大学经典课件之高等数学——9-1二重积分的概念及性质.pdf

第九章 重积分 第九章 重积分 第九章第九章 第一节第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质 二 二重积分的概念 一 问题的提出 三 二重积分的性质 二 二重积分的概念 一 问题的提出 三 二重积分的性质 按积分区域分类 按积分区域分类 按积分区域分类 按积分区域分类 积分区域积分区域积分区域积分区域 定积分 二重积分 三重积分 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 曲线积分 曲面积分 一型 对弧长 二型 对坐标 一型 对面积 二型 对坐标 一型 对弧长 二型 对坐标 一型 对面积 二型 对坐标 Stokes 公式公式 高斯公式高斯公式 格林公式格林公式 1 1 多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况多元函数积分学概况 推推 广广 推推 广广 推推 广广 推推 广广 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱体体积 底面积 高柱体体积 底面积 高 特点 平顶 特点 平顶 柱体体积 柱体体积 特点 曲顶 特点 曲顶 yxfz D 曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 一 问题的提出一 问题的提出 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 z y D S S z f x y 元素法元素法元素法元素法 1 任意分割区域任意分割区域 D 化整为零化整为零 2 以平代曲以平代曲 1 曲顶柱体的体积1 曲顶柱体的体积 i 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 z y D S z f x y iiii yxfV 3 积零为整积零为整 n i iii yxfV 1 2 以平代曲以平代曲 元素法元素法元素法元素法 1 任意分割区域任意分割区域 D 化整为零化整为零 1 曲顶柱体的体积1 曲顶柱体的体积 i 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 z y D S z f x y iiii yxfV 3 积零为整积零为整 n i iii yxfV 1 4 取极限取极限 令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 i 2 以平代曲以平代曲 元素法元素法元素法元素法 1 任意分割区域任意分割区域 D 化整为零化整为零 1 曲顶柱体的体积1 曲顶柱体的体积 n i iii yxf 1 limV 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 z y D S z f x y iiii yxfV 3 积零为整积零为整 i n i iii yxfV 1 4 取极限取极限 令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 2 以平代曲以平代曲 元素法元素法元素法元素法 1 任意分割区域任意分割区域 D 化整为零化整为零 1 曲顶柱体的体积1 曲顶柱体的体积 n i iii yxf 1 limV 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 z y S z f x y iiii yxfV iiii yxfV 3 积零为整积零为整 4 取极限取极限 令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细令分法无限变细 V 2 以平代曲以平代曲 元素法元素法元素法元素法 1 任意分割区域任意分割区域 D 化整为零化整为零 1 曲顶柱体的体积1 曲顶柱体的体积 n i iii yxf 1 limV n i iii yxfV 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 平面薄片的质量2 平面薄片的质量 有一个平面薄片 在 有一个平面薄片 在 xoy 平面上占有区域 平面上占有区域 D 计算该薄片的质量 计算该薄片的质量 M 度为度为 常数若常数若 yx设设D 的面积为的面积为 则 则 M 若若 yx 不是常数 仍可用 其面密 分割 近似 求和 取极限 的方法解决 不是常数 仍可用 其面密 分割 近似 求和 取极限 的方法解决 1 分割 1 分割 用用任意任意曲线网分曲线网分D 为 为 n 个小区域个小区域 21n L 相应把薄片也分为小区域 相应把薄片也分为小区域 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x Cyx 2 近似 2 近似 中中任取任取一点一点 k 在每个 在每个 kk 3 求和 3 求和 n k k MM 1 n k kkk 1 4 取极限 4 取极限 的直径令的直径令 k nk 1 max n k kkk M 1 0 lim k kk 2 1 nkM kkkk L 则第 则第 k 小块的质量小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 两个问题的两个问题的共性共性 1 解决问题的步骤相同 2 所求量的结构式相同 1 解决问题的步骤相同 2 所求量的结构式相同 分割 近似 求和 取极限 分割 近似 求和 取极限 n k kkk fV 1 0 lim n k kkk M 1 0 lim 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 定义 设函数设函数 yxf在平面有界闭区域 在平面有界闭区域 D上有定 义 将闭区域 上有定 义 将闭区域 D任意分成 任意分成 n个小闭区域 个小闭区域 1 L 2 n 其中 其中 i 表示第 表示第 i个小闭区域 也表示它的面积 在每个 个小闭区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点上任取一点 ii 做和式 做和式 ii n i i f 1 记 记 max 1 的直径的直径 i ni 若不论小区域怎样分以及点 若不论小区域怎样分以及点 ii 怎样取 和式的极限 怎样取 和式的极限 ii n i i f lim 1 0 都存在且都存在且 二 二重积分的概念二 二重积分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分区域积分区域积分区域积分区域 相等 则称函数相等 则称函数 yxf在区域在区域D上是可积的 且上是可积的 且称称 此极限值为函数此极限值为函数 yxf在闭区域在闭区域D上的上的二重积分二重积分 记为 记为 D dyxf 即 即 积分和积分和积分和积分和 被积函数被积函数被积函数被积函数 积分变量积分变量积分变量积分变量 被积表达式被积表达式被积表达式被积表达式 面积元素面积元素面积元素面积元素 D dyxf ii n i i f lim 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 在二重积分的定义中 对积分区域 1 在二重积分的定义中 对积分区域D的划分 及点的取法是任意的 的划分 及点的取法是任意的 2 若 2 若 yxf在闭区域在闭区域D上连续 则上连续 则 yxf在闭 区域 在闭 区域D上可积 上可积 对二重积分定义的说明 对二重积分定义的说明 3 若 3 若 yxf在闭区域在闭区域D有界且分片连续 则有界且分片连续 则 yxf在闭区域在闭区域D上可积 上可积 4 曲顶柱体的体积是 4 曲顶柱体的体积是 dyxfV D 平面薄片的质量 平面薄片的质量 dyxm D 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体 积 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体 积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体的 体积的负值 当被积函数小于零时 二重积分是柱体的 体积的负值 当被积函数既有大于零的部分也有小于零 的部分时 二重积分是大于零部分的柱体体积 和小于零部分的柱体体积的代数和 当被积函数既有大于零的部分也有小于零 的部分时 二重积分是大于零部分的柱体体积 和小于零部分的柱体体积的代数和 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质 性质 当 当 k 为常数时 为常数时 DD dyxfkdyxkf 性质 性质 D dyxgyxf DD dyxgdyxf 假设下面所涉及到的函数在积分区域上都是可积的假设下面所涉及到的函数在积分区域上都是可积的 三 二重积分的性质三 二重积分的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质3 若为若为D的面积 的面积 1 DD dd 性质性质4对区域具有可加性对区域具有可加性 21 DDD dyxfdyxfdyxf 性质 性质 若在若在D上上 yxgyxf DD dyxgdyxf 性质性质6 DD dyxfdyxf 21 DDD 则有则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 若在若在D上上 yxgyxf DD dyxgdyxf 则有则有 yxgyxf 但但 设 设M m分别是分别是 yxf在闭区域在闭区域 D 上的最 大值和最小值 上的最 大值和最小值 为为 D 的面积 则的面积 则 设函数设函数 yxf在闭区域 在闭区域 D上连续 上连续 为为D的面 积 则至少存在一点 的面 积 则至少存在一点D 使得 使得 性质性质8 二重积分的中值定理 二重积分的中值定理 D Mdyxfm fdyxf D 二重积分估值定理 性质 二重积分估值定理 性质7 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1例 1 不作计算 估计 不作计算 估计 deI D yx 22 的值 其中 的值 其中D是闭区域 是闭区域 1 2 2 2 2 b y a x 0 ab 在在D上 上 222 0ayx Q 1 222 0ayx eee 由估值定理知由估值定理知 222 a D yx ede 解解 222 a D yx eabdeab 区域区域 D 的面积 的面积 ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2 例 2 估计 估计 D xyyx d I 162 22 的值 其中 D 的值 其中 D 20 10 yx 区域面积区域面积 2 16 1 2 yx yxfQ 在在D上上 yxf的最大值的最大值 0 4 1 yxM yxf的最小值的最小值 5 1 43 1 22 m 2 1 yx 故故 4 2 5 2 I 5 04 0 I 解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3例 3 判断判断 1 22 ln yx dyx 的符号 的符号 当 当 1 yx 时 时 1 0 222 yxyx 故故 0 ln 22 yx 又当 又当 1 yx 时 时 0 ln 22 yx 于是于是 0 ln 1 22 yx dyx 解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4例 4 比较积分比较积分 D dyx ln 与与 D dyx 2 ln 的大小 其中 的大小 其中 D 是三角形闭区域 三顶点各为是三角形闭区域 三顶点各为 1 0 1 1 2 0 解解三角形斜边方程三角形斜边方程 2 yx 在在D内有 内有 eyx 21 故故 1 ln 0 因此因此 D dyx ln D dyx 2 ln o x y 1 21 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 d d 32 DD yxyx 其中其中2 1 2 22 yxD 解 解 积分域 积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周 1 yx 3 32 yxyx 2 1 2 22 yx 它与 它与 x 轴交于点 轴交于点 1 0 1相切与直线相切与直线 yx而域 而域 D 位位 1 yx从而从而 d d 32 DD yxyx 于直线的上方 故在 于直线的上方 故在 D 上上 1 y 2 xo 1 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 例5 比较下列积分的大小 而在 比较下列积分的大小 而在 D 上除点上除点 1 0 外都有外都有 32 yxyx 性质 1 奇偶对称性 性质 1 奇偶对称性 设平面上有界闭区域设平面上有界闭区域D被被 y轴 或 轴 或 x轴 分成对称的两块 轴 分成对称的两块 1 D 2 D 二重积分的对称性质二重积分的对称性质 1 若 1 若 yxf关于 关于 x 或 或 y 是奇函数 即 是奇函数 即 yxfyxf 或 或 yxfyxf 则 则 0 dyxf D 2 若 2 若 yxf关 于关 于x 或 或y 是 偶 函 数 即 是 偶 函 数 即 yxfyxf 或 或 yxfyxf 则 则 dyxfdyxfdyxf DDD 21 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6例 6 计算二重积分计算二重积分 dyxxyA D sin sin 22 其中其中 11 11 yxyxD dyxxyA D sin sin 22 000 D关于关于x轴 轴 y轴都对称 而轴都对称 而 sin 2 xy关 于 关 于x是奇函数 是奇函数 sin 2 yx关于关于y是奇函 数 所以 是奇函 数 所以 解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 DD dyxdxy sin sin 22 性质2 轮换对称性 性质2 轮换对称性 若平面有界闭区域 若平面有界闭区域 D 关于 直线 关于 直线y x 对称 则对称 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 dxyfdyxf DD 例 7 例 7 求证 求证 2 1 2 baRd yfxf ybfxaf D 其中 其中 222 RyxD xf为正值连续函数 为正值连续函数 证明 证明 D d yfxf ybfxaf I D d yfxf xbfyaf D d yfxf yfxfba I 2 D dba 2 Rba 2 2 1 RbaI 二重积分的定义 二重积分的性质 对称性 二重积分的几何意义 二重积分的定义 二重积分的性质 对称性 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 和式的极限 曲顶柱体的体积 和式的极限 四 小结四 小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题8 1 P149 习题8 1 P149 1 2 1 3 3 1 3 6 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 1 1 设设D 是第二象限的一个有界闭域 且 是第二象限的一个有界闭域 且 0 y 1 则 则 d 3 1 D xyI d 32 2 D xyI D xyI d 3 2 1 3 的大小顺序为 的大小顺序为 213123 312321 IIIDIIIC IIIBIIIA 提示提示 因 因 0 y 1 故 故 2 1 2 yyy D 故在故在D上有上有 0 3 x又因又因 3233 2 1 xyxyxy y ox 1 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 证明 证明 2d cossin 1 22 D yx 其中其中D 为为 10 10 yx 解 解 利用轮换对称性 有利用轮换对称性 有 d cossin 22 D yx d cossin d cossin 2 1 2222