南京航空航天大学《高等数学》14函数的极限.pdf

自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限 函数极限的性质函数极限的性质 sin 时的变化趋势当观察函数 时的变化趋势当观察函数 x x x 一 自变量趋向无穷大时函数的极限一 自变量趋向无穷大时函数的极限 函数函数 xfy 在在 x的过程中的过程中 对应函数值对应函数值 xf无限趋近于确定值无限趋近于确定值 A 的接近程度与表示用的接近程度与表示用AxfAxf xXx 0 sin 无限接近于无限增大时当无限接近于无限增大时当 x x xfx 特例 通过上面演示实验可观察到 特例 通过上面演示实验可观察到 问题问题 如何用数学语言刻划当如何用数学语言刻划当 x 无限增大 函数无限增大 函数 f x 无限接近无限接近 确定值确定值A 定义 1 定义 1 如果对于任意给定的正数 如果对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在着正数 不论它多么小 总存在着正数X 使得对于适合不等式 使得对于适合不等式Xx 的一切的一切 x 所对应的函数值 所对应的函数值 xf都满足不等式都满足不等式 Axf 那末常数 那末常数A就叫函数就叫函数 xf当当 x时的极限 记作时的极限 记作 lim xAxfAxf x 当或当或 定义定义 X 0 0 AxfXxX恒有时使当恒有时使当 Axf x lim 1 定义1 定义 10情形 情形 x 0 0 AxfXxX恒有时使当恒有时使当 2 0 情形 情形 xAxf x lim 0 0 AxfXxX恒有时使当恒有时使当 Axf x lim 2 另两种情形另两种情形 Axf x lim 定理定理 lim limAxfAxf xx 且且 x x y sin 3 几何解释几何解释 X X 2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线 图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 Ay xfyXxXx A x x y sin 例1例1 0 sin lim x x x 证明证明 证证 x x x xsin 0 sin x 1 X 1 1 X取取 时恒有则当时恒有则当Xx 0 sin x x 0 sin lim x x x 故故 lim 的图形的水平渐近线 是函数则直线如果定义 的图形的水平渐近线 是函数则直线如果定义xfycycxf x 问题 问题 函数函数 xfy 在在 0 xx 的过程中的过程中 对应对应 函数值函数值 xf无限趋近于确定值无限趋近于确定值 A 的接近程度与表示的接近程度与表示AxfAxf 0 00 的过程表示的过程表示xxxx x 0 x 0 x 0 x 0 邻域的去心点邻域的去心点 x 0程度 接近体现程度接近体现xx 二 自变量趋向有限值时函数的极限二 自变量趋向有限值时函数的极限 1 12 1无限接近时例无限接近时例 xxfx 1 012 01122 0 xx只须要使取只须要使取 相应地可找到一个给定一个 相应地可找到一个给定一个 001 01002 0112002 0 xx只须要使只须要使 01 0102 011202 0 xx只须要使只须要使 定义 2定义 2 如果对于任意给定的正数 如果对于任意给定的正数 不论它多 么小 总存在正数 不论它多 么小 总存在正数 使得对于适合不等式 使得对于适合不等式 0 0 xx的一切的一切x 对应的函数值 对应的函数值 xf都 满足不等式 都 满足不等式 Axf 那末常数 那末常数A就叫函数就叫函数 xf当当 0 xx 时的极限 记作时的极限 记作 lim 0 0 xxAxfAxf xx 当或当或 定义定义 0 0 0 0 Axf xx 恒有 时使当 恒有 时使当 1 定义1 定义 2 几何解释几何解释 xfy A A A 0 x 0 x 0 x x y o 2 0 的带形区域内宽为 为中心线线 图形完全落在以直 函数域时 邻的去心在当 的带形区域内宽为 为中心线线 图形完全落在以直 函数域时 邻的去心在当 Ay xfy xx 0是否有定义无关 在点函数极限与是否有定义无关在点函数极限与xxf 有关与任意给定的正数有关与任意给定的正数 越小越好越小越好后后找到一个找到一个显然显然 注 注 例2例2 lim 0 为常数证明为常数证明CCC xx 证证 Axf CC 成立 成立 任给 任给 0 lim 0 CC xx 0 任取任取 0 0 时当时当 任给任给 取取 0 0 时当时当 xx 0 xxAxf 成立成立 任给任给 只要取 只要取 0 0 时当时当 xx 函数在点函数在点x x 1处没有定义 1处没有定义 1 x Axf要使要使 2 1 1 2 任给 任给 min 00 xx取取 0 0 时当时当 xx 0 0 xx xx Axf要使要使 0 xx就有就有 0 0 x xx 00 且不取负值只要且不取负值只要 时当证明时当证明 3 单侧极限单侧极限 例如 例如 1 lim 0 1 0 1 0 2 xf xx xx xf x 证明 设 证明 设 两种情况分别讨论和分两种情况分别讨论和分00 xx 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近 0 0 xx记作记作 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近 0 0 xx记作记作 y ox 1 xy 1 1 2 xy 左极限左极限 0 0 00 Axf xxx 恒有 时使当 恒有 时使当 右极限右极限 0 0 00 Axf xxx 恒有 时使当 恒有 时使当 0 0 0 00 0 xxxxxx xxx 注意注意 0 lim 0 0 0 0 AxfAxf xx xx 或记作或记作 0 lim 0 0 0 0 AxfAxf xx xx 或记作或记作 0 0 lim 00 0 AxfxfAxf xx 定理定理 lim 0 不存在验证不存在验证 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 limlim 左右极限存在但不相等 左右极限存在但不相等 lim 0 不存在不存在xf x 例6例6 证证 1 1 lim 0 x x x x x xx00 limlim 11lim 0 x 1 有界性有界性 定理 若在某个过程下 定理 若在某个过程下 xf有极限 则存在 过程的一个时刻 在此时刻以后 有极限 则存在 过程的一个时刻 在此时刻以后 xf有界 有界 2 唯一性唯一性 定理定理 若若 limxf存在存在 则极限唯一则极限唯一 三 函数极限的性质三 函数极限的性质 推论推论 0 lim lim 0 0 00 xgxfxUx BABxgAxf xxxx 则有若 设 则有若 设 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 xfxfxUx AAAxf xx 或时当则 或且若 或时当则 或且若定理 保号性 定理 保号性 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 AAxfxf xUxAxf xx 或则或 时当且若 或则或 时当且若推论推论 4 子列收敛性子列收敛性 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 21 000 时的子列当 为函数即 则称数列时使得有数列 中或可以是设在过程 时的子列当 为函数即 则称数列时使得有数列 中或可以是设在过程 ax xfxfxfxfxf axnax xxxaax nn nn 定义定义 lim lim Axf axxfxfAxf n n n ax 则有时的一个子列 当是数列若 则有时的一个子列 当是数列若定理定理 证证 0 0 0 0 Axf xx恒有时使当恒有时使当 Axf xx lim 0 0 0 0 0 xx NnN n 恒有时使当对上述恒有时使当对上述 Axf n 从而有从而有 limAxf n x 故故 lim 00 xxxx nn n 且又且又 例如例如 x x y sin 1 sin lim 0 x x x 1 1 sinlim n n n 1 1 sinlim n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 n n n n n 注 注 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的 极限都存在 且相等 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的 极限都存在 且相等 x y 1 sin 例7例7 1 sinlim 0 不存在证明不存在证明 x x 证证 1 n xn取取 0lim n n x 0 n x且且 2 14 1 n xn取取 0lim n n x 0 n x且且 n x n n n sinlim 1 sinlim 而 而 1 2 14 sinlim 1 sinlim n x n n n 而而 1lim n 二者不相等 二者不相等 1 sinlim 0 不存在故不存在故 x x 0 函数极限的统一定义函数极限的统一定义 limAnf n limAxf x limAxf x limAxf x lim 0 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 Axf xx 0 lim Axf Axf 恒有 从此时刻以后时刻 恒有 从此时刻以后时刻 见下表见下表 四 小结四 小结 过程 时刻 从此时刻以后 过程 时刻 从此时刻以后 n x x x N Nn Nx Nx Nx xf Axf 0 xx 0 0 xx 0 xx 0 xx 0 0 xx0 0 xx 过程 时刻 从此时刻以后 过程 时刻 从此时刻以后 xf Axf 思考思考 试问函数试问函数 0 5 0 10 0 1 sin 2