奥数 六年级竞赛 质数 合数.教师版word.doc

质数、合数第6讲1. 利用质数、合数的性质解题2. 灵活掌握质数、合数的拆分方法本讲主要是对质数、合数的性质的灵活运用，并对质数2、5的特殊性深刻理解，同时对一些质数、合数的拆分规律进行归纳总结1 质数与合数一个数除了和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：和不是质数，也不是合数.常用的以内的质数：、，共计个；除了其余的质数都是奇数；除了和，其余的质数个位数字只能是，或.考点： 值得注意的是很多题都会以质数的特殊性为考点. 除了和，其余质数个位数字只能是，或.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于的质数(均为整数)，使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数，再列出所有不大于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数.例如：很接近，根据整除的性质不能被、整除，所以是质数.3 若干个整数的和已知，求这些整数的积最大的方法拆分原则：多拆3，最多拆两个2，不拆1拆分后乘积最大4 找个连续合数的方法方法一：，这n个数分别能被2、3、4、(n+1)整除，它们是连续的n个合数其中表示从1一直乘到n的积，即123n方法二：，(其中表示2，3，4，n，的最小公倍数)利用质数、合数性质解题【例 1】 已知是质数，也是质数，求是多少？【分析】 是质数，必定是合数，而且大于1又由于是质数，大于1，一定是奇质数，则一定是偶数所以必定是偶质数，即 巩固 (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?分析 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数所以甲填的数与乙填的数都不相同【例 2】 (2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数，存在无穷多组含有个等间隔质数(素数)的数组例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)【分析】 最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：第一个质数第二个质数第三个质数满足要求打5172971931172941193143294153374961475971巩固 (全国小学数学奥林匹克)从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是 分析 由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字6，如此类推十位可选3，个位选2所以，可以读到的最大数是98567432数字排列如图【例 3】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数【分析】 设这三个质数分别是、，满足，则可知、中必有一个为11，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、13或3、7或4、5(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11拓展 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？分析 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5如果末位数字是3或9，那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了所以个位数只能是7这个三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个【例 4】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有 种不同的组成6个质数的方法请将所有方法都列出来【分析】 除了2以外，质数都是奇数，因为09中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：2，3，5，7，41，89，2，3，5，7，61，89，2，3，5，7，89，401，2，3，5，7，89，461，2，3，5，7，61，409，2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89，2，3，5，67，89，401，2，5，7，43，61，89，2，5，7，61，83，409即共有10种不同的方法拓展 (2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，质数是 分析 注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数是314159【例 5】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用表示所有被3除余1的全体正整数如果中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被的任何数整除，称此数为“质数”问：第8个“质数”是什么？【分析】 “数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，“质数”应为上列数中去掉1，16，28，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，所以，第8个“L质数”是31【例 6】 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数，去掉首位和末位得到一个两位数是质数，又知这个四位数是72的倍数，求这个四位数【分析】 设这个四位数为，由题目可知，所以，四位数是根据：“去掉首位和末位得到一个两位数是质数”，“这个四位数是72的倍数”可得，即可以得到所以的结果有两种可能：，可能是80，71，17，62，26，53，35，44，98，89其中80，62，26，35，44，98为合数只有71，17，53，89是质数又因所以(是8的倍数)把17，53，89代入上式：不能满足，只有71可以满足上式：【例 7】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数如年份数1991，具有如下两个性质： 1991是一个回文数 1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积 在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质和的年份数，还有 【分析】 这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881符合条件的两位质数只能是11，所以符合条件的只有三个，即 111011111， 111311441，1115l1661铺垫 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)具有这种形式的数共有 个分析 若两位数、均为质数，则、均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个数拓展 如果某整数同时具备性质： 这个数与1的差是质数； 这个数除以2所得的商也是质数； 这个数除以9所得的余数是5 我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是 分析 条件也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件，除以9余5，在两位的偶数中只有 14，32，50，68，86这五个数满足条件其中86与50不符合，32与68不符合，三个条件都符合的只有14这个数是14【例 8】 一个等差数列的连续5项都是质数，那么这个等差数列的公差最小是多少？【分析】 显然公差应该是一个偶数，如果是奇数的话，那任意相邻的两项就必然是一个奇数一个偶数了同样的道理，公差如果不是3的倍数，那任意相邻的三项中必然有一个是3的倍数，如果第一项是3, 则第4项也是3的倍数，不能是质数了；综合分析得，公差应该是2和3的倍数，所以公差至少是6.如果公差是5的倍数，则公差至少是30；如果公差不是5的倍数，因为连续项中至少有一个是5的倍数，所以只能是第1个是5,取6为公差，那剩下的就分别是11、17、23、29,恰好满足要求，所以公差最小是6拓展 有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？分析 首先除了2以外的质数都是奇数，在任意9个连续自然数中，至多有5个数是奇数，这5个奇数中必然有一个5的倍数，所以质数最多有514个构造过程如下：首先有4个偶数，所以这9个数中最大的和最小的都是奇数，中间的一个自然也是奇数；而且9个连续自然数有3个3的倍数，只能有1个奇数，有2个偶数，那么第2个数和第8个数是3的倍数的偶数，这样的话第5个数也就是中间的数必然是3的倍数，为了节省“合数”，所以我们应该让中间的一个数既是3的倍数，又是5的倍数，经试验105可以做中间数, 发现这9个数是101、102、103、104、105、106、107、108、109, 刚好有4个质数101、103、107、109质数、合数的灵活拆分【例 9】 把分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，则这时乘积的所有不同质因数的和是 【分析】 如果拆成的数中有，则将加入其它的数中将会使乘积更大，所以拆成的数中不能有；如果拆成的数中有不小于的数，由于，即，所以将再拆成与会使乘积更大，所以拆成的数中不能有不小于的数；如果拆成的数中有，由于，所以可以将再拆成两个，这样乘积不变所以；拆成的数应全为和又因为，所以，如果出现个以上的，将个换成个会使乘积更大；所以，拆成的数中最多只能有个，其余的全为而，所以应将拆分成个和个，这时其乘积最大而此时乘积只有和这两个不同的质因数，所以答案是总结拆分原则：多拆3，做多拆两个2，不拆1拆分后乘积最大巩固 若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？分析 20053668，则拆成：【例11】 将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？【分析】 拆成2，3，4，6，7，81不应出现在拆成的数中把从2开始的若干个连续自然数相加如果，而，则与a的差只可能为0，1，2，当差为0时，将a拆成当差为1时，将a拆成当差为2，3，n1中的数时，就将该数从2，3，n1，n中删除，其余数即为所拆之数本题中，比30大5，故将5去掉，30被拆成巩固 (2008年湖北“创新杯”)电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播 A7天B8天C9天D10天分析 由于希望播出的天数要尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少又，如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出由于已有过一天播出2集的情况，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子里播出例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9等均可所以最多可以播7天【例11】 写出10个连续自然数，它们个个都是合数【分析】 在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126同学们可以在这里随意截取10个即为答案可见本题的答案不唯一老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数【分析】 如果10个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数第10个是11的倍数，那么这10个数就都是合数又，m3，m11是11个连续整数，故只要m是2，3，11的公倍数，这10个连续整数就一定都是合数设m为2，3，4，11这10个数的最小公倍数m2，m3，m4，m11分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数11的倍数，因此10个数都是合数所以我们可以找出2，3，411的最小公倍数27720，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722，27723，2772427731，他们分别是2，3，411的倍数，均为合数说明：我们还可以写出(其中n！123n)这10个连续合数来同样，是m个连续的合数那么200个连续的自然数可以是：说明：构造法的应用可以很快得出符合条件的10个连续自然数，而且可以拓展到更多连续自然数的情况【例12】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？【分析】 在所有的质数中，从小到大第13个质数是41，因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少是按题目要求分拆45有如下12种方法：按题目要求分拆46有如下7种方法：按题目要求分拆47有如下14种方法 ： 因此满足题意最小自然数是47拓展 求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？分析 考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4合数合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4(2n)合数即8n合数(其中n1即可)当该数被8整除时， 该数可表示为4(2n)8 ，n1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4(2n)9，n1,所以大于等于25的被8除余1的都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4(2n)10，n1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4(2n)27，n1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4(2n)4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4(2n)21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4(2n)6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4(2n)15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是经检验，35的确无论如何也不能表示成合数合数合数的形式，因此我们所求的最大的数就是351 是质数，都是质数求是多少？【分析】 由题意知是一个奇数，因为，所以是3的倍数，所以2 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数【分析】 设这三个质数分别是、，满足，则可知、中必有一个为7，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或3、5，所以这三个质数可能是3，5，73 用，这个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这个数字最多能组成多少个质数?（并写出所组成的质数）【分析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有、均为一位质数，除了2以外，质数都是奇数，因为09中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数另4个质数分别以1，3，7，9为个位数，从而列举如下：2，3，5，7，89，461、2，3，5，7，89，641(.而且都不能被、整除，所以是质数)2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89，2，5，7，43，61，894 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错的【分析】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、