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P123案例4-1广告战火烈鸟烤肉饭店是一家位于佛罗里达面向高消费阶层的一家饭店。为了帮助计划下一季度的广告宣传计划，该饭店雇用了HJ广告公司。饭店的管理层要求HJ推荐如何将广告预算分配在电视、广播和报纸上。总的广告预算费用是279000美元。在与火烈鸟烤肉饭店管理层的一次会议上，HJ顾问提供了以下信息：关于每种广告媒体在行业内的宣传率、每则广告能达到的新受众数以及各自的广告成本。广告媒体每则广告的宣传率每则广告能达到的新受众数成本（美元）电视广播报纸9025104000200010001000030001000宣传率被视做衡量广告对现有客户和潜在新客户的价值。它是图像、消息反馈、可视和可闻形象等的函数。正如预料的那样，最贵日电视广告有最大的宣传率，同时可到达最多的潜在新客户。在这一点上，HJ顾问指出，关于每种媒体的宣传率和到达率的数据只在最初的几次广告应用中有效。例如电视，它的90的宣传率达到4000个潜在客户的数据只在头10次广告应用中有效，10次以后，电视广告的效值会下降。HJ顾问指出第10次以后播出的广告，宣传率降到55，同时到达的潜在客户数也下降到1500。对于广播媒体，上表中的数据在头15次广告中是有效，第15次后，宣传率降为20，到达的潜在客户数降为1200。类似地，对于报纸，上表中的数据在头20次广告中是有效的，20次后，宣传率降为5，能到达的潜客户数降为800。火烈鸟公司管理层接受了最大化各种媒体的总宣传率作为这次广告运动的目标。由于管理层很在意吸引新的客户，因此希望这次广告活动至少能到达100000个客户。为了平衡广告宣传活动以及充分利用广告媒体，火烈鸟公司管理团队还采纳了以下方针：l 广播广告的运用次数至少是电视广告出2倍；l 电视广告不能运用超过20次；l 电视广告的预算至少为140000美元；l 广播广告的预算最多不能超过99000美元；l 报纸广告的预算至少为30000美元。HJ同意在这些方针下开展广告活动，并提出了怎样将279000美元的预算分配在电视、广播和报纸广告中。管理报告构建一个模型，确火烈鸟烤肉饭店的广告预分配方案，确保你的报告中有以下讨论：1推荐一份关于电视、广播和报纸广告应各用多少次以及各种媒体的预算分配。列出广告的总宣传率并指出总的可以到达的潜在客户数。2如果广告预算增加10000美元，那么总的宣传率会怎么变化?3讨论目标函数系数的变化范围，该变化范围揭示了推荐的解决方案对HJ的宣传率系数有多敏感？4在审阅了HJ的推荐方案后，火烈鸟烤肉饭店的管理层想要知道若广告活动的目标变为最大化到达的潜在客户，则推荐方案会有什么变化? 在这个目标下构建媒体使用计划模型。5比较一下问题1和4中的推荐方案。你对于火烈鸟烤肉的广告活动有何建议? 一问题分析根据案例中提供的信息做了如下表格：广告媒体广告次数每则广告的宣传率每则广告能覆盖的新客户数每则广告的成本（美元）电视109040001000010551500广播15252000300015201200报纸201010001000205800电电视广播报纸的广告次数分别为X1,X2,X3次，总预算为279000美元。l 广播广告的运用次数至少是电视广告出2倍；l 电视广告不能运用超过20次；l 电视广告的预算至少为140000美元；l 广播广告的预算最多不能超过99000美元；l 报纸广告的预算至少为30000美元；l 这次广告活动至少能覆盖100000个新客户。可列出方程式：1）X22*X1;2）X120;3）10000*X1140000;4）3000*X299000;5）1000*X330000;6）1500*(X1-10)+1200*(X2-15)+800*(X3-20)100000-40000-30000-20000;7）10000*X1+3000*X2+1000*X3279000;二模型建立把上述方程化简可以建立线性规划问题模型为：MAX ：55X1+20X2+5X3+525S.T.-2*X1+X20;X120;X114;X233;X330;15*X1+12*X2+8*X3590;10X1+3*X2+X3279;三模型求解与程序设计1推荐一份关于电视、广播和报纸广告应各用多少次以及各种媒体的预算分配。列出广告的总宣传率并指出总的可以到达的潜在新客户数。计算线性规划问题：max：55*X1+20*X2+5*X3+525S.T.-2*X1+X20;X120;X114;X233;X330;15*X1+12*X2+8*X3590;10X1+3*X2+X3279;则电视、广播和报纸广告应各用15次，33次，30次，预算分配分别为150000美元，99000美元，30000美元，总预算为279000美元。广告的总宣传率为2160。总的可以到达的潜在新客户数为10*4000+5*1500+15*2000+18*1200+20*1000+10*800=127100。2如果广告预算增加10000美元，那么总的宣传率会怎么变化？依题意，则第一个约束条件变为10000*X1+3000*X2+1000*X3289000我们可以看到，改变条件以后，到达最优时变量的取值并未改变，而目标函数的结果变了，此时广告的总宣传率为2215，总宣传率增加了55个单位。3讨论目标函数系数的变化范围。该变化范围揭示了推荐的解决方案对HJ的宣传率系数有多敏感？3.1计算约束条件的对偶值：约束条件四有一个非零的对偶值3.5，约束条件五有一个非零的对偶值-0.5，约束条件七有一个非零的对偶值5.5。1）第4个约束条件中：广播广告的预算每增加一美元，引起宣传率增加3.5个单位；2）第5个约束条件中：报纸广告的预算每增加一美元，引起宣传率减少0.5个单位；3）第7个约束条件中：总的广告预算每增加一美元，引起宣传率增加5.5个单位；4）其余约束条件的对偶值为0，则右端值的改变对目标函数不会有影响。3.2计算对偶值的可行域在3.1的分析中我们知道只有约束条件4，5，7存在对偶值，因此也只有这三个条件存在对偶值的可行范围，而其余条件或变量的对偶值范围显示为-1*1030到1*1030，即负无穷到正无穷。对于这三个条件，我们可以做出如下解释：1） 约束条件4为X233，根据上述结果，在右方约束条件取值31.25到36.33之间时，之前计算的对偶值有效，即此时才会有广播预算费用每增加一个单位，引起宣传率增加3.5个单位。2） 约束条件5为X30，根据上述结果，在右方约束条件取值15到40之间时，之前计算的对偶值有效，即此时才会有报纸预算费用每增加一个单位，引起宣传率减少0.5个单位。3） 约束条件7为10X1+3X2+X3279，根据上述结果，在右方约束条件取值269到294之间时，之前计算的对偶值有效，即此时才会有总预算费用每增加一个单位，引起宣传率增加5.5个单位。结合第二题中的结果，289介于269到294之间，而总宣传率增加了55个单位，这也应证了上述结论。3.3计算灵敏度我们将利用上述结果中敏感度范围的信息，可以得到变量的系数变化范围如下：50X166.67，16.5X2，X35.5。4在审阅了HJ的推荐方案后，火烈鸟烤肉饭店的管理层想要知道若广告活动的目标变为最大化到达的潜在客户，则推荐方案会有什么变化？在这个目标下构建媒体使用计划模型。依题意，则目标函数变为1500X1+1200X2+800X3+41000我们在程序中改变各参数，采用如下模型进行计算MAX=1500*X1+1200*X2+800*X3+41000;10000*X1+3000*X2+1000*X3279000;X22*X1;X120;10000*X1140000;3000*X299000;1000*X330000;15*X1+12*X2+8*X3590;可以得到如下结果即电视、广播和报纸广告应各用14次，28次，55次，预算分配分别为140000美元，84000美元，55000美元，总预算为279000美元。广告的总宣传率为2130。总的可以到达的潜在新客户数为139600。5比较一下问题1和4中的推荐方案。你对于火烈鸟烤肉饭店的广告活动有何建议？问题1推荐方案一为电视、广播和报纸广告应各用15次、33次、30次。预算分配分别为150000美元、99000美元和30000美元。总预算为279000美元，总宣传率=2160潜在新客户数=127100。问题4推荐方案二为电视、广播和报纸广告应各用14次、28次、55次。预算分配分别为140000美元、84000美元和55000美元。总预算为279000美元，总宣