高考数学解题技巧-柯西不等式的证明及其应用.pdf

1 柯西不等式的证明及其应用柯西不等式的证明及其应用柯西不等式的证明及其应用柯西不等式的证明及其应用 摘要 柯西不等式是一个非常重要的不等式 本文用六种不同的方法 证明了柯西不等式 并给出了一些柯西不等式在证明不等式 求函数 最值 解方程 解三角与几何问题等方面的应用 最后用其证明了点 到直线的距离公式 更好的解释了柯西不等式 关键词 柯西不等式 证明 应用 SummarSummarSummarSummary Cauchy s inequality is a very important inequality this article use six different methods to prove the Cauchy inequality and gives some Cauchy inequality in inequality solving the most value solving equations trigonometry and geometry problems in the areas of application the last used it proved that point to the straight line distance formula better explains the Cauchy inequality KeywordsKeywordsKeywordsKeywords Cauchy inequality proof application 不等式是数学的重要组成部分 它遍及数学的每一个分支 本文主要 介绍著名不等式 柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用 柯西不等式是一个非常重要的不等式 本文用几种不同的方 法证明了柯西不等式 并给出了一些柯西不等式在证明不等式 求函 数最值 解方程 解三角与几何问题等方面的应用 2 一 相关定理 柯西不等式是指下面的定理 定理设 1 2 ii a bR in 则 22 2 111 nnn iiii iii abab 当数组 a1 a2 an b1 b2 bn不全为 0 时 等号成立当且仅 当 1 ii bain 柯西不等式有两个很好的变式 变式 1 设 0 1 2 i aR biin 2 2 1 n i i i ii aa bb 等号成立当且仅当 1 ii bain 变式 2设 ai bi同号且不为 0 i 1 2 n 则 2 1 n i i i iii a a bab 二 柯西不等式的证明 常用的证明柯西不等式的方法有 1 配方法 作差 因为 222 111 nnn ijii iji abab 22 1111 nnnn ijiijj ijij ababa b 3 22 1111 nnnn ijiijj ijij a baba b 2222 111111 1 2 2 nnnnnn ijjiijji ijijij a ba bab a b 2222 11 1 2 2 nn ijijjiji ij a bab a ba b 2 11 1 0 2 nn ijji ij aba b 所以 222 111 nnn ijii iji abab 0 即 222 111 nnn ijii iji abab 即 2222222 1 1221212 nnnn a ba ba baaabbb 当且仅当 0 1 2 ijji aba bi jn 即 1 2 1 2 0 j i j ij a a in jn b bb 时等号成立 2 利用判别式证明 构造二次函数法 若 2 1 0 n i i a 则 12 0 n aaa 此时不等式显然成立 若 2 1 0 n i i a 构造二次函数 222 111 2 nnn iiii iii f xaxabxb 2 1 0 n ii i a xb 对于 x R 恒成立 所以此二次函数 f x的判别式 0 即得证 3 用数学归纳法证明 4 i 当1n 时 有 222 1 112 aba b 不等式成立 当 n 2 时 22222 1 12212221 122 2aba ba ba ba ba b 222222222222 12121122122 1 aabba ba ba ba b 因为 2222 122 11 122 2a ba baba b 故有 22222 1 1221212 aba baabb 当且仅当 1 22 1 aba b 即 12 12 aa bb 时等号成立 ii 假设n k 时不等式成立 即 2222222 1 1221212 kkkk a ba ba baaabbb 当且仅当 12 12 n n aaa bbb 时等号成立 那么当1nk 时 2 1 12211 kkkk a ba ba bab 222 1 122111 12211 2 kkkkkkkk a ba ba bababa ba bab 22222222 1212111 12211 2 kkkkkkkk aaabbbababa ba bab 2222222222222222 121211111111 kkkkkkkkkk aaabbba bb aa bb aab 222222 121121 kk aaabbb 222222 1212 nn aaabbb 当且仅当 1111212111 kkkkkkkk abbaa bb aa bb a 时等号成立 5 即 112 121 kk kk aaaa bbbb 时等号成立 于是 1nk 时不等式成立 由 i ii 可得对于任意的自然数 n 柯西不等式成立 4 用向量法证明 设n维空间中有二个向a 12 n a aa b 12 n b bb 其中 1212 nn a aa b bb为任意两组实数 由向量的长度定义 有a 222 12n aaa b 222 12n bbb 又由内积的定义 a b a b cos 其中 是a b 的夹角 且有a b 1 222nn aba ba b 因 cos 1 故a b a b 于是 1 122nn a ba ba b 222222 1212nn aaabbb 即 2222222 1 1221212 nnnn a ba ba baaabbb 当且仅当 cos 1 时 即a 与b 共线时等号成立 由a b 共线可知 1122 nn ab abab R 即 12 12 n n aaa bbb 0 1 2 i bin 6 由以上 命题得证 5 利用均值不等式 当 222222 1212nn aaabbb 0 时不等式显然成立 当 222222 1212nn aaabbb 0 柯西不等式可化为 1 2 1 122 222222 1112 nn nn aba ba b aaabbb 由均值不等式可知 2 1 122 222222 1112 nn nn aba ba b aaabbb 2222 11 222222222222 12121212 2 nn nnnn abab aaabbbaaabbb 2222 11 222222222222 12121212 2 nn nnnn abab aaabbbaaabbb 1 即 1 2 1 122 222222 1112 nn nn aba ba b aaabbb 当且仅当 12 12 n n aaa bbb 0 1 2 i bin 时等号成立 从而柯西不等式得证 而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到 三 柯西不等式的应用 7 1 证明不等式 在不等式的证明中 柯西不等式的作用是很突出的 有些不等式的证 明用常归方法很繁琐 而用柯西不等式却很简单 例 3 1 1 已知 a b c d 求证 1119 abbccaad 证 因为 a d a b b c c d 0 由柯西不等式知 111 ad abbcca a b b c c d 111 abbcca 2 1 1 1 9 从而 1119 abbccaad 例 3 1 2 已知 222 12 222 12 1 1 n n aaa xxx 求证 1 122 1 nn a xa xa b 证法一 常用证法 22 111 1 2222 2222 2 2 2 nnnn axa x axa x axa x 把上面n个不等式相加 得 222222 12121 122 22 2 nnnn aaaxxxa xa xa x 即 1 122 1 122 22 1 nn nn a xa xa x a xa xa x 8 证法二 利用柯西不等式来证明 分析求证的不等式特点 可构造如下两组数 1212 nn a aax xx 由柯西不等式 A 有 2 222222 1 1221212 1 122 1 nnnn nn a xa xa xaaaxxx a xa xa x 两相比较 可见用柯西不等式证明较为简捷 例 3 1 3 设 i xR i 1 2 n 且 1 1 1 n i i i x x 求证 11 2 n iij iij n xx x 5 证 注意到恒等式 1 2 ij ij n x x 0 b c 求证 222 2 abc bccaab 证 因为 a 0 由均值不等式得 2 a a 2 a 2 a 9 同理可得 2 b 2 b 2 2 c c 故 222 abc bccaab 222 222 abc bccaab 由柯西不等式可知 222a bcb cac ab 222 222 abc bccaab 2 2abc 从而 222 222 abc bccaab 2 2 222 abc a bcb cac ab 2 2 3 abc abbcac 又 2 2abc 6 abbcac 222 bccaab 6abbcac 故 222 222 abc bccaab 2 即 222 abc bccaab 2 当且仅当2abc 时等号成立 例 3 1 5 已知 12 n a aa为互不相等的正整数 求证 对于任意的 正整数 n 有不等式 12 222 11 1 122 n aaa nn 证明 由柯西不等式 2 11 1 2n 122 12 111 12 n n aaa naaa 12 222 12 111 12 n n aaa naaa 于是 12 222 12 11 1 11 2 1 111 122 n n aaa n nn aaa 10 又因为 12 n a aa为互不相等的正整数 故其中最小的数不小于1 次小的数不小于2 最大的不小于n 这样就有 12 11 1 2 1 111 n n aaa 所以有 12 11 1 1111 2 1 1 111 22 n n nn aaa 因为 12 222 12 11 1 11 2 1 111 122 n n aaa n nn aaa 而 12 11 1 1111 2 1 1 111 22 n n nn aaa 所以有 12 222 11 1 122 n aaa nn 例 3 1 6 设 0 1 2 i ain 则证明 22 12 11 1 nn jin ij aanaaa 5 证明 由柯西不等式 对于任意的n个实数 12 n x xx 有 2222222 1212 111 nn xxxxxx 即 2 222 12 12 n n xxx xxx n 11 于是 2222 1111 1 nnnn jiji ijij aaaan 1 1 1 1 n i i na n 11 1 1 nn ji ij aa n 12 1 n naaa 例 3 1 7 设 12 1 0 1 n ni i x xxx 则 111 n i i i i xx xn 5 证 由柯西不等式变式 1 得 左边 2 1111 1 11 111 nnnn i ii iiii iii xn xx xxx 211 22 11 22 1 1 ii ii n xx xx 2 1 1 n n n n n 1 n n 1 i x n 例 3 1 8 第 42 届 IMO 预选题 设 12 n x xx是任意实数 证明 12 222222 11212 111 n n xxx xxxxxx n 证 由柯西不等式 对于任意实数 12 n a aa有 12 n aaa n 222 12 n aaa 令 k a 222 12 1 k k x xxx k 1 2 n 12 因此原不等式转换为证明 222 12 222222 11212 111 n n xxx xxxxxx 1 当 k 2 时 有 2 222 12 1 k k x xxx 2 222222 12121 1 1 k kk x xxxxxx 222 121 1 1 k xxx 222 12 1 1 k xxx 当 k 1 时 2 1 2 1 1 x x 1 2 1 1 1x 因此 2 222 1 12 1 n k k k x xxx 1 222 12 1 n n x xxx 1 1 n i i x 则 1 111 n i n ii i i x x xn 5 证由柯西不等式 得 左边 11 1 1 1 nn i ii i x x 2 1 i n x 1 1 n i i x 211 22 11 22 1 1 ii ii n xx xx 2 1 1 n n n n n 1 n n 1 i x n 13 例 3 1 10 若 n 是不小于 2 的正整数 试证 4111112 1 72342122nn 5 证明 11111111111 1 1 2 234212232242nnnn 111 122nnn 所以求证式等价于 41112 71222nnn 于是 2 111224 1 12212 2317 3 nn nnnnnnn n 又由柯西不等式有 222 222 111111 11 1 122 122 nnn nnn 故方程组无解 例 3 3 2 在实数集内解方程组 222 9 4 862439 xyz xyz 5 解 由柯西不等式 2222222 8 6 24 8624 xyzxyz 1 因为 222222 8 6 24 xyz 2 9 64364 144 39 4 又因为 22 8624 39xyz 17 即 2222222 8 6 24 8624 xyzxyz 即 1 式取等号 由柯西不等式取等号的条件有 8624 xyz 2 2 式与862439xyz 联立 则有 6918 132613 xyz 例 3 3 3 解方程 222 49911xyyzzx 5 解 根据柯西不等式 2 222 499xyyzzx 222 22 2222 499xyzyzx 因 222 499xyyzzx 11 从而 2 11 222 xyz 222 22xyz 即 2 222 11xyz 0 从而 2 222 11xyz 0 故 222 11xyz 0 又 由上述过程的可逆性还得到 2 222 499xyyzzx 222 22 2222 499xyzyzx 再根据柯西不等式 取等号的条件 有且仅有 2 2 2 4 9 9 xky ykx zkx k 为常数 将此带如原方程 得 222 222 49911kykzkx 即 222 22kxyz 11 而 18 222 11xyz 0 从而 k 1 因此 2 2 2 4 9 9 xy yx zx 求得原方程的解为 2 2 7 x y z 4 解三角与几何问题 例 3 4 1 在 ABC 中 设其各边长为 a b c 外接圆半径为 R 求证 22 222 111 sinsinsin abc ABC 36 2 R 证 由柯西不等式可知 22 222 111 sinsinsin abc ABC 2 sinsinsin abc ABC 2 222RRR 36 2 R 证必 例 3 4 2 设 P 是 ABC 内的一点 x y z是 P 到三边 a b c的距离 R是 ABC 外接圆的半径 证明 222 1 2 xyzabc R 5 证明 由柯西不等式得 111 xyzaxbycz abc 111 axbycz abc 记S为 ABC 的面积 则 22 42 abcabc axbyczS RR 19 1 22 abcabbcca xyzabbcca RabcR 222 1 2 abc R 故不等式成立 例 3 4 3 在三角形ABC中 证明 3 33 3 sinsinsin 22 nAnBnC 5 证明 由柯西不等式 22 sinsinsin 1 sin1 sin1 sin nAnBnCnAnBnC 222222 111 sinsinsin nAnBnC 即 2222 sinsinsin 3 sinsinsin nAnBnCnAnBnC 1 因为 2222 1 cos21 cos2 sinsinsin1 cos 22 nBnC nAnBnCnA 2 1 2cos cos2cos2 2 nAnBnC 2 2coscos cos nAnBnCnBnC 2 2coscos cos nAnBnCnBnC 2 2coscos nAnBnC 故 2222 sinsinsin2coscos nAnBnCnAnBnC 2 又因为 2 2coscos nAnBnC 2cos 1cos nAnA 20 2 cos 1cos 2 2 nAnA 因而 2 19 2coscos2 44 nAnA 3 将 3 代入 2 得 222 9 sinsinsin 4 nAnBnC 4 将 4 代入 1 得 2 9 sinsinsin 3 4 nAnBnC 即 3 33 3 sinsinsin 22 nAnBnC 例 3 4 4 求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的 4 3倍 即 222 4 3abcS 其中 a b c为三角形的三边长 S为三角 形的面积 5 证明 由海伦 秦九韶面积公式 2 Ss sa sb sc 其中 2 abc s 于是 2 16 Sabc bca cab abc 222222444 2 b cc aa babc 由柯西不等式 2222222444444 b cc aa bbcacab 4442 abc 当且仅当 222 222 bca cab 即abc 时等式成立 21 于是 444222222 4 4 abcb cc aa b 变形得 444222222 222abcb cc aa b 222222444 3 222 b cc aa babc 即 2222 3 16abcS S是三角形的面积 故有 222 4 3abcS 当且仅当abc 时等号成立 例 3 4 5 设 ABC 为任意三角形 求证 1 222 222 C tg B tg A tg 分析 从所要证明的不等式出发 构造如下两组数 222 ABC tgtgtg 1 1 1 由柯西不等式 有 22222 2 111 22 2 2 1 2 1 2 1 2 C tg B tg A tg C tg B tg A tg 即 2 222 1 3222222 ABCABC tgtgtgtgtgtg 把上面这个不等式与求证的不等式比较 可知如果能推导出 3 222 ABC tgtgtg 问题就解决了 但是 3 222 ABC tgtgtg 所 以 这样构造的两组数不能证明求证的不等式成立 因此应修改所构 造的两组数如下 22 222 ABC tgtgtg 222 BCA tgtgtg 由柯西不等式 A 有 2 222222 222222222222 ABBCCAABCBCA tgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtg 即 22 222 222222222 ABBCCAABC tgtgtgtgtgtgtgtgtg 把上面不等式与求证不等式比较 可知要证原不等式成立 须证 1 222222 A tg C tg C tg B tg B tg A tg 上面这个不等式 可证明如下 由已知 ABC 22 ABC tgctg 1 22 1 222 AB tgtg ABC tgtgtg 1 222222 ABBCCA tgtgtgtgtgtg 这样 本题即可证明了 根据上面的分析 写出证明如下 先构造如下两组数 23 222 ABC tgtgtg 2 2 2 A tg C tg B tg 由柯西不等式有 2 222222 222222222222 ABBCCAABCBCA tgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtg 即 22 222 222222222 ABBCCAABC tgtgtgtgtgtgtgtgtg 由已知 ABC 22 ABC tgctg 1 22 1 222 AB tgtg ABC tgtgtg 1 222222 ABBCCA tgtgtgtgtgtg 于是 有 1 2 222 222 ABC tgtgtg 222 1 222 ABC tgtgtg 5 用柯西不等式解释样本线性相关系数 6 7 24 在 概率论与数理统计 一书中 在线性回归中 有样本相关系数 r 1 2 2 11 n ii i nn ii ii xxyy xxyy 并指出1r 且r越接近于 1 相关程度越大 r越接近于 0 则相关程度越小 现在可用柯西不等式解释样本线性 相关系数 现记 ii axx ii byy 则 r 1 22 11 n ii i nn ii ii ab ab 由柯西不等式有 1r 当1r 时 2 22 111 nnn iiii iii abab 此时 i i ii yyb k xxa k 为常数 点 ii x y1 2 in 均在直线 yyk xx 上 当1r 时 2 22 111 nnn iiii iii abab 即 2 22 111 0 nnn iiii iii abab 而 2 2 22 1111 nnn iiiiijji iiiij n abababa b 25 2 1 0 ijji ij n aba b 0 ijji aba b i i b k k a 为常数 此时 此时 i i ii yyb k xxa k 为常数 点 ii x y均在直线 yyk xx 附近 所以r越接近于 1 相关程度越 大 当0r 时 ii a b不具备上述特征 从而 找不到合适的常数k 使 得点 ii x y都在直线 yyk xx 附近 所以 r越接近于 0 则相关 程度越小 6 推导点到直线的距离公式 已知点 00 P xy 及直线 22 0 0 l AxByCAB 设 111 P x y是l上任意 一点 点P到 1 P的距离的最小值 1 PP 就是点P到l的距离 证明 1 PP 00 22 AxByC AB 证明 因为 1 P是l上的点 所以有 11 0AxByC 1 而 1 PP 22 1010 xxyy 2 由柯西不等式 2222 10101010 ABxxyyA xxB yy 26 1010 AxAxByBy 1100 AxByAxBy 3 由 1 得 11 AxByC 4 将 4 代入 3 则有 2222 101000 ABxxyyCAxBy 即 22 100 ABPPCAxBy 00 CAxBy 移项则有 1 PP 00 22 AxByC AB 5 当且仅当 10 10 yyB xxA 即 1 PPl 时 5 式取等号 即点到直线的距离公 式 1 PP 00 22 AxByC AB 英文文献翻译 经典定理 柯西 施瓦茨不等式 加权算术平均值不等式及赫尔德不等 式 现在我们通过常规技巧建立几个经典定理 定理 14 柯西 施瓦茨不等式 设 n aa 1 n bb 1 为实数 则有 22 2 2 1 22 2 2 1 nn bbbaaa 2 2211 nnb ababa 证明 令 A 2 1 2 1 aa B 22 1 n bb 当 A 0 时 可得 n aa 1 0 此时所给不等式显然成立 因此我们可设 A B 0 现在我们作如下代 换 ni A a xi 1 1 原不等式等价于 2 11 22 1 22 1 nnnn bxbxbbxx 然而我们知道 22 1 n xx 1 为什 么 故其等价于 22 1 n bb nnb ababa 2211 2 27 接下来 我们做另一个代换 ni B b y i i 1 则不等式等价于 1 2 11 22 1 nnn yxyxyy 或者 nny xyx 1 11 因此我们只需证明1 11 nny xyx其中1 22 1 22 1 nn yyxx 这是 很容易的 我们应用均值不等式可以推导出 1 2 11 2 2 222 1 2 1 1111 nn nnnn yxyx yxyxyxyx 现在我们应用柯西 施瓦茨不等式来证明内斯比特不等式 内斯比特 对所有的正实数 cba 我们有 2 3 ba c ac b cb a 证明 9 应用柯西 施瓦茨不等式我们有 2 3 111 baaccb baaccb 它可变形为 2 9 ba cba ac cba cb cba 或者 2 9 3 ba c ac b cb a 这里有一关于问题 12 简短的证明 伊 朗 1998 证 明 对 所 有 的zyx 1 若 zyx 111 2 则 有 111 zyxzyx 方法 2 我们注意到 zyx 111 1 111 z z y y x x 我们应用柯西 施瓦茨不等式则有 111 111 zyx z z y y x x zyxzyx 问题 18 证明对所有实数0 cba有 abcccabbbcaaaaccccbbbbaa 222422442244224 222 解 我们可以得到如下等式和不等式链 28 cyclic bbaa 4224 cyclic ba b ba a 22 22 4 22 4 cyclic ba b ba a 222 1 22 4 22 4 柯西 施瓦茨不等式 cyclic ba a ba a 222 1 22 4 22 4 cyclic ca a ba a 4 22 4 22 4 22 2 均值不等式 cyclic bca a 2 2 2 4 柯西 施瓦茨不等式 cyclic bcaa 24 2 使用证明柯西 施瓦茨不等式同样的想法 我们发现了一个自然推 广 定理 15 设 ij a nji 1 为正实数 我们有 n nnnnn n nn n n n n n aaaaaaaaaa 21121111111 证明 由于是齐次不等式 同定理 11 的证明一样 我们可令 1 1 1 n n in n i aa或者1 1 n in n i aai 1 n 则不等式变形为 1 2112111 nnnnn aaaaaa 或者1 1 1 in n i i aa 故足以证明对所有的ni 1 当1 1 n i