2007~2011年概率论与统计部分考研试题及解答.doc

概率论与数理统计历年考研试题及解答2011年1、设为两个分布函数，其相应的概率密度是连续函数，则必为概率密度的是（A） （B）（C） （D）解 由于 ；故选(D).2、设随机变量与相互独立，且与存在，记,，则（ ） （A） （B） （C） （D）3、设总体服从参数的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量，（A） （B）（C） （D）解 为来自总体制泊松分布的简单随机样本，则相互独立，且；又由，有因为，所以.故选（D）.4、设随机事件A，B满足且，则必有（ ）（A） （B）（C） （D）解 因为，有，故故选（B）.5、设二维随即变量服从，则_.解 因为，则，从而有又由知相互独立，于是与也独立；故.6、 X 0 1 P 1/3 2/3Y-101P1/31/31/3，求：（1）的分布； （2）的分布；（3）.解 （1）由有，因此有，所以同理有.故的分布律为 -101001/301/311/301/32/31/31/31/3（2）Z取值为 -1,0,1；有；.故的分布律为-1011/31/31/3(3)由离散型随机变量的计算公式经计算可得，故7、设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知，和分别表示样本均值和样本方差，（1）求参数的最大似然估计； （2）计算和解 （1）已知时，似然函数为 两边同时取对数有 令 解得的最大似然估计为: .（2）.因为，所以，故8、在上服从均匀分布，由与所围成.(1)求边缘密度；(2)求条件分布；(3)求概率.解 （1）如图1所示，由于在上服从均匀分布，则联合密度函数为故随机变量边缘密度为 图1(2) 随机变量边缘密度为（3）注：第三问也可利用面积比去求.2010年1、设随机变量的分布函数，则. （A） （） （C） （D）解 由概率值与分布函数的定义知：故选（C）.2、 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若，为概率密度，则应满足（A） （B） （C） (D) 解 由题意知：，因为是概率密度函数，满足，所以有：即.故选（A）.3、设是来自总体的简单随机样本.记统计量，则.解 根据简单随机样本的性质，相互独立且与总体同分布，即，于是，因此.4、设随机变量概率分布为，则.解 由泊松分布概率和等于1知：，有，从而，故.5、设二维随机变量的概率密度为，求常数A及条件概率密度.解 利用泊松分布可得因此，又 于是有 ，6、箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别是1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.（）求随机变量的概率分布；（）求.解 （）是二维离散型随机变量，只能取0和1，而可以取0，1，2各值，由于， ，；于是得的联合概率分布01203/156/151/152/313/152/1501/36/158/151/15（）根据的联合概率分布表可以计算出，于是有.7、设总体的概率分布为123其中参数未知，以表示来自总体的简单随机样本（样本容量为）中等于的个数.试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差.解 由题意有：，则因为为的无偏估计量，有，所以，从而有.故；.2009年1、设事件与事件互不相容，则（ ） 解 因为互不相容，所以.，因为不一定等于1，所以不正确；当不为0时，不成立，故排除；只有当互为对立事件的时候才成立，故排除，故正确.2、设随机变量的分布函数，其中为标准正态分布的分布函数，则（ ） 解 由有，从而而，因此.故选.3、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为PY=0=PY=1=，记为随机变量Z=XY的分布函数，则函数的间断点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3解 由于X，Y独立，从而 （1）若z0，则，（2）若z0，则因此为间断点，故选（B）4、设总体的概率密度，其中参数未知，若是来自总体的简单随机样本，是的估计量，则_解 5、设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量，则=_.解 由于为的无偏估计量，则有因此6、设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.记统计量，则=_.解 由7、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（I）求条件概率密度；（II）求条件概率.解 （I） 得其边缘密度函数故；即（II）从而,故.8、袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球的红、黑、白球的个数；（I）求； （II）求二维随机变量的概率分布.解 （I）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以.（II）取值范围为0，1，2，故， 01201/41/61/3611/31/9021/900注:这是一个放回摸球问题的简单推广，属于古典概型的题目，只要用排列组合的技巧就可以解决.9、设总体 X 的概率密度为，其中参数未知，是来自总体X的简单随机样本.（I）求参数的矩估计量；（II）求参数的最大似然估计量.解 （I）由得出为参数l的矩估计量；（II）似然函数为取对数令得到，故参数的最大似然估计量2008年1、随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . 解 故选(A).2、随机变量，且相关系数，则（ ） . 解 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、；由，得 所以 因此. 排除. 故选择.3、设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.解 由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 .4、设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记(I)求；(II)求的概率密度解 (I) (II) 所以5、是总体为的简单随机样本.记，.（1）证 是的无偏估计量.（2）当时 ，求.解 (I) 因为，所以，从而因为 所以，是的无偏估计(II) ，所以因为，所以，有，所以因为，所以，又因为，所以,从而，故 .2007年1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（A）（B）（C）（D）解 第4次一定要命中，则对前3次使用伯努列概型：，加上第4次命中，概率为.故选（C）.2、设随机变量服从二维正态分布，且X与Y不相关分别表示X，Y的概率密度，则在的条件下，X的条件概率密度（A）（B） （C）（D）解 在服从二维正态分布时，若不相关，则独立.所以.故选（A）.3、在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 .解 设两个数分别为X和Y，则服从均匀分布，联合密度函数为，故.4、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（I）求；（II）求的概率密度解 （1）（2）当z0时，；当z2时，；当0z1时，+=；当1z2时，；故5、设总体X的概率密度为其中参数未知，是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，（I）求参数的矩估计量；（II）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.解 （1）解得的矩估计量；（2），而；又.，所以，于是+4，所以是有偏的.6、设随机变量与独立同分布，且的概率分布为122/31/3记，（I）求的概率分布；（II）求与的协方差.解 （1）联合分布 12102（2）的概率分布律为124经计算可得：， 所以2006年1、设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 . 解 由题设知，具有相同的概率密度.则.2、设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 . 解 因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，故.3、设为随机事件，且，则必有 (A) (B) (C) (D) 解 由加法和乘法公式有：，；故选（C）.4、设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有 (A) （B） （C） （D） 解 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).5、设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度;()；().解（I） 设的