数学分析七大定理的相互证明.pdf

年 第 期气象 教 育与科技 总第 期 数学分析七大定理的相互证明 寒 李 数学分析 中的单调有界性定理 闭区间套定理 确界存在性定理 一 2 3民一 二 4二 则存在唯一数宁 使得子任7 3 5 4或6引一门 8 定理 3确界存在性定理4若非空数集 有上 界3下界4 则数集 一定存在上确界3下 确界4 若确界存在 则不难证明确界一定唯一 定理 3 一 等分区间7 习为两个小区间 则至少有一 个小区间含有 中的无穷个互异点 把这一 区间记为 再等分区间压 为两个小区 间 记含有 中无穷个互异点的小区间为 5 3 一 4一 于是由闭区间套定理 必有点宁 任7 3 一 5 4 易知 当 时有 宁 瓦一氛 每一闭区间7 久 中均含 中无穷个互异点 且宁任7 一右 久 子 所以对于任意 存在正整数 任意 时 7 二 3宁 2 4 所以 3宁 4 含有 中无限个互异 5 点 根据聚点定义 子是 的一个聚点 因此有界无 限点集 至少有一个聚点 定理证毕 5 由致密性定理到单调有界性定理的证明 证数列6 9单调有界 设6 9单调递增 由致密性定理6 9中存在收敛 的子数列6 耐 设悠 右 即对于任意 存在正整数 任意 无 有 9 一右9 3 4 显而易见 右 因为3 4单调递增 所以丫 彻 总存在 2 使 硅 3如图所 示4 从而也即 宁 故由3 4式 9 一 引簇9 滋 一 引 由极限定义 一泞 所以单调递增的有界6 9有极限 同理可证 单调递减的有界数列 6 9也存 在极 限 定理证毕 5 由确界存在性定理到 0 1 收敛准则的证明 证 因为收敛列一定是 01 列 故以下仅证明 0 1 列 一定是收敛列 设6 9为 01列 利用三角不等式不难推知6 9为有 界数列 即存在 使 9 93 3 5 4成立 由确界存在定理 不妨对于每个 自然数 下述两种数列 气 月 存在 6 计 9 风一 6 计 9 显然 气镇月 3 5 4 由 的有界性 不难推知 气 凡也是有界的数列 再由确界存在定 理 存在确界 叩6人 4 6风9 由上 下极限 的有关定理知 笋 介声 石五6气9 6月 9 6风9 6气9 月一钟月声 一 6气9 6气9 月 四 月笋 6 9为 01 列 即对于任意 存在正整数 任意大于 2 有 6气一甄 3不 妨 2 4 4故 一 气 3 4 故 风 6气 气十 9毛久十 2 气 6 气 94 一 结合这不等式 并注意到 气毛夕 得 风4 气4 风一 5 3 4 取极限 得 风 4 气4 召 一5 再 由 的任意性知 风 气 即 气 气3有限量4 从而 存在 定理证毕 月 闷 卜 嘴 5 由闭区间套定理到单调有界性定理的证明 证设6 9为单调 有界数列 不妨设6 4为单调 递增数列 有上界 取 一 得闭区间 取7 中点华 若户牟王 2 一 2 2 乙乙 卜 取 一 粤 否则取久 得闭区间7 2 3 一 4 于是有闭区间套定理 存在一点子 任7 久 3 5 4 且气一宁 3 4 因此单调递增 的有界数列存在极限 同理可证 单调递减的有界数列6 二9也存 在极限 定理证毕 5 由 聚点定理到 01 收敛准则的证明 证类似于 5 仅须证 0 1 列为收敛列的情形 设咬 9为 0 1 列 从而6 二9为有界 数列 不妨设 毛汽簇 5 下面利用反证法 假设6 9不收敛 即 习中任何一点 都 不是 9的极 限 则必存在 对任何正整数 至少存在一个自然数 使得 9 一 94 凡 由 01 收敛准则条件 对于给定的 一定存在正整数 3不妨取 4 4 当 有 吼 9 一 百 因此 当 有 凡 一 夕 一 一 一 司 尸 万 从而在3 一 粤 警 中只包含 中的有限项 另一方面 6 9有界 由 聚点定理 可得 6 9必有一聚点泞任7 8 即对于 邻域 3宁 冬 4含有6 9 中无穷多个点 这与对 于 致谢 任 习 3 一 导 导 4只包含6 9有限个 点矛盾 定理证毕 乙 作者在写作过程中 张 太忠老师给予了极大的帮助 特此感谢 参考 文 献 刘玉链 傅沛仁 数学分析讲义 2 上册 北京 2 高等教育出版社 5 陈传璋 朱学炎 金福临 等 数学分析 2 上册 北京 2 高等教育出版社 周 性伟 刘立民 数学分析 2 上册 天津 2 南开大学出版社 王向东 数学分析的概