哥德巴赫猜想(A)的三种证明方法.doc

哥德巴赫猜想（A）的三种证明方法一、什么叫哥德巴赫猜想？对哥德巴赫猜想的证明目前取得了怎样的进展？公元1742年6月7日，哥德巴赫先生(Christian . Goldbach)给著名数学家欧拉先生(Leonhaard . Euler)写了一封信，说他感到有两个问题可能是对的：A、每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和。B、每一个不小于9的奇数都是三个奇素数的和。这就是著名的哥德巴赫猜想，数学界分别称上面两个猜想为猜想（A）、猜想（B）。欧拉先生1742年6月30日给哥德巴赫先生回信说：“我认为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。”欧拉先生是全世界闻名的大数学家，在当时就非常有名。两百多年来，人们积累了许多实际的数据，证明哥德巴赫先生这两个猜想都是正确的。但是，迄今为止，国内外历代数学家对这两个猜想的证明仍然没有取得突破性进展。因此，哥德巴赫猜想仍然被世界数学界公认为是世界数学难题之一，也被称为是“数学皇冠上的明珠”，全世界数学家们都以摘取这个明珠为荣，都在为此而努力奋斗。为了简便，哥德巴赫猜想（A）在本文中将简称为猜想（A）。到目前为止，国际数学界公认的研究猜想（A）的最新成果是：1966年，中国著名数学家陈景润先生证明了每一个充分大的偶数都等于一个素数加上一个不超过两个素数乘积的复合数的和，这就是著名的“1+2”的陈氏定理。我认为，“1+2”其实和猜想（A）没有任何关系，在“1+2”和“1+1”之间还有一条无法跨越的鸿沟，它只是数学家企图用殆素数法证明猜想（A）的顶峰成就而已。所谓殆素数，就是素数因子的数量限制在一定范围内的复合数，例如6=23，6就是含两个素因子的殆素数，简称“2”。数学家最初得到的结果是“9+9”，然后经历了“7+7”、“6+6”、“5+5”、“4+4”、“3+4”、“3+3”、“2+3”、“1+5”、“1+4”、“1+3”、“1+2”的漫长过程，数学家们原来以为可以通过逐步减少加号两边的数字，最后能得到“1+1”的满意结果，但是，连陈景润先生自己都无法超越自己，说明这条路根本走不通。我认为，到目前为止，研究猜想（A）的最新成果应该是1922年哈代先生（Hardy）和李特伍德先生（Littlewood）提出的猜想式（D）（见“王元论哥德巴赫猜想”P138）：（D）、=2（1+0(1)），当。猜想式（D）是符合猜想（A）的素数对数量的计算公式，式中的单竖线表示后面的数能够被前面的数整除。猜想式（D）正确吗？我国著名数学家潘承洞先生曾经在1981、1982年用两种方法对猜想式（D）进行了证明（见潘承洞文集P291、310）。潘先生的证明也许是很有道理的，但是，实践是检验真理的唯一标准，根据我的验算，猜想式（D）与实际数据完全不符，所以，我认为猜想式（D）是不正确的。我认为，猜想式（D）的系数2应该为1才是正确的。虽然猜想式（D）不很正确，但是，我仍然认为猜想式（D）比离题万里的殆素数法的所有成果都高出万倍以上。另外，还有一个比较重要的研究成果，就是由贝尔赛格筛法得到的两素数之和的上界公式：（见“王元论哥德巴赫猜想”P429430）（1+0(1)），此处。此公式与哈代等先生1922年猜想式（D）类似，但是其系数高达16，实在大得离谱。数学家们后来把系数变为8，陈景润先生又将系数变为7.8342。据数学家说，要想把系数再进一步减少是极其困难的，说明贝尔赛格筛法的这条道路也是不正确的思路。二、猜想（A）的实质是素数的对称性猜想(A)的原意是：任何一个不小于6的偶数都等于两个素数的和，即2N= S1 +S2。目前，数学界认为1不是素数，因为1虽然符合素数的定义，但是它破坏了自然数分解的唯一性定理。数学家的看法的确有道理，但是，我认为在证明猜想（A）时可以把1看作是一个特殊的不作为、不起作用的滥竽充数的素数。我们做了这样的规定以后，猜想（A）就可以扩大到任何偶数都等于两个素数的和，因为2=1+1，4=1+3。设S1、S2是符合猜想（A）一对素数，即S1+S2=2N。设S1S2，且S1=NS，则S2=2NS1=N+S，两个素数可写为S=NS，所以，S1、S2就是以N为对称点的一组对称的素数对。特殊地，如果2N=2S，则此时偶数2N可等于两个相同素数S的和。通过以上的数学变换，所以，我认为猜想（A）的实质就是素数的对称性，即除1以外的任何自然数N的上下两端都必定存在着至少一个对称的素数对子的特性。按照这个思路，我们是否应该证明在自然数N和2 N之间必须至少有一个素数存在，而且这个素数又必须巧妙地和比N小的某素数以N为对称，如果这样证明就太难了。当然，在2 N8时，N=1、2、3、4，因为此时只有素数2可以排除复合数4、6，此时偶数的1和奇数的2都是素数，所以，此时的偶数4、6、8都符合猜想（A），此时是很好证明猜想（A）的，但是，自然数很大时就不好直接证明了。我下面将用三种方法证明猜想（A），我认为方法都是正确的，请大家不吝赐教。三、猜想（A）的第一种证明方法在自然数N两端存在的对称自然数对子总共有N对：0，2N；1，2N1；2，2N2；3，2N3；4，2N4；N，N，每组对子两个自然数的和都等于2N。我们的任务是证明任何自然数N两端必定存在着至少一个对称的素数对，或者证明在上面N个对称的自然数对子中至少存在一个Sk，（2NSk）型的素数对子。我们设1，2N是我们研究的自然数区间，我们设Sm是小于的最大素数，还假定所有参加排除的m个素数2=S1SkSm已预先确定。我们将使用逐次排除法证明猜想（A）。所谓逐次排除法，就是严格按照从小到大的顺序，用m个素数2=S1SkSm对1，2N区间的复合数逐次进行排除的方法。每轮素数Sk都只排除含素数Sk因子的复合数，例如，素数2只排除自然数中的偶数，素数3只排除奇数中的3的倍数，所以，逐次排除法绝不进行重复排除。这里，我要说一下数论中同余的概念：所谓同余，设，若，则称为模，同余于模，记作，是对模的剩余（即是除以的余数）。同余类就是如果某些自然数除以某一个数时的余数相同，我们就说这些自然数是的同余类。这里，按照除数和余数的不同，我们可以把所有自然数分成某数的若干个同余类，这样的同余类总共有个。例如，3、8、13、18除以5的余数都是3，这几个数就是5的3同余类，5的同余类总共有0、1、2、3、4等五种。特别说明，如果一个数是某数的0同余类，就表示这个数是0或是某数的整数倍。我首先从同余的角度证明“任何一个奇数都等于两个素数的和”的说法是错误的。因为，从同余的角度，奇数是2的1同余类，偶数是2的0同余类。所以，要使两个自然数的和是一个奇数，这两个数必然一个是奇数，一个是偶数，两个奇素数的和不可能是一个奇数。因为，只有一个偶素数2，所以，只有极少数的奇数可以等于两个素数的和，如13=2+11，15=2+13等，绝大多数的奇数都不可能等于两个素数的和。我们这里当然不是为了研究上面的这个问题，我们的目的是要从中得到启发：两个自然数相加时，如果和数（2N）和其中一个加数是某素数Sk的同余类，则另外一个加数必然是Sk的0同余类（就是含Sk因子的复合数）。反之，如果和数（2N）和任何一个加数都不是素数Sk的同余类，那么，这两个加数都一定不含Sk的因子。还要指出，如果和数（2N）含某素数Sk的因子，则所有含Sk因子的复合数都会相互组成对子，因为，0和2N都是Sk的0同余类，它们到含Sk因子复合数的距离应该相等。反之，如果和数（2N）不含某素数Sk的因子，则所有含Sk因子的复合数都不会相互组成对子，此时，它们都应该和Sk的非0同余类的自然数组成对子。因为2N是偶数，所以，此时一定是偶数和偶数组成对子，奇数和奇数结成对子。我们下面将对1，2N区间的N个和为2N的自然数对子进行排除，当我们把全部含复合数的对子都排除掉后，最后剩余下的对子就一定是真正的素数对。必须指出，这个工作是有限度的，只进行到参加1，2N区间排除的最大素数Sm参加排除为止。本来，逐次排除法应该直接排除自然数对子里的复合数。但是，我们在这里也可不直接排除自然数对子中的复合数，而是先排除对子中被复合数牵连的数。这个被牵连的数很可能是真正的素数，但是，此时和它结对子的数一定是复合数，所以，排除被牵连的自然数（包括素数）并不是不排除对子里的复合数，实际上是把它们同时排除掉了。我们首先用素数2对1，2N区间的和为2N的自然数对子进行排除。此轮排除把偶数对子全部排除掉，所有的奇数对子都保存下来，剩余的奇数对子的数量占1，2N区间自然数对子总数量的1/2。当2N8时，Sm=2，排除只进行到素数2为止，剩余的对子都是素数对。所以，偶数4、6、8都分别有符合猜想（A）的素数对子：1、3；1、5，3、3；1、7，3、5。下面，我们进行素数3对自然数对子的排除：我们知道，自然数中的奇数按照3的同余关系可以分为3的0同余类、3的1同余类、3的2同余类等三个系列，写成数学公式，则是：3系列（6+3），展开式为3、9、15、21、27、33、39、等；1系列（6+1），展开式为1、7、13、19、25、31、37、等；5系列（6+5），展开式为5、11、17、23、29、35、41、等。则我们知道，在逐次排除法中，素数2、3排除后，今后自然数中的所有素数都只能存在于1系列（6+1）和5系列（6+5）这两大系列的无穷系列里。顺便指出，1系列是素数3的1同余类，5系列是3的2同余类。当2N是素数3的1同余类时，我们应该把小于2N的1系列全部排除掉，因为，此时和它们结对子的一定是含3因子的复合数，即3系列的奇数（但3本身不能排除）。同理，当2N是素数3的2同余类时，我们应该把小于2N的5系列全部排除掉。上面两种情况，我们都把奇数对子总数量的2/3排除掉了，剩余的对子数量占1/3。当2N含素数3的因子时，则此时3系列的复合数一定互相结成对子，我们这时直接排除它们，此时整个1、5系列全部都保留下来，这时剩余的奇数对子的数量占2/3。当2N24时，Sm=3，排除只进行到素数3为止，最后剩余的都是真正的素数对。例如，2N=16是3的1同余类，此时应该排除1系列的1、7、13，剩余的3、5、11可以组成两个素数对，即16=3+13=5+11（素数3使13复活了）。由此可见，排除后剩余的每个奇数都可相互组成素数对，所以，此时结成的素数对的数量大致是剩余的奇数数量的二分之一。下面是素数5参加排除。与素数3参加排除类似，当2N是5的非0同余类时，在上轮3 排除剩余的对子中的2N的同余类的奇数应该被排除掉（对子中含素数5因子的复合数也同时被排除掉了）。在上轮排除剩余的对子中，一定有素数5的5个同余类，从统计规律来看，每个同余类的数量应该大致相等，此时排除的对子大致应该占2/5，剩余的对子大致应该占3/5。当2N是5的0同余类时，则含素数5因子的复合数必然相互结成对子，它们同时被排除掉，此时排除的对子大致应该占1/5，剩余的对子大致应该占4/5。素数7参加排除时，当2N是7的非0同余类时，上轮排除剩余的对子中的2N的同余类的奇数应该被排除掉（对子中含素数7因子的复合数也同时被排除掉了）。在上轮排除剩余的对子中，一定有素数7的7个同余类，从统计规律来看，每个同余类的数量也应该大致相等，则此时排除的对子大致应该占2/7，剩余的对子大致应该占5/7。当2N是7的0同余类时，则含素数7因子的复合数一定相互结成对子，它们同时被排除掉，此时排除的对子数量大致应该占1/7，剩余的对子数量大致应该占6/7。当2N120时，Sm=7，此时，排除只进行到素数7为止，我们举2N=100、106（N是素数）这两个偶数为例，看一下此时自然数N两端的素数对是如何生成的。2N=100，奇数对共包括50个奇数，100是3的1同余类，素数3排除了1系列的1、7、13、19等17个数，包括伙伴共33个奇数（3没有被排除），占2/3，剩余17个；100是5的0同余类，含5因子的复合数相互组成对子，素数5排除 5、95，35、65，剩余13个；100是7的2同余类，7又应该排除23、77这一对。此时，剩余的11个数组成2N=100的素数对6对：3、97，11、89，17、83，29、71，41、59，47、53。2N=106，奇数对27对含53个奇数，106是3的1同余类，素数3排除1系列及其伙伴总共18对34个奇数（伙伴中3和5不能被排除），剩余5系列的奇数19个；106是5的1同余类，素数5排除11、41、71、101总共4对8个奇数，剩余11个；106是7的1同余类，素数7排除7的1同余类29、77这1对，剩余9个数组成了2N=106的素数对子有6 对：3、103，5、101，17、89，23、83，47、59，53、53。，以后的各轮排除情况就不一一叙述了，都与前面的情况完全类似。总之，在1，2N区间的和为2N的自然数对子中，经过我们的逐次排除，最后把含复合数的对子全部排除掉，剩余的都是真正的素数对子。而且，随着2N的不断增大和排除工作的不断进行，和为2N的素数对或自然数N两端的对称素数对也不断地产生了。自然数N两端的对称素数对的数量DS的计算（1，2N区间有奇数对子N/2对）。我们注意到，当2N含素数Sk的因子时，此轮排除的对子占上轮排除剩余的对子的1/Sk，而当2N不含素数Sk的因子时，此轮排除的对子占剩余的对子的2/Sk，所以：DS =（N/2）（1J/3）（1J/5）（1J/7）（1J/Sk）（1J/Sm） （1）在公式（1）里，我们用（J/Sk）公式表示两种不同情况。设2SkSm，我们规定：当2N是Sk的倍数时，公式（1）里的J=1；当2N不是Sk的倍数时，J=2。还要再次明确，公式（1）的Sm是参加1，2N区间逐次排除的最大素数。在公式（1）中，当2N8时，此时只有素数2参加排除，所以，此时DS = N/2。在2N8以后，当 N为素数时DS =（N/2）（12/3）（12/5）（12/7）（12/Sm） （2）公式（2）可改写为公式（3）：DS= （3）公式（3）是公式（2）的简化写法，式中那个形符号是表示连乘的意思。当N不是素数时，计算自然数N两端的对称素数对数量DS时还应该有放大系数FD。 （4）注意：公式（4）的条件是N能被Sk整除和2SkSm。则，任何自然数N两端的对称素数对的数量DS的公式是：DS= （5）当然，公式（1）或（5）都是建立在逐次排除法中每轮排除产生的所有剩余的奇数数的同余类的分布是相对均匀这个判断的基础上的，由于这些同余类的分布只是相对均匀，所以，按公式（1）、（5）计算时，必然会产生一些计算误差。2004年7月，我研究猜想（A）首次取得突破时，最先研究2N=10000，根据公式（5）计算，此时DS=127.65，实际值为127对，计算误差极小，我当时非常高兴。后来，我较详细研究了5000以内自然数N两端的对称素数对的实际情况。由于自然数是在素数和非素数间不断变化的，所以，随着N的变化，DS实际值的变化是非常大的，一个较小的自然数两端的素数对的数量，有时可能会比一个较大的自然数两端素数对的数量大得多，有时甚至可以大几倍。如2N=2310，DS的计算值为104.63，实际值为114；而在较大的2N=2326，DS的计算值仅为29.63，实际值仅为35。由此可见，虽然有些误差，但上面得出的DS的计算公式（5）应该是基本准确的。但是，公式（5）的计算工作量仍然比较大，特别是，当N趋于无穷大时，我们将无法按公式（5）直接计算出自然数N两端对称素数对的总数量DS。我们知道，猜想（A）最难证明的是当2N趋于无穷大时的情况，很多人都觉得既然那时的素数在自然数中的分布已经非常稀少，就很难保证每个素数复合猜想（A）。所以，关键的是我们应该把自然数N两端对称素数对总数量DS的变化规律搞清楚，所以，我们下面要研究自然数N两端对称素数对数量DS的理论下限值。我们以N为素数时DS的计算公式（2）为基础，通过整理，可得到公式（6）：DS=（N/2）（/）（1/3）（3/5）（5/7）（Sm-12）/Sm-1（Sm2）/Sm=（2N）/（4）（3/3）（5/5）（9/7）（11/11）（Sm2）/Sm-1（/Sm）=Kd（/4） （6）（6）式中，Kd =（3/3）（5/5）（9/7）（11/11）（Sm2）/Sm-1（/Sm） （Sm2）Sm-1，Sm，所以，Kd式中每一项因式的值都等于或大于1。由此可见，Kd1。实际上，Kd的值随着Sm的增大而越来越大，当2N=10000、Sm=97时，Kd=3.8297。因为N为素数时DS的计算值是最少的，所以，可认为 DS/4 （7） 公式（7）说明，/4就是自然数N两端的素数对数量DS的理论下限值。公式（7）还告诉我们，自然数N两端对称素数对的数量总体上说是一个随N的增大而增大的一个增函数。因此，当自然数N趋于无穷大时，不仅不会像大家担心的那样N两端没有对称素数对存在了，而是其对称素数对的数量那时将会趋于无穷多组。结论：对于任何一个自然数N，不管这个N有多大，不管N的性质有多复杂，N两端对称素数对的实际数量都必定大于/4，这个结论对任何自然数都是正确的。综上所述，我认为，我已经基本证明了哥德巴赫猜想（A）。因为，对于证明猜想（A）来说，自然数N两端只要有一个真实的对称素数对就可以了，即只要DS1就足够了，DS的理论下限值/4就足以保证实现这个目标。从另外一个角度，我们在用逐次排除法寻找自然数N两端的素数对的过程中，素数2、3、5、7等四大高手一次排除的对称自然数对子数量最多、比例最大，随着素数的增大，素数排除的对称自然数对子的数量和比例都越来越小。并且，关键的是，从素数2开始的每一轮排除，都没有也不可能把自然数N两端所有的对称自然数对子斩尽杀绝，最后能够保留下来的就一定是真正的对称素数对，这就有力地证明了猜想（A）。可能有人会问，猜想（A）的证明难道就这么简单吗？这怎么可能呢？但是，牛顿三大定律不也是非常简单吗？难道非要得出一个谁也看不懂的高深莫测的公式才算证明了猜想（A）吗？潘承洞、潘承彪先生1988年在“素数定理的历史”一文中说：“要发现巧妙的有用的初等关系，往往需要天才的机智，比发现高深的关系困难得多。”（见“潘承洞文集”P378）我认为，不管是谁，如果他能用最简单的办法证明哥德巴赫猜想（A），都应该受到称赞和表扬。我想，我们的任务是发现客观规律而不是去创造客观规律，这个规律究竟简单或是复杂，是由客观规律本身的特性决定的，不是我们可以预先规定的。这里，问题的关键不在于方法和公式是否简单与否，问题的关键在于它们的正确性，在于它们是否符合客观规律。众所周知，实践是检验真理的唯一标准，如果大量实践证明某个公式是基本正确的，那么，该公式的正确性就不容置疑。 四、直接从素数中用逐次排除法寻找自然数N两端的对称素数对前一节我们研究如何用逐次排除法在自然数中寻找自然数N两端的对称素数对，这一节的任务则是用逐次排除法直接从已有的素数中寻找自然数N两端的对称素数对。我们假定1，2N区间内的素数已经全部产生，区间内有M个奇素数，设Sm是小于的最大素数，参加1，2N区间排除的m个素数是2=S1SkSm。我们的任务就是从1，2N区间内M个奇素数中找出2N的符合猜想（A）的素数对。我们知道，在1，2N区间内的每个奇素数都有可能组成2N的符合猜想（A）的素数对，写成通式是2N Sk （2NSk），式中Sk表示区间内的任何一个奇素数。这样的通式共有M个，每个通式都可能是2N的一个符合猜想（A）的素数对，但是，这些通式中肯定有很多不是2N符合猜想（A）的素数对。我们的任务就是要把这些不符合猜想（A）的含有复合数的对子全部排除掉，那么，我们此时又该如何进行排除呢？我们仔细看一下通式2N Sk（2NSk），通式中的 Sk 已经是奇素数了，这一项当然没有问题，但是，（2NSk）这一项呢？它的问题就多了，它很可能不是素数。显然，此时最关键的任务是找到通式中的是素数的（2NSk）项。但是，非常麻烦的是：（2NSk）这一项的分布规律很复杂，我们很难对它们进行直接排除。这里，我们仍然要使用上一节用过的牵连排除法，把眼光放在2NSk（2NSk）中的 Sk 这一项，我们这时就是要在鸡蛋里挑骨头，要寻找Sk这一项此时还可能存在的问题，并且，我们还真要把这个有问题的素数Sk连同它们的对子一起排除掉。这里，我们把这个必须排除掉的素数Sk称作“伪复合数”或者“陈素数”，而在全部排除完成后剩余下的素数则叫“新素数”，之所以这样叫，取“推陈出新”之意也！所谓“陈素数”，并不是它们本身有什么问题，他们本身没有任何问题，但是，此时的（2NSk）项一定是一个复合数（其中2NSk等于参加该轮排除的素数时除外）。所谓“新素数”，就是在一个1，2N区间的所有排除完成后最后剩余的素数，此时，“新素数”Sk和（2NSk）就一定是偶数2N的一对符合猜想（A）的真正的素数对。则，我们把1，2N区间的“陈素数”全部排除掉以后，只要还剩余有一个真正的“新素数”，它们都会组成自然数N两端的一个符合猜想（A）的真正的对称素数对。因为素数2对于奇素数不起作用，所以，我们首先就进行素数3的排除：我们知道，自然数中的所有奇素数都只能存在于1系列（6+1）和5系列（6+5）这两大系列里，而1系列是素数3的1同余类，5系列是3的2同余类。当2N是素数3的1同余类时，我们应该把1，2N区间的M个奇素数中属于1系列的素数全部排除掉，因为，虽然此时1系列的每个素数Sk都是货真价实的素数，但是，此时和它们结对子的数（2NSk）一定是含3因子的复合数（2NSk =3除外）。同理，当2N是素数3的2同余类时，我们将把1，2N区间内的5系列素数全部排除掉，因为，此时的（2NSk）也一定是含3因子的复合数（2NSk=3除外）。从统计规律来看，所有素数中的1系列和5系列的数量应该大致相等，所以，上面这两种情况在排除了区间的“陈素数”后，剩余的素数数量大致是M/2。当2N是3的0同余类时，此时只能排除素数3，几乎相当于此轮排除没有进行。当2N24时，Sm=3，排除只进行到素数3为止，此时剩余的素数就是“新素数”，每个“新素数”都可组成真正的素数对，当然，此时它们组成的素数对是有重复的。我们试看一下2N分别等于20、24时的情况，它们此时的M分别等于8和9。2N=20时，5系列的5、11被排除（此时17的对子是3，不能排除），剩余6个“新素数”1、3、7、13、17、19，可以组成偶数20的3个素数对：20=1+19=7+13=3+17。2N=24时，只排除了素数3，剩余的8个“新素数”是1、5、7、11、13、17、19、23，它们可组成偶数24的4个素数对：24=1+23=5+19=7+17=11+13。下一轮是素数5参加排除。在前轮素数3排除后剩余的素数中，一定会有素数5的4个非0同余类，从统计规律来看，每个同余类的数量也应该大致相等，即各占剩余的素数数量的1/4。当2N是5的非0同余类时，此时和2N相同的5的同余类的素数将被排除，则此时排除的“陈素数”大致应该占素数数量1/4，此轮排除剩余的素数大致应该占3/4。当2N是5的0同余类时，此轮排除只排除掉素数5，几乎相当于没有排除。素数7参加排除时：与素数5参加排除类似，当2N是7的非0同余类时，上轮排除剩余的和2N相同同余类的素数将被排除掉。上轮排除剩余的素数中，一定有素数7的6个非0同余类，从统计规律来看，每个同余类的数量也应该大致相等，即各占剩余的素数数量的1/6，则此时排除的“陈素数”大致应该占1/6，此轮排除剩余的素数大致应该占5/6。当2N是7的0同余类时，此轮排除只排除掉素数7，几乎相当于没有排除。当2N120时，Sm=7，素数7的排除就是最终排除，我们举2N=100、102这两个偶数为例，看看自然数N两端的素数对此时是如何生成的。2N=100，总共有25个奇素数，100是3的1同余类，素数3排除了全部的1系列素数1、7、13、19、31、37、43、61、67、73、79共11个（此时97不能排除），大约占1/2，剩余14个素数；100是5的0同余类，此时只排除了素数5，剩余13个素数。100是7的2同余类，此时又应该排除5系列中的23，最后剩余12个“新素数”，它们组成2N=100的素数对6对：3、97，11、89，17、83，29、71，41、59，47、53。2N=102，总共有26个奇素数，素数3只排除了素数3，剩余25个素数；102是5的2同余类，则5的2同余类的7、17、37、47、67等5个素数（此时97不能排除）排除4，剩余20个素数；102是7的4同余类，素数7排除它的4同余类11、53两个素数，剩余的18个“新素数”组成了2N=102的素数对总共9对：1，101，5、97，13、89，19、83，23、79，29、73，31、71，43、59。，以后的各轮排除情况就不一一叙述了，都与前面的情况完全类似。总之，对于任何偶数2N，只要在1，2N区间内至少有一个“新素数”存在，那么，这个偶数就必然有符合猜想（A）的素数对，这个结论在偶数很小时很好证明。例如，当偶数2N8时，此时素数3没有参加排除，则此范围内的所有偶数的下面都有“新素数”，最小的偶数2下面是1，所以2=1+1，4的下面是1、3，6的下面是1、3、5，8的下面是1、3、5、7，所以，所有的偶数都有符合猜想（A）的素数对。在102N24时，虽然增加了素数3的排除，但是3最多只能排除掉1系列或5系列中的一个系列，总能保留下一个系列的素数，偶数下面都至少有一个“新素数”。最危险的是2N=10时，素数3排除掉1系列的1（7这里不能被排除），剩余3、5、7三个“新素数”，所以，偶数10有两个符合猜想（A）的素数对3+7和5+5。在偶数大于10时，1系列或5系列的素数都不小于2个，偶数下面有一个“新素数”更没有问题。这里，说一下素数3，在偶数不是3的倍数时，素数3此时不能排除自己，但是，这并不说明素数3就是永远推不倒的不倒翁。例如2N=28时，虽然素数3不能排除素数3，但是，28是5的3同余类，在素数5排除时，此时立即就把3排除掉了。一般地，在1，2N区间的所有排除完成以后，产生的“新素数”每两个形成一个素数对。所以，当N是素数时，自然数N两端的对称素数对数量DS的计算公式是：DS（M/2）（11/2）（11/4）（11/6）1/（SK1）1/（ Sm1） （8）还可把公式（8）改写为公式（9）：DS （9）但是，对于任何偶数来说，仍然应该有放大系数则 DS （10）根据公式（10），我们实际计算一下2N=100、102、10000时的素数对数量：2 N =100时，DS=（25/2）（11/2）（11/6）=5.2，实际值是6对。2 N =102时，DS=（26/2）（11/4）（11/6）=8.125，实际值是8对。2 N =10000时，DS=（1229/2）（11/2）（11/6）=130.397，实际值127对。由此可见，实践证明公式（10）是基本正确的。显然，我们根据公式（10）计算自然数N两端的对称素数对的数量DS，已经有一定的准确度了，应该说公式（1）基本解决了猜想（A）提出的问题。前面说过，在偶数小于25的时候，用本节的方法证明猜想（A）是非常简单的。自然数比较小时，虽然小素数排除掉的“陈素数”的比例非常大，但是，此时参加排除的素数不多，1，2N区间内一定能够剩余“新素数”，猜想（A）也肯定成立。在偶数趋于无穷大时，参加1，2N区间排除的素数非常多，但是，此时排除“陈素数”的主力仍然是小素数，其中，素数3一次可排除全部奇素数的1/2，素数5接着可排除3排除后剩余的素数的1/4，在3、5、7、11四个素数排除后，全部奇素数只剩下（1/2）（11/4）（11/6）（11/10）9/3228.125%，还不到30%。素数比较大时，它们排除的“陈素数”所占比例是非常小的。例如，超过100的素数排除“陈素数”的比例不到剩余的素数的百分之一，超过1万的素数排除“陈素数”的比例不到剩余的素数的万分之一，超过1亿的素数排除“陈素数”的比例不到剩余的素数的亿分之一， ，总之，素数越大，排除的“陈素数”占剩余的素数的比例越小。当偶数趋于2N无穷大时，在一个特大1，2N区间内，众多特大素数排除“陈素数”的比例都非常小，它们都只能排除掉剩余的素数中极其微小的部分，把绝大部分保留下来，它们都不可能把所有剩余的素数全部排除，所以，此时的猜想（A）也肯定成立。五、用统计规律的方法再证明猜想（A）这种方法将不排除任何复合数，而是直接用已经存在的素数来证明猜想（A）。我认为，猜想（A）之所以是正确的，是因为自然数中有足够多的奇素数，因为任何两个奇素数相加都等于一个偶数，所以这些奇素数能够组成的偶数的数量非常多，能够充分保证猜想（A）对于任何一个偶数2N尤其是特大偶数甚至无穷大偶数都成立。我们仍然设1，2N区间内有奇素数M个，M=(2N)1。我们知道，M个奇素数两两相加可以组成的所有偶数的数量是：=M（M1）/2，再加上我们规定每个奇素数自身相加还可以组成1个偶数，则M个奇素数可以组成的偶数的总数量是：+MM（M1）/2+MM（M+1）/2 （11）公式（11）的计算方法就是1，2N区间内奇素数的序列号（这里设素数1的序列号为1）进行累加。我们知道，大家非常熟悉的世界三大数学家之一的高斯先生，少年时就会进行这样巧妙的累加数的计算，为了纪念这位伟大的数学家，我建议把根据公式（11）计算出的由1，2N区间的素数能够组成的偶数的总数量G S叫做高斯数。公式（11）无疑是完全正确的。那么，M个奇素数组成的GS个偶数到哪里去了呢？设为1，2N区间内的一个自然数，则GS个偶数中的任何一个，都一定是2，4N范围内的某一个偶数2。我们知道，当偶数22N时，2的所有素数对都是 1，2N区间内的素数；当偶数22N时，偶数的素数对，一部分可由1，2N区间内的素数组成，另一部分则可以是大于2N的素数，例如，108=103+5；160=157+3等。所以，理论上1，2N区间的所有素数可以组成2到4N的所有偶数，但是，它们组成接近4N的偶数的数量不多，例如，它们不可能组成偶数4N。所以，这GS个偶数并不是均匀分布在1，4N区间内的每一个偶数上，而是靠近2N附近的偶数比较密集，靠近1，4N区间两端的偶数则比较稀少，这和概率论中的正态分布曲线有些类似（这里=N）。2N=100时，由1，2N区间内的奇素数组成的偶数2（2=24N）的数量表2246810121416182022242628数量1122223233343223032343638404244464850525456数量4344335446436325860626466687072747678808284数量47456357657559286889092949698100102104106108110112数量5410457468446442114116118120122124126128130132134136138140数量633722623432332142144146148150152154156158160162164166168数量332141132121122170172174176178180182184186188190192194196数量11011000100010说明：1、 大于196的偶数198和200的数量都是0而且一定是0。2、 大于100的偶数数量逐渐稀少，是因为大于100的素数没有参加组成这些偶数。显然，上表的数据证明由1，2N区间内的奇素数形成的GS个偶数的分布是两头小、中间大的规律是完全正确的。这里，我们将这GS个偶数均匀分布到区间1，4N内的每一个偶数上（共2N个），并且，我们以它们的平均值作为组成偶数2N的素数对的数量DS。 则 DS= GS/2N=M（M+1）/4N （12）那么，公式（12）正确吗？答案是肯定的，因为它符合客观实际。例如，2N=100时，有奇素数25个，DS 25262003.25。就是说，这25个奇素数总共可以组成325个偶数，则从2到200，平均每个偶数的数量为3.25个，100的素数对实际值为6。当然，如果N包含若干大于2且小于的素数因子，N两端的对称素数对的数量DS还应该有放大系数FD，考虑放大系数以后DS的计算公式如下：DS （13）公式（13）的部分计算值和实际值如下：2N=100，DS4.33，实际值6；2N=1000，DS18.9，实际值28；2N=2310，DS90.80，实际值114；2N=2326，DS25.51，实际值35；2N=9998，DS75.59，实际值98；2N=10000，DS100.77，实际值127。由此可见，公式（13）是基本正确的，而且，我认为计算值可能都小于实际值。但是，对于一个特大的1，2N区间，一个最大的困难是，我们此时并不知道区间内素数数量的实际值M，我们此时无法按公式（13）进行计算。况且，我们现在的任务是证明猜想（A），这个任务并不要求公式（13）计算非常准确，我们此时最关心的是证明任何偶数都至少存在一对符合猜想（A）的素数对。应该说，在偶数比较小的时候，用公式（13）来证明猜想（A）不是很得力，因为此时的计算值都比较小，例如2N10时计算值为1，此时说服力不是很强。我认为，在偶数比较小的时候，我们使用上一节的方法证明猜想（A）会更好一些。但是，上一节的方法在证明趋于无穷大的偶数是否符合猜想（A）时也遇到了问题。上一节的方法是逐次排除1，2N区间的素数中的“陈素数”，我认为一个特大的1，2N区间的所有素数绝不可能全部都是“陈素数”，那时一定会剩余下至少一个“新素数”，使趋于无穷大的偶数也符合猜想（A）。虽然我认为理由也非常充分，但是，那个排除总是使剩余的素数的数量越来越少，我认为很可能还是无法全部打消大家心中的疑虑。这里，我们暂时不考虑放大系数，先根据公式（12），研究N为素数时，组成偶数2N的素数对的数量DS的变化规律。根据举世公认的素数定理(2N)M，我们可得出下面的公式：DSM（M+1）/4N （14）2N100时，根据公式（14）计算，DS2.36，比公式（12）的计算值3.25小。根据公式（14），设偶数为（4N2），此时M 1NM，代入公式（14），DS1（N /2）DS （15）从公式（15）知，偶数（4 N2）的素数对的数量是偶数2 N素数对的（N/2）倍。公式（15）说明，偶数包含的素数对的数量是自然数N的一个增函数。例如，根据公式（12），偶数100的素数对是3.25，为了好计算，我们取此时素数对的数量为3.2，则，根据公式（15），偶数1万的素数对的数量是3.22580，偶数1亿的素数对的数量应该是80250020万，偶数1016的素数对的数量应该是20万2500万5000万亿，偶数1032的素数对的数量应该是5000万亿的2.51015倍。显然，当2N100时，我们把公式（14）做任何偶数2N的素数对数量的理论下限值应该是非常正确的。而且，对于猜想（A）来说，我们只需要证明出DS1即可，我认为，公式（14）已经完全达到了证明猜想（A）的目的。当然，大家心中的疑虑肯定没有完全打消，特别是，当自然数N趋向无穷大时，那时素数那么稀少，你能保证那时的特大偶数还一定能够符合猜想（A）吗？我认为，大家有这样的担心完全可以理解。因为，当偶数2N无限大时，那时素数的分布的确非常稀少，从理论上讲，两个相邻素数的平均距离趋于无穷大的那一天是一定会出现的，那时，素数在自然数中的比例接近于0，我们那时还能找到合适的素数来组成偶数的素数对吗？大家担心那时的特大偶数就可能不符合猜想（A）了。下面，我要进一步证明趋于无穷大的偶数2N也符合猜想（A）。我们仍然设特大的1，2N区间内有奇素数M个，M=(2N)1，我们下面将用一个较小的(2N)值来计算M个奇素数两两相加可以组成的所有的2到4 N偶数的数量。我们知道，与高斯先生同时代的俄罗斯著名数学家车比雪夫先生对(N)素数数量的范围有一个著名不等式：（见潘承洞、潘承彪先生合著的“初等数论”P372）(N)，即0.10034(N)1.80618这个不等式当然是正确的，数学界至今对其正确性也没有任何质疑。只是，我个人认为该不等式中(2N)的误差范围实在太大了，(2N)的理论下限值实在太小了。但是，我这里要以比车比雪夫不等式中这个(2N)理论下限值还小的数值为依据，计算由1，2N区间内的所有奇素数两两相加形成的2到4 N的所有偶数的数量的平均值DSP，并且，用这个平均值DSP作偶数2 N的素数对数量的理论下限值。我们令0.10034(2N)，则， DSDSP= （16）我认为公式（16）是完全正确的。例如，当2N=10000时，理论下限值仅为3.125，实际值是127，此时偶数2N的素数对的实际值大约是这个理论下限值的40倍。所以，我认为，即使按照这个非常小的自然数N两端对称素数对数量的理论下限值，当自然数趋于无穷大时，其两端的对称素数对的数量DS仍然将会随之趋于无穷大。首先，我认为公式（16）计算出的由1，2N区间内所有奇两两相加形成的所有偶数分布在该区间内每一个自然数两端的素数对的数量的平均值DSP是非常可靠的。第一、素数的无限性早已被世界三大数学家之一的阿基米德先生证明出来了，则，不管自然数有多大，那时的素数密度有多小，那时总会有素数存在，大家不必怀疑。第二、素数定理和车比雪夫不等式都被全世界的数学家公认为是正确的，所以，根据它们得出的公式（16）的这个平均值DSP也是不能怀疑的。而且，我们还看到，自然数越大，这个平均值DSP还将越大。例如，根据公式（16）计算，2N=10100时，DSP=51093；2N=101000时，DSP=510991；2N=1010000时，DSP=5109989；2N=10100000时，DSP=51099987；。当偶数2N趋于无限大时，假定那时两个相邻素数的平均距离为（符号叫无穷大，这里把当作一个有限值进行计算，否则没法说清楚它们的数量关系），根据车比雪夫不等式计算，此时的偶数2N100.1（10的0.1次方），那时的1，2N区间是一个超级特大区间，区间内素数的数量非常巨大，此时，DSP100.1（2）（说明：分子是无穷大平方的2倍）。所以，随着1，2N区间的越来越大，按照公式（16）计算得出的由该区间的所有素数组成的从2到4 N的所有偶数的总数量和它们的平均值DSP都会越来越多。在偶数2N趋于无穷大时，由1，2N区间的素数组成的从2到4 N的所有偶数的总数量也随之趋于无穷多，而且，组成的每个偶数都是货真价实的两个奇素数的和。从2到4 N的偶数它们会怎样分配由1，2N区间的素数组成的所有偶数的总数量这个巨大的蛋糕呢？我认为，组成的每个偶数的数量或每个偶数能够分配到的总数量的份额取决于偶数所处的位置和它们自己获取素数对的能力。前已说过，此时形成的从2到4 N的偶数的分布总的是两端少中间多。因为，最前面的2、4、6、8为代表的比较小的偶数的素数对数量本来就不多，所以，它们能够分配的份额非常小。而靠近4 N那一端的偶数，虽然它们很大，但是，1，2N区间的素数比它们又小得多，这些素数能够组成的靠近4 N那一端的偶数的数量及所占份额同样非常少，例如，偶数4 N的数量为0，偶数（4 N2）最多有一个素数对。所以，总数量的大部分的份额都被靠近2N那一带的偶数占据了。我们由此得到第一个结论：靠近2N那一带的偶数，其中绝大多数都有很多符合猜想（A）的素数对，因为，如果不是这样的话，我们要问，那时如此众多的由素数对形成的