中学数学解题方法研究.pdf

收稿日期 2006 06 10 作者简介 詹扬 1976 女 广东揭阳人 从事代数的教学与研究 中学数学解题方法研究 詹 扬 揭阳学院 数学与计算机科学系 广东 揭阳 522000 摘 要 就近几年中学数学问题中出现的新型题 如探索题 开放题 建模题 创新题 设计题等作简单的介绍 并归结 出一些求解的方法 关键词 新型题 解题方法 应用 中图分类号 G 633 6 文献标识码 A 文章编号 1671 6132 2006 09 0114 05 解数学问题是数学学习的核心内容 而解数学 题首先要解决方法的问题 方法正确 恰当 巧妙 则易使问题得到圆满有效的解决 方法错误 失当 或笨拙 将影响解题效果 甚至裹足不前 下面就现 实的数学学习中 近几年出现的探索题 开放题 建 模题 创新题 设计题等新型数学问题作简单的介 绍探讨 这些问题内容丰富多彩 形式千变万化 而 且立意新颖 思路灵活 处置方法也各不相同 独具 特色 具有参考性 探索性和创造新 1 1 探索题 数学探索题分为条件探索型 结论探索型 规 律探索型 这些都是从问题给定的题设条件中探究 其相应的结论 或从给定的问题要求中探究其相应 的必备条件 解题途径等等 它的鲜明特点是问题 本身具有一定的开放性 其求解的过程中带有较强 的探索性 例1 已知 1 3 a 1 若函数 f x ax 2 2x 1 在区间 1 3 上的最大值为 M a 最小为 N a 令 g a M a N a 1 求 g a 的函数表达式 2 判断函数 g a 在区间 1 3 1 上的单调 性 并求出 g a 的最小值 解 1 因1 3 a 1 所以f x 的图象为开口 向上的抛物线 且对称轴为 x 1 a 1 3 则 f x 有最小值 N a 1 1 a 当2 1 a 3 时 a 1 3 1 2 f x 有最大值 M a f 1 a 1 当 1 1 a 2 时 a 1 2 1 f x 有最大值 M a f 3 9a 5 则 g a a 2 1 a 1 3 a 1 2 9a 6 1 a 1 2 a 1 2 设 1 3 a1 0 则 g a1 g a2 所以 g a 在 1 3 1 2 上是减函数 设 1 2 a1 a2 1 则 g a1 g a2 a1 a2 9 1 a1a2 0 所 以 g a1 b 0 F c 0 为右焦点 B x1 y1 D x2 y2 M x0 y0 弦 BD 的方程为x my c 联立两方程x 2 a2 y2 b2 1 与 x my c 得 m2b2 a2 y 2 2b2mcy b4 0 于是有 y0 y1 y2 2 b2mc m2b2 a2 x0 my0 c a2c m2b2 a2 第 5 卷第 9 期 2006年9月 南阳师范学院学报 Journal of Nanyang Normal University Vol 5 No 9 Sep 2006 由椭圆的第二定义 得 BD c a 2 a 2 c x1 x2 2a 2c2a m 2b2 a2 于是 BD a 2 2c2 m2b2 a2 首先 若四边形 ABCD 为平行四边形 则 C 的 坐标为 2x0 2y0 将其代入椭圆方程并化简得 4c2 m2b2 a2 由此可得 BD a 3 2 其次 若 BD a 3 2 则 4c2 m2b2 a2 于是 有 x0 a2c m2b2 a2 a2 4c y 0 b2mc m2b2 a2 b 2m 4c 从而 2x0 2 a2 2y0 2 b2 a2 m2b2 4c2 1 也就是点 2x0 2y0 在椭圆上 且 M 平分AC 故 ABCD 为平 行四边形 2 命题 1 的结论在双曲线中不成立 因四边 形 ABCD 不可能为平行四边形 分析 关于命题 1 的结论在双曲线中是否成 立 这是需要探索的问题 当然 我们也可以考虑 圆 抛物线中的情形 解题后的不断反复思考 是提 升能力的一种好途径 例3 设关于 x 的方程 2x 2 ax 2 0 的两 根为 0 最 小值 f 0 又因 f f 4 所以 f f f f 2 f f 4 当且仅当 f f 2 时取 号 此 时f 2 f 2 所以 4 a 2 1 2 1 2 2 a 2 0 2 由 1 2 得 a 16 a2 0 即 a 0 为所求 注意 利用此题可解答如下类似问题 设关于 x 的方程 2x 2 tx 2 0 的两根为 函数f x 4x t x 2 1 1 求 f 和 f 的值 2 证明 f x 在 上是增函数 3 对任意正数 x1 x2 求证 f x1 x2 x1 x2 f x1 x2 x1 x2 0 所以 x 1 5 当 y 2 25时 x 1 2 5 又因x 0 所以x 2 5 故运动员距离篮球中心水平距离为 1 5 2 5 4 米 分析 此题为建立函数模型题 函数应用问题 涉及的知识层面丰富 解法灵活多变 解答此类问 题 一般都是从建立函数关系入手 将实际问题模 型化或结合函数图象来挖掘解题思路 此外 根据具体的问题 我们还可以建立不等 式模型 统计模型 几何模型 线性规划模型等来帮 助解决问题 4 创新题 数学创新性的试题是指读者没有见过的 问题 情景新颖别致的试题 解答数学创新问题需要具备 数学的素养 数学的视野 开阔的思维 解题的智 慧 有时从特殊情景入手 从反面入手 从简单入 手 从非常规的情景思考 将会找到解题的突破口 例1 一人以 6 米 秒的速度去追停在交通灯 前的汽车 当他离汽车 25 米时 交通灯由红变绿 汽车以1 米 秒2的加速度匀加速开走 那么 A 人可在 7 米内追上汽车 B 人可在 10米内追上汽车 C 人追不上汽车 其间距离最近为 5 米 D 人追不上汽车 其间距离最近为 7 米 解 本题是一道加速行程问题 需要运用物理 现象建立数学模型 即通过加速运动建立二次函数 关系式 若经 t 秒人刚好追上汽车 则 s 25 6t 由 s 1 2 t2 得 1 2 t2 6t 25 0 t2 12t 50 0 考虑距离差 d s 25 6t 1 2 t2 6t 25 1 2 t 6 2 7 故当 t 6 时 d 有最小值 7 即人与汽车最少 相距 7 米 故选 D 分析 本题属于跨学科综合题 要求将物理问 题抽象成数学问题 利用数学工具 通过推理和 计算解决物理问题 例 2 某娱乐中心有如下摸奖活动 拿 8 个白 球和 8 个黑球放在一盒中 规定 凡摸奖者 每人每 次交费 1元 每次从盒中摸出 5 个球 中奖情况为 摸出 5 个白球中 20 元 摸出 4 个白球1 个黑球中2 元 摸出 3 个白球 2 个黑球中价值为 0 5 元的纪念 品 1件 其他无任何奖励 1 分别计算中奖20 元 2元的概率 2 若有 1560 人次摸奖 不计其他支出 用概 率估计该中心收入多少钱 讲解 1 由已知中奖 20 元的概率 P1 C58 C516 1 78 中奖 2 元的概率 P2 C48 C18 C516 5 39 中奖 0 5 元的概率 P3 C38 C28 C516 14 39 2 由 1 知体彩中心收费为 1560元 付出 1560 1 78 20 1560 5 39 2 1560 14 39 0 5 1080 收入 1560 1080 480元 故知中奖 20 元 2 元的概率分别为 1 78 5 39 估 计该中心收入 480 元 分析 此题涉及到概率问题 多数是与生活实 际和生产实际相关联的 5 设计题 涉及方案设计与应用的题目 在数学创新应用 能力方面可谓独树一帜 这里介绍利用方程 组 进 行方案设计的问题 例1 2004 年哈尔滨市 利海 通信器材商 场 计划用 60000 元从厂家购进若干部新型手机 以满足市场需求 已知该厂家生产三种不同型号的 手机 出厂价分别为 甲种型号手机每部 1800 元 乙种型号手机每部 600元 丙种型号手机每部 1200 元 1 若商场同时购进其中两种不同型号的手机 117 第 9 期 詹 扬 中学数学解题方法研究 共40 部 并将 60000 元恰好用完 请你帮助商场计 算一下如何购买 2 若商场同时购进三种不同型号的手机共 40 部 并将 60000 元恰好用完 并且要求乙种型号 手机的购买数量不少于 6部且不多于 8 部 请你求 出商场每种型号手机的购买数量 解 1 设甲种型号手机要购买 x 部 乙种型 号手机购买 y 部 丙种型号手机购买 z 部 根据题 意 得 x y 40 1800 x 600y 60000 解得 x 30 y 10 x z 40 1800 x 1200z 60000 解得 x 20 z 20 y z 40 600 y 1200z 60000 解得 y 20 z 60 不合题意舍去 由此解知 有两种购买方案 2 根据题意 得 x y z 40 1800 x 600y 1200 z 60000 6 y 8 解得 x 26 y 6 z 8 或 x 27 y 7 z 6 或 x 28 y 8 z 4 根据实际情况我们还可以利用不等式进行方 案设计 利用函数性质进行方案设计或者通过计算 比较进行方案设计 有些问题若从正面通过题设条 件顺推 那么关系比较繁乱 容易走入歧途 若从 问题的反面来想 则可以变换思维角度 先考虑反 面的情况 排除反面的情况 从而使情况相对比较 简单 数学具有逻辑的严密性 高度抽象概括的理 论 并大量使用形式化 符号化的语言 学习数学 解决问题的过程是一个思维活动的过程 现代数学 教育强调要进行 问题解决 在解决问题过程中锻 炼思维 提高应用能力 而多年来数学教育片面强 调逻辑思维训练 忽视对观察 实验 想象 猜测等 能力的培养 重视数学解题技巧的演练而忽视学生 的内心活动 情感体验和合作交流 重视对结果的 应用而忽视对过程的探究 导致学生认为数学不过 是一些纯粹的理论和枯燥的运算和证明 没有多少 实际用处 而新型的数学题则是强调了把探索 分 析 思考任务交给学生去完成 这样学习效果远比 传统学习方式来得高效 2 参 考 文 献 1 薛金星 怎样解题 M 北京 北京少年儿童出版社 2003 2 全日制义务教育数学课程标准 M 北京 北京师范 大学出版社 2001 On the solution of mathematical questions ZHAN Yang Department of Mathematics and Computer Jieyang College Jieyang 522000 China Abstract The thesis is a simple presentation about