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差分方程练习题差分方程练习题 1 1 求下列函数的一阶与二阶差分求下列函数的一阶与二阶差分 1 yt 3t2 t3 2 yt e2t 3 yt lnt 4 yt t2 3t 2 2 判断下列微分方程的阶数判断下列微分方程的阶数 1 1 1 230 nn yy 2 2 1 5 nn yy 3 11 4 xxx yyy 4 1 37 nn yy 5 12xxx yxyy 6 11xxx yy y 7 2 13 2 xxx yyxy 3 对下面的差分方程 求出它们的对下面的差分方程 求出它们的 1 X 2 X 3 X 4 X的值 的值 a 1 3 01 XXX nn b 2 35 0 01 XXX nn c 1 0 2 12 1 XXXX nnn 4 4 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解 1 yt 1 2yt 0 2 yt 1 3yt 0 3 3yt 1 2yt 0 5 5 求下列差分方程在给定初始条件下的特解 求下列差分方程在给定初始条件下的特解 1 yt 1 3yt 0 且 y0 3 2 yt 1 yt 0 且 y0 2 6 6 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解 1 yt 1 2yt 3 2 yt 1 yt 3 3 yt 1 2yt 3t2 4 1 15 22 t tt yy 7 7 求下列差分方程在给定初始条件下的特解求下列差分方程在给定初始条件下的特解 1 yt 1 yt 10 且 y0 3 2 yt 1 2yt 2t 且 y0 2 8 8 求下列求下列二二阶常系数线性阶常系数线性齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解或或在给定初始条件下的特解在给定初始条件下的特解 1 21 60 ttt yyy 2 21 690 ttt yyy 3 21 13120 ttt yyy 01 1 6yy 9 9 求下列求下列二二阶常系数线性阶常系数线性非非齐次差分方程的通解齐次差分方程的通解 1 yx 2 3yx 1 2yx 2x 2 21 66 ttt yyy 3 21 698 ttt yyy 答案 1 解 1 23 232 31133 32 t ytttttt 22 3 326 tt yyttt 2 2 1 222 eee 1 ttt t ye 22222222 e 1 1 e e 1 ttt tt yyeee 3 ln 1 ln t ytt 2 ln 1 lnln 2 2ln 1 ln tt yyttttt 4 2 122 1 333 263 ttt t ytttt 22122 3 26332 1 693 263 ttt tt yytttttt 2 3 42430 t tt 2 1 1 2 1 3 2 4 1 5 2 6 2 7 3 3 4 解 1 特征方程为 2 0 特征根为 2 于是原方程的通解为 yt C2t 2 特征方程为 3 0 特征根为 3 于是原方程的通解为 yt C 3 t 3 特征方程为 3 2 0 特征根为 2 3 于是原方程的通解为 2 3 t t yC 5 解 1 特征方程为30 特征根为3 于是原方程的通解为3 t t yC 将初始条件 y0 3 代入 得出 C 3 故所求解为 1 3 t t y 2 特征方程为10 特征根为1 于是原方程的通解为 1 t t yC 将初始条件 y0 2 代入 得出 C 2 故所求解为2 1 t t y 6 解 1 由于 a 2 k 3 令 y t A 待定系数 代入方程得 A 2A 3 从而 A 1 即 y t 1 故原方程的通解为 yt C 2 t 1 2 由于 a 1 k 3 令 y t At 待定系数 代入方程得 A 3 即 y t 3t 故原方程的 通解为 yt 3t C 3 设 y t A0 A1t A2t 2 为原方程的解 将 y t代入原方程并整理 比较同次幂系数 可得 A0 9 A1 6 A2 3 从而 2 963 t ytt 故原方程的通解为 2 9632 t t yttC 4 由 15 1 22 akb 令原方程有一个特解为 5 2 t t yA 解得 3 5 A 于是原方程的通解为 3 51 5 22 t t t yC 7 解 1 原方程的通解为10 t yCt 又有初始条件 y0 3 可知3C 故特解为 310 t yt 2 原 方 程 的 通 解 为 1 22 tt t yCt 又 有 初 始 条 件 y0 2 可 知2C 故 特 解 为 11 22 tt t yt 8 1 12 32 t t t yC