正交试验方法.doc

多因素优化试验设计 正交试验法 上一章我们介绍了单因素优化试验设计方法。但是在实际生产和科学试验中，往往有多个因素同时影响结果，在这种情况下采用单因素试验方法就难以满足要求。本章将介绍在多因素寻优试验中，用尽量少的试验尽快获得最优结果的科学试验方法。第一节 正交试验设计 正交试验法，就是在多因素优化试验中，利用数理统计学与正交性原理，从大量的试验点中挑选有代表性和典型性的试验点，应用“正交表”科学合理地安排试验，从而用尽量少的试验得到最优的试验结果的一种试验设计方法。 例3-2-1 已知碳、硅、锰含量影响铸铁的力学性能，我们把这三种元素分别用A、B、C表示。我们根据生产经验将三种元素分别选两种含量（见表3-2-1），分别表示为A1、A2、B1、B2、C1、C2。现在我们研究这三种元素两种含量如何组合，铸铁的性能最优。表3-2-1 铸铁性能试验参数 在例3-2-1中，我们称碳硅锰含量为因素，其两种含量称为水平，这个试验就是三因素二水平试验。如果按照普通的方法将三个因素的两个水平分别搭配进行试验，需要进行8次试验，如图3-2-1长方体的8个顶点所示。显然这是十分繁琐的。如果试验的因素和水平更多，那么试验量将更加惊人。但是在正交试验中，如果三个因素之间没有交互作用，我们只要选择其中的以下4个试验（图3-2-1中红点所示）A1B1C1、A1B2C2、A2B1C2、A2B2C1就可以代替全部8个试验。 图3-2-1 正交试验点示意图这是为什么呢？仔细观察图3-2-1可以发现，在长方体的六个面上，每个面都有两个试验点。而在长方体的12个边上，每个边上都有1个试验点。进一步观察4个试验点，可以发现，每个因素的各个水平参加试验的次数一样多，都是二次。各个数据对，如（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2）、（B1，C1）、（B2，C2）、（B1，C2）、（B2，C1）、（A1，C1）、（A2，C1）出现的次数也一样多，都是1次。显然，试验点的选择是均衡分散和整齐可比的。在数学上我们将其称为“正交性”，这就是正交试验的原理。读者不妨做个实验，把图3-2-1中的12条边和4个黑点擦掉，只留下4个红点，看看是否可以根据这4个红点作出原理的长方体。答案是肯定的，也就是说4个红点足可以描述这个长方体。为了方便应用，数学工作者把不同因素和水平的试验中符合正交性的试验点列成了表格，这种表格称为正交表，可以在数理统计或正交试验书上查到。有了正交表，我们只要将试验因素和水平套入正交表中就可以十分方便地安排正交试验了。例3-2-1所使用的三因素二水平正交试验表如表3-2-2所示，表中A、B、C下面的数字1、2分别表示该因素的水平。正交试验表一般用Lc(ba)表示，其中a表示因素数量，b表示各因素的水平数，c表示总试验次数。表3-2-2可表示为L4(23)。表3-2-2 三因素二水平正交试验表正交试验可以解决以下三个问题：1.分析因素与指标的关系，找到因素影响指标的规律。2.分析因素影响指标的主次，在诸多影响指标的引述中找到主要影响因素，即抓住主要矛盾。3.寻求获得最佳指标的因素的组合。第二节 正交试验分析方法 现在我们按表3-2-2进行试验，得到表3-2-3所示的试验结果。我们如何分析试验结果，以得到上节中介绍的正交试验可以解决的三个问题呢？下面介绍正交试验的分析方法。表3-2-3 铸铁性能试验参数一、 直接对比法 直接对比法就是对试验结果进行简单的直接对比。对比表3-2-3的试验结果，可以看出第4号试验铸铁的抗拉强度最高，而第1 号试验抗拉强度最低。这说明A1B2C2成分的铸铁强度最高。这符合人们目前对铸铁性能的认识，即硅和锰提高铸铁的强度，而碳使强度降低。进一步仔细观察，可以发现，抗拉强度较高的两组试验，硅含量都在高水平上，碳和锰却没有如此明显的规律。这说明，在本试验中，硅是影响铸铁强度的主要因素。 直接对比法虽然对试验结果给出了一定的说明，但是这个说明是定性的，而且不能肯定地告诉我们最佳的成分组合是否包含小上述四组试验中。显然这种分析方法虽然简单，但是不能令人满意。二、直观分析法 直观分析法是通过对每一因素的平均极差来分析问题。所谓极差就是平均效果中最大值和最小值的差。有了极差，就可以找到影响指标的主要因素，并可以帮助我们找到最佳因素水平组合。直观分析法的具体做法如下：1. 首先计算各因素每个水平的平均效果和极差。一般用罗马数字表示水平效果，用大写R表示极差，因素用角标表示。根据表3-2-3试验结果，可以计算得 =（240280）/2260=（250270）/2260RA= 260-260=0用同样的方法，可得（240250）/2245 （280270）/2275RB=275-245=30 （240270）/2255 （280250）/2265RC=265-255=10将计算结果加到表3-2-3中，得表3-2-4。表3-2-4 铸铁性能正交试验结果分析2. 然后对计算结果进行分析，分析各因素的主次和影响趋势，找到最优试验方案。根据表3-2-4所示的计算结果，RBRCRA，这说明影响铸铁强度的最主要因素是硅含量，锰含量的影响次之，而碳含量对强度的影响最小。比较各因素不同水平的平均效果值， ， 说明随硅和锰含量的提高，铸铁抗拉强度提高。根据前面的分析，可以确定铸铁成分的最优组合为A1B2C2或A2B2C2。这里虽然A2B2C2在我们的试验中没有出现，但是我们可以根据直观分析，确定这样的成分组合也是比较理想的。如果条件许可，可以重复进行最优试验，或补做试验中没有出现的A2B2C2试验。也可以根据试验结果，选择新的因素水平，进行新的试验。比如，对于例3-2-1,可以去掉因素A,并进一步提高因素B和C的水平，进行新的试验。为了直观地反映试验结果，还可以根据计算结果作图，如图3-2-2所示。图3-2-2 正交试验分析结果图这里需要说明，我们不应根据两个试验点作图，一般情况下我们也很少选择二水平进行试验，这里仅仅是为便于大家理解和掌握正交试验方法，同时节约篇幅，选择了一个最简单的例子。第三节 有交互作用的正交试验 实际中很多情况下各因素不是孤立的，而是彼此存在交互作用，这种交互作用影响了它们的作用效果。比如，在例3-2-1中，成分对铸铁强度的影响实际上就存在交互作用。在这种情况下应用前面介绍的普通正交试验方法就难以得到正确的结果。下面介绍在正交试验中如何考虑元素之间的交互作用。 如果因素A和B存在交互作用，可以把它们之间的交互作用看作一个新的因素，记为AB。同理，如果A、B、C三个因素之间存在交互作用，则新的因素记为ABC。在正交表中，专门有考虑了交互作用的正交表，读者可以根据需要选用。 在例3-2-1中，如果碳硅锰之间有交互作用，则可用有交互作用 正交试验表L8（27）安排试验，如表3-2-5所示。如果我们 将表3-2-5中的1用+1代替，将2用-1代替，则会发现，表中的交互作用列AB、AC、BC和AB C刚好是相应