08群论的起源与发展.doc

群论的起源与发展（杰出的数学天才伽罗华）群论起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。我们今天就主要了解它的发展里程，成长历史。群论产生的历史背景从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2 + bx + c = 0，接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0的根是由系数的函数开四次方所得。但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。相继鲁菲尼和高斯都在这方面进行了研究。随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1 (x)与q2 (x)满足q1q2 (x) = q2q1 (x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合，而仅仅考虑可交换性q1q2 (x) = q2q1 (x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。可惜他英年早逝，留下遗书，遗书的主要内容，从数学方面看，都是重要成果，他提出了群的概念，用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。后人为了纪念他，将这套理论称之为伽罗瓦理论，这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。群论的创始人伽罗瓦简介1811年10月25日，伽罗华出生于法国巴黎郊区, 他的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，他童年时代就表现出有才能、认真、热心等良好的品格。1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，考入有名的路易勒格兰皇家中学。那段日子他经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的几何原理和拉格朗日的代数方程的解法、解析函数论、微积分学教程进行了认真分析和研究。1827时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁。他在报考巴黎综合技术学校时，由于在口试中主考的教授比内和勒费布雷德富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他，遭到落选。伽罗瓦在提及这次考试时，曾写道，他不得不听“主考人的狂笑声”。同年10月25日伽罗华被作为预备生录取入师范大学。进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，他的科学研究获得了初步成果。1830年7月，伽罗瓦将满19岁，他在师范大学的第一年功课行将结束，他这时写成的数学著作，已经使人有可能对他思想的独创性和敏锐性作出评价。伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉氏预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人，但没被提及。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊阿松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊阿松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易腓力浦朝代初期，年轻热情的伽罗华对师范大学教育组织极为不满。由于他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，被吉尼奥的忠实朋友，皇家国民教育委员会顾问库申起草报告，皇家国民教育委员会1831年1月8日批准立即将伽罗瓦开除出师范大学。之后，他进一步积极参加政治活动。1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。在监狱中伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争，另一面他还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。l832年3月16日伽罗华获释后不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。第二天上午，在决斗场上，伽罗华被打穿了肠子。历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有五年。伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。群的概念简介今天通常用的群的一个抽象定义是：一些元素（个数有限或无限）组成的集合，和一种运算，当对集合中任两元素施行这个运算时，所得结果仍然是这集合中的一个元素（封闭性）。这个运算是集合的：集合中存在一个元素设为e，使得对于这集合中任何一个元素a恒有ae = ea = a；而且对于集合中每一个元素a，存在一个逆元素a，使得aa = aa = e。若这个运算是交换的，这个群就叫交换群或Abel群，这时这个运算叫做加法，用“+”表示，这时元素e记作0，叫做零元素，如果这运算是不交换的，则叫做乘法，并把元素e记作1，叫做单位元素。希尔伯特在几何学情形对群所做的处理是：一个群由3个“本原”对象构成：一个集合G，一个元素e G以及G中的一个合成律既一个映射m：G*GG。关于群的3条公理：（1）合成律m是结合的，这就是说，对x，y，z G，有m (m (x，y)，z) = m (x，m (y，z)。（2）e是对于m的中性元，这就是说，对x G，有m (e，x) = m (x，e) = x。（3）每个元素x G有逆元x，换言之有m (x，x) = m (x，x) = e。一个群称为交换的，如果加之还有：对x，y G，m (x，y) = m (y，x)。如果G只有有限个元素，则称它为有限群；其元素个数称为G的阶。群G的子集H称为G的一个子群，如果对x，y H有m (x，y)H，x，eH。对数学家而言，群有下列要素组成：（1）一个集合G；（2）一种运算*，它为G中的任意一队元素x与y 确定一个仍属于G的元素x*y，运算*需满足下列三个条件（“群公理”）；（3）它满足结合律：对G中任意的x，y，z，有(x*y)*z = x*(y*z)；（4）G中存在单位元I，使得对于G中任意的x，有I*x = x*I = x；（5）G中的每个成员都有一个逆：若x属于G，则存在G中的元素y，使得x*y = y*x = I。群的内容数学中的系统可以说是一部数学的机器，它的主要部分是（1）元素；（2）相对应的运算。例如：（a） 元素是一切整数（正整数、负整数或0）； 运算是加法。 （b） 元素是一切有理数（可以写成两个整数的商的数，如 34。 0除外）； 运算是乘法。 （c） 元素是某几个文字（如x1、x2、x3）的置换； 运算是将一个置换跟着另一个置换。由于群的例子非常多，所以群的概念十分有用它不仅在数学中几乎无处不在，同样也出现在其他科学中，凡对一般群成立的论断对任一特殊的群也是成立的。任意的，抽象的群的性质都是从群的定义出发的。伽罗瓦留给世界的最核心的概念是群，这对所有时代都是最有意义的概念之一，在许多数学领域有它的应用。我们下面介绍几种群的例子让大家能明白群的思想:对称群 （1）对平面图形来说左右对称是日常生活中看到的，但数学家还有一种对称就是旋转对称。如等腰三角形有三个对称：作120的逆时针旋转（称为v）,作240的逆时针旋转（称为w），以及恒同变换I，此时一切保持不变。因为相继作两个120的旋转效果跟作一240的旋转相同，因此显然有v*v = w。同样，两个240的旋转等同于一个120的旋转，因此w*w = v。三脚架*IvwIIvwvvwIwwIv这就是由对称组成的群的一个简单例子。（2）十二面体是由十二个全等的正五边形组成的类似球形的立体，它有六十个旋转对称，立方体和十二面体两者的旋转对称自身都构成了群。（3）钟群：由12小时的钟点给出.取1到12的整数集，利用“钟表加法”作演算，其中的12在计算当中当作0，过了12又从1数起，例如5加5是10，7加8是3，11加11是10，7加12是7，等等。这样给出一个群，其单位元是12，群中任一数的逆是12减去该数所得的差，所以7是5的逆，9是3的逆,等等。（4）由四个动作构成的集合G =向右转R，向左转L，向后转H，不动I，若以接连动作表示两种动作的运算关系，则G是群，I是单位元L-1 = R，R -1 = L，H-1 = H。是他们让群论发展日趋成熟e伽罗瓦（e.galois，18111832）创立了具有划时代意义的数学分支群论在数学发展史上作出了重大贡献。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。Cayley（凯莱）曾经在1849年提出过抽象群，但这个概念的价值当时没有被认识到，远远超越时代的Dedekind（戴德金）在1858年给有限群下了一个抽象的定义，这个群是从置换群中引导出来的，他有在1877年提出了一个抽象的有限交换群。Kronecker（克罗内克）也给出了一个相当于Abel 群的定义，他规定了抽象的元素，运算，封闭性，结合性，交换性，以每个元素的逆运算的存在和唯一，他还证明了一些有关群的定理。1878年又是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置换群，这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西。Frobenins（费罗贝尼乌斯）和stickelberget（施莱克贝格）（18501936）合作，把认识又推进了一步，认为抽象群的概念应包含同余，他们提到无限群