南京航空航天大学《高等数学》86微分法在几何上的应用.pdf

空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线 参数式设 的表示法空间曲线 参数式设 的表示法空间曲线 1 tz ty tx 的切线及法平面表示的求由方程的切线及法平面表示的求由方程 1 割线的极限位置切线 割线的极限位置切线 切线的平面 上一点作垂直于该点过法平面 切线的平面 上一点作垂直于该点过法平面 一 空间曲线的切线与法平面一 空间曲线的切线与法平面 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置 切线的过程切线的过程 z zz y yy x xx 000 t t t 上式分母同除以上式分母同除以 t o z y x M M 割线的方程为割线的方程为MM 000 z zz y yy x xx zzyyxxM ttt 000 01 0000 zyxMtt 考虑 考虑 均可导设均可导设ttt 0 0 2 0 2 0 2 ttt 0 时即当 时即当 tMM 曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程 2 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 000 tttT 法平面 过法平面 过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面 0 000000 zztyytxxt 处的切线与法平面方程在点求处的切线与法平面方程在点求 1 1 1 3 2 tz ty tx 1 1 1 1 0 Mt点 点 0 1 3 1 2 1 zyx法平面法平面 3 1 2 1 1 1 zyx 切线切线 3 2 1 3 2 1 1 2 t ttT 例例1 解解 处的切线与法平面方程在 求曲线 处的切线与法平面方程在 求曲线 0 1 cossin2 cos 3 0 t ez tty uduex t t u 练习 练习 0 2 3 1 2 zyx法平面法平面 3 2 2 1 1 0 zyx 切线切线 注 处的切线和法平面方程在点 若空间曲线 处的切线和法平面方程在点 若空间曲线 M 1 000 zyx xz xy 1 0 0 0 00 x zz x yyxx 0 00000 zzxyyxxx 0 2 z xyy 平面曲线平面曲线 0 000 z xxxyyy 0 0 1 0 00 z xy yyxx 切线方程切线方程 注 空间曲线一般式 空间曲线一般式 0 0 3 zyxG zyxF xzz xyy zy GF 0 若若 1 00 xzxyT xzz xyy xx 0 0 0 00 1xz zz xy yyxx 由隐函数存在定理由隐函数存在定理 注 切线及法平面方程 处的在点 求 切线及法平面方程 处的在点 求 5 4 3 50 0 222 222 M zyx zyx 0 2 22 0 2 22 zzyyx zzyyx 0 5 3 4 4 3 zyx 0 3 4 0 43 1 T 43 0 0 5 43 0 5 43 00 00 00 yz zy zy 代入上式得代入上式得 5 4 3 0 M 例例2 解解 处的切线及法平面方程交线上对应于 椭球面 与求球面 处的切线及法平面方程交线上对应于 椭球面 与求球面 1x 4 17 1 3 4 9 222 222 zyx zyx 2 1 2 5 0 1 1 zyx 练习练习 2 1 2 5 0 1 1 zyx 022 zyx 022 zyx 二 曲面的切平面与法线二 曲面的切平面与法线 隐式 隐式 10 zyxF 显式 显式 2 yxfz 0 1 222 000 M zyx FFF MzyxF zyxM 且 有连续的偏导数在点 表示由方程设 且 有连续的偏导数在点 表示由方程设 上上0 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx n T M 0 2 0 2 0 2 0 0 ttt Mt tztytx M 且 对应点 设 任意引一条曲线过 事实上 且 对应点 设 任意引一条曲线过 事实上 都位于同一平面 的任何曲线的切线上过点以下证明 都位于同一平面 的任何曲线的切线上过点以下证明M 0 000000000000 tzyxFtzyxFtzyxF zyx nT 00 000 000 TntttFFF zyx 即即 000 的切平面称该平面为曲面在点 为法向量的平面上以 的切线在过的任一条过即 的切平面称该平面为曲面在点 为法向量的平面上以 的切线在过的任一条过即 M FFFn MM zyx 垂直 与的任一条曲线的切线均过这说明 垂直 与的任一条曲线的切线均过这说明 000000000 zyxFzyxFzyxFn M zyx 代入 求导得两边对 代入 求导得两边对 0 0 0 tttFtFtF ttttF zyx 的法线 称为曲面在点 向向量的直线以切平面的法向量为方过 的法线 称为曲面在点 向向量的直线以切平面的法向量为方过 M M 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 法线方程 法线方程 切平面方程切平面方程 3 0 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx 1 0000 yxfyxfn zyxfzyxF yx 令令 yxfz 特别特别 1 4 0 0 00 0 00 0 0000000 zz yxf yy yxf xx zzyyyxfxxyxf yx yx 法线 切平面 法线 切平面 注 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切平面 上点的 竖坐标 的增量 切平面 上点的 竖坐标 的增量 的全微分在点函数的全微分在点函数 00 yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为 1 全微分的几何意义全微分的几何意义 yxfz 在在 00 yx的全微分 表示 曲面 的全微分 表示 曲面 yxfz 在点在点 000 zyx处的 切平面上的点的竖坐标的增量 处的 切平面上的点的竖坐标的增量 注 2 若若 表示曲面的法向量的方向角 并假定法向量的方向是向上的 即使得它与 表示曲面的法向量的方向角 并假定法向量的方向是向上的 即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是锐角 则法向量的方向是锐角 则法向量的方向 余弦为余弦为 1 cos 22 yx x ff f 1 cos 22 yx y ff f 1 1 cos 22 yx ff 00 yxff xx 00 yxff yy 其中其中 例 3例 3 求曲面求曲面32 xyez z 在点在点 0 2 1 处的 切平面及法线方程 处的 切平面及法线方程 解解 32 xyezzyxF z 42 0 2 1 0 2 1 yFx 22 0 2 1 0 2 1 xFy 01 0 2 1 0 2 1 z z eF 令令 切平面方程切平面方程 法线方程法线方程 0 0 0 2 2 1 4 zyx 042 yx 0 0 1 2 2 1 zyx 例 4例 4 求旋转抛物面求旋转抛物面1 22 yxz在点在点 4 1 2 处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程 1 22 解解 yxyxf 4 1 2 4 1 2 1 2 2 yxn 1 2 4 切平面方程为切平面方程为 0 4 1 2 2 4 zyx 0624 zyx 法线方程为法线方程为 1 4 2 1 4 2 zyx 例 5例 5 求曲面求曲面2132 222 zyx平行于平面平行于平面 064 zyx的各切平面方程的各切平面方程 解解设为曲面上的切点设为曲面上的切点 000 zyx 切平面方程为切平面方程为 0 6 4 2 000000 zzzyyyxxx 依题意 切平面方程平行于已知平面 得依题意 切平面方程平行于已知平面 得 6 6 4 4 1 2 000 zyx 2 000 zyx 因为是曲面上的切点 因为是曲面上的切点 000 zyx 1 0