 1 x dx 1 0 3 13 2 1 x dx 1 0 3 2 1 x dx 1 0 03 2 1 lim x dx 3 3 1 3 2 1 x dx 3 1 03 2 1 lim x dx 23 3 3 0 3 2 1 x dx 21 3 3 16 无界函数的广义积分 无界函数的广义积分 瑕积分瑕积分 无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 dxxf b dxxf a dxxf c a b c b a dxxfdxxfdxxf 注意注意 不能忽略内部的瑕点 不能忽略内部的瑕点 b a dxxf 三 小结三 小结 17 思考题思考题 积分的瑕点是哪几点 积分的瑕点是哪几点 1 0 1 ln dx x x 18 思考题解答思考题解答 积分可能的瑕点是