2015GCT冲刺点睛(算术、初等代数、不等式、数列、概率).doc

GCT冲刺点睛-数学初等数学-算术算术考试情况总结算术共39题一、数的概念与运算（26道）1数的概念与性质（5道）2分数运算（3道）3比与百分数的的运算（9道）4算术表达式求值（9道）二、简单应用问题（13道）1. 平均值问题（2道）2植树问题（2道）3. 运动问题（5道）4. 单位量与总量问题（3道）5其他问题（1道）算术内容综述1数的概念：正整数、自然数、整数、分数（小数、百分数）、有理数、无理数、实数、复数等2数的运算（1）整数的四则运算；（2）小数的四则运算；（3）分数的四则运算*3数的整除 ：整除（）、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数（）、公约数、最大公约数、互质数、最简分数4比和比例：比例、，正比例关系、，反比例关系等算术典型例题一、算术平均数（平均值）问题例：某书店二月份出售图书3654册，比一月份多出售216册，比三月份少出售714册，第二季度的出售量是第一季度出售量的倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？分析：.二、植树问题*例1. 全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两端都栽求共栽梧桐多少棵？分析：例2. 将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数分析：根据要求，每边至少需要7个空，所以至少需要钉子三、运动问题例相遇与追及问题 （，）例：某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？分析：设队伍长度为 ，则，解得 2顺流而下与逆流而上问题例：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时求此客轮的航速与这条河的水流速度分析：因为 ，所以解得 3列车过桥与通过隧道问题例：一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒求这条隧道的长分析：设隧道长为 ，则 ，所以 四、简单方程(组)应用问题1比和比例应用题例有东西两个粮库，如果从东库取出放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的已知东库原来存粮5000吨，求西库原来的存粮数分析：设西库原来的存粮数为 ，则，所以 算术样题与真题选讲一、数的概念与运算（一）概念与性质例1（2003）记不超过10的质数的算术平均数为，则与最接近的整数是（ ）ABCD答：C分析：由于不超过10的质数只有四个，即，它们的算术平均数为，所以与最接近的整数是故正确选项为C一、数的概念与运算（一）概念与性质例1（2003）记不超过10的质数的算术平均数为，则与最接近的整数是（ ）ABCD答：C分析：由于不超过10的质数只有四个，即，它们的算术平均数为，所以与最接近的整数是故正确选项为C例2（2004）五支篮球队相互进行循环赛，现已知队已赛过4场，队已赛过3场，队已赛过2场，队已赛过1场，则此时队已赛过（ ）A1场B2场C3场D4场答：B例3.（2009）若将正偶数依次排成一行：则从左向右数的第个数码是（ ）A1B2C3D4答：A。例4. （2011）设，则被除的余数是（ ）. A. B. C. D. 答 C分析：由于，且除以的余数均为，所以除以的余数也为（二）分数运算例1（样题）方程 的根的个数为( )ABCD答：A分析：由于，所以方程 没有解，即其根的个数为故正确选项为A例2设均为大于零的实数，且 ，则（ ）ABCD与的大小关系与有关答：A分析：法1：由于，根据题中条件可知，即法2：由于与都大于零，且，所以在题中条件下有，即例3（2008），则（ ）A BC D分析：因为，所以故正确选项为A（三）比与百分数例1（2010）若某单位员工的平均年龄为岁，男员工的平均年龄为岁、女员工的平均年龄为岁，则该单位男、女员工人数之比为（ ）ABCD答 C分析：假设男员工人数是，女员工人数是根据题意可知所以 ，即 所以男、女员工的人数之比为例2（2003）某工厂二月份产值比一月份的增加，三月份比二月份的减少，那么（ ）A三月份与一月份产值相等B一月份比三月份产值多C一月份比三月份产值少D一月份比三月份产值多答：B分析：设一月份的产值为 ，则二月份的产值为，三月份的产值为 ，所以一月份的产值比三月份的产值多故正确选项为B例3. （2007）图中，大长方形被平行于边的直线分成了个小长方形其中位于在角上的个长方形的面积已经标出，则第个角上的小长方形面积等于（ B ）ABCD分析：设第4个角上的小长方形面积为, 将这四个角上的4个小长方形平移拼在一起，显然有比例关系式： ，解得 故选（B）例4（2006）一个容积为升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量为（ ）升A BCD答：B分析：根据题意，即，解得例5.（2010）若某公司有个股东，他们中任意个股东所持股份的和都不少于总股份的，则持股最多的股东所持股份占总股份的最大百分比是（ ）A B. C. D答 A 分析：不妨设.因为，所以.特殊法：设.因为，所以，从而 .（四）表达式求值例1（2003）（ ）ABCD答：B分析：因为，所以故正确选项为B例2（2006）（ ）A BCD答案：C分析：考虑到选择题特点，该备选答案中整数部分相同，分数部分不相同，因此只须计算各项的分数部分之和: 即 , 由此可知选C例3.（2010）（ ）A BCD答 A分析：由于，所以例4. （2009）（ ）A BCD答：C分析：例5.(2012)若是大于的正整数，且，则所在的区间是（ ）AB CD 分析: 因为，所以正确选项为D2的值是（ ）AB CD 答 B3 （2014） （ ）A BCD 答 C分析 本题是每年必考的一类问题，主要查了等差数列求和的方法、考查了两数平方差公式故正确选项为C二、简单应用问题（一）算术平均数（平均值）问题例.（2008）五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15，这五个数的平均值是（ ）ABCD分析：根据题意可知所求的平均值为故正确选项为D（二）植树问题*例.（2003）米大道两侧从起点到终点每隔米安装一盏路灯，相邻路灯间安装一面广告牌，这样共需要（ ）A路灯盏，广告牌面B路灯盏，广告牌面C路灯盏，广告牌面D路灯盏，广告牌面答：B分析：根据题意可知共需路灯的盏数为；共需广告牌的面数为故正确选项为B（三）运动问题例1.（2011）设两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车第一次相遇于距甲地公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原路返回，途中第二次相遇于距乙地公里处，则甲、乙两地相距（ ）公里. A.B.C.D.答 D分析 本题主要考查了运动中的相遇问题设甲、乙两地的距离为，两车的速度分别为，由题意可知两式相除，得 ，解得例2（2007）甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从区到区, 甲要用分钟，乙要用分钟如果乙比甲早出发分钟去区，则甲出发后（ ）分钟可以追上乙A B C D答：B分析：设由区到区的路程为，则甲每分钟走全程的，乙每分钟走全程的;甲每分钟比乙多走 乙比甲先出发5分钟，则乙已走了全程的，因此, 甲追上乙需要用（分钟）（四）单位量与总量的问题（功效问题）例（2004）某校有若干女生住校，若每间房住人，则还剩人未住下，若每间住人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ） ABCD答：C分析：设该校有女生宿舍的房间数为，则该校的女生人数是每间住人没有住满说明，而只有一间没住满则意味着由不等式得，由不等式得，考虑到是整数得（五）其他问题例(2006)个学生中，人有手机，人有电脑 其中有手机没电脑的共人，则个学生中有电脑但没手机的共有（ D ）人ABCD 答：D.分析：根据题意，既有电脑又有手机的人数为 ，所以有电脑但没有手机的人数是1(2013)下列道路交通标志图案中，轴对称的图形是（ ）A B CD 答 A3如图所示，某山区公路旁依次有甲、乙、丙、丁四家工厂每家工厂都有小公路通到大公路已知沿公路由甲厂到乙厂的路程为千米，由甲厂到丙厂的路程为千米，由乙厂到丙厂的路程为千米，由乙厂到丁厂的路程为千米，则甲厂到丁厂的路程为（ ）千米A B C D 答 B4（2014）甲和乙两人在米的环形跑道上同时同地起跑，如果同向而跑，分秒甲追上乙；如果背向而跑，半分钟相遇甲的速度是（ ）米/秒A BCD 答 DGCT冲刺点睛-数学初等数学-数和代数式【考试情况总结】第二部分 初等代数共56题一、数与代数式（18道）1乘方、开方运算（1道）2绝对值的的概念与性质（3道）3复数的基本概念与简单运算（9道）4简单代数公式（5道）二、集合与函数（7）1. 集合（1道）2. 函数（6道）三、代数方程（10道）1一元二次方程（5道）2二元一次方程组（1道）3一元二次函数（5道）四、不等式（2道）五、数列（6道）六、排列与组合（2道）七、概率初步（10道）1等可能事件的概率（8道）2简单概率公式（2道）数和代数式内容综述1实数的运算（1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简）（2）绝对值2复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、纯虚数、共轭复数、模、幅角）， ，加减：；数乘：，；乘法：；除法：，；3几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等）；;数和代数式典型例题例1若且，则的最小值是（ ）ABCD答：B分析：如图，方程表示复数对应的点在以点为圆心、半径是的圆周上，而最小，是指复数对应的点到点的距离最短，由图可知此最短距离为例2若能被整除，则A.B.C.D.答：D分析：因为，且是的解，所以，解得 10是虚数单位，则复数的虚部是（ ）AB CD 答 A数和代数式样题与真题选讲例1.（2003）已知实数和满足条件和，则的值是（ ）ABCD答：C分析：由于，所以而由可知或解方程组 和 得 和 从而 例2. （2011）设为坐标轴的原点，的大小关系如图所示，则的值是（ ）.A.B. C.D.答：B分析：本题主要考查了实数与数轴上的点之间的对应关系及绝对值的概念由图知，所以例3.(2012)若分别为的三边之长，则（ ）AB CD 分析（代数：绝对值概念，平面几何：三角形边长）因为三角形的两边之和大于第三边，所以答：D例4.（2004）表示的幅角，今又，则（ ）ABCD答：D分析： 如图，易知所以例5（2005）复数的模。AB2 C D分析：因为，所以，即正确选项为C例6（2006）复数的共轭复数是（ ）AB C D 答：A分析：由于，所以例7.（2011）若复数，则（ ）.A.B.C.D.答：B分析：本题主要考查了复数的除法运算与复数模的计算因为 ，所以 例8（2005）已知，则（ ）。ABC D答：B分析：由于，所以，从而例9.（2011） 若，则代数式的值为（ ）.A. B. C. D. 答：A分析：本题主要考查了代数运算及两数平方差公式4两个正数的算术平均值等于，乘积的算术平方根等于，则大数与小数的差是（ ）AB CD 答 C2（2014）设是由自然数组成的没有重复数字的任意序列，则 的最大值是（ ）ABCD 答 B8（2014）已知为虚单位,则（ ）ABCD答 AGCT冲刺点睛-数学初等数学-集合与函数集合与函数内容综述1集合运算（交集、并集、补集、全集）2函数（1）概念（定义、两要素、图形、反函数），（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）（3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）集合与函数典型例题例1已知，函数的图像关于原点对称的充分必要条件是 D (A) (B) (C)(D)分析：函数的图像关于原点对称的充分必要条件是函数为奇函数，故其偶次项的系数为，即例2设，且，那么 B (A)(B)(C)(D)分析：由于，所以选项(A)(C)不正确根据 及，可知集合与函数样题与真题选讲例1（2007）集合的子集的个数为（ ）ABCD答：C.分析：由个元素构成的子集有个；由个元素构成的子集有个；由个元素构成的子集有个；再加上空集与全集，共个 一般地, 个元素的集合所有的子集个数为例2（2005）设函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A B C D分析：考虑得解得即正确选项为D例3（200816）设，则有（ ）A BC D 分析：因为 易知，所以故正确选项为B例4.（2011）若函数是周期为的奇函数，则的值等于（ ）.A.B. C. D. 答： A分析：因为函数是周期为的奇函数，所以，从而例5.(2012)若是以为周期的奇函数，是以为周期的偶函数，则（ ）AB CD 分析：答：C例6（200916）若，则函数的最小值等于（ ）ABCD分析：如图，函数的最小值在直线与曲线的交点处取到由得，所以要求的最小值为正确选项为C例7.（2003）函数与的图形关于（ ）A直线对称B直线对称C直线对称D直线对称答：C分析：取，则与是两条关于对称的直线故正确选项为C9定义在实数集上的函数，满足，且在区间上严格单调增，则（ ）AB CD 答 A12设函数 若是正整数，且，则（ ）A B C D答 B13（2014）已知函数对任意实数均有，其中常数，且在区间上有表达式，则（ ）A BC D答 A19（2014）设函数，若方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）ABCD答 CGCT冲刺点睛-数学初等数学-代数方程代数方程内容综述1二元一次方程组解的存在性当时，有唯一解；当时，无解；当时，无穷多解2一元二次方程（1）求根公式（判别式）；（2）根与系数的关系3二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标）代数方程典型例题例1设，若是方程的两个根，求，分析：根据韦达定理可知 ，所以；例2指数方程组的解 A (A)只有一组(B)只有两组(C)有无穷多组(D)不存在分析：在方程组中每个方程的两端取对数，得由于与的系数不成比例，所以此方程组只有一组解代数方程样题与真题选讲例1.（2010）若图中给出的函数的图像与轴相切，则（ D ）ABCD分析：由于的图像与轴相切，所以方程有重根，故由图知，所以例2（2004）已知，且满足和，则（ ）ABCD答：B分析： 当时，易知，不满足条件所以表达式中根号前的符号一致，从而故正确选项为B例3（2006）方程所有实数根的和等于（ C ）A 2006 B 4 C 0 D -2006分析：考查绝对值、代数方程的概念及对称性运用分析：方程等价于 方程若是方程的一个根，则也为其根因此, 方程的根成对出现, 且互为相反数，所以方程所有实数根之和等于例4（2007）方程的解为（ D ）A B CD分析：考查绝对值，根式的概念及简单代数方程求解由, 得等价联立方程即，, 求解得：例5.（2003）函数在上单调减的充要条件是（ ）A，且B，且C，且D ，且答：D分析：函数在上单调减意味着其图像的开口朝上和顶点的横坐标非负，所以且 ，故，且即正确选项为D例6（2008）抛物线的图象不经过（ ）A 第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限分析：由于抛物线的开口朝下、对称轴是、顶点坐标为，所以此抛物线只可能不经过第二象限故正确选项为B例7.(2012)二次函数的图象与轴有两个交点和，顶点为如果，那么的值是（ ）A B C D 分析: 的顶点纵坐标为，又，所以 解得答：D7某个锐角的正弦和余弦是二次方程的不同的两个根，则之间的关系是（ ）AB CD答 D 10（2014）已知，方程的两个实根,满足，则 （ ）ABCD答 DGCT冲刺点睛-数学初等数学-不等式不等式内容综述1不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式）性质：基本不等式：；2几种常见不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等，；不等式典型例题例1若，则的最小值为ABCD答：C.分析：例2已知集合，集合，若，求得取值范围分析：当时，；当时，所以当时，不会有；当时，若，则不等式真题选讲例.(2012)一次选举有四个候选人甲、乙、丙、丁，若投票结果是：丁得票比乙多，甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是（ ）A甲、丁、丙、乙B丁、乙、甲、丙C丁、甲、乙、丙D甲、丁、乙、丙分析: 由题意，得丁乙，（1）甲乙丙丁，（2）甲丙乙丁，（3）由，得甲丁；由，得 乙丙（4）由（1），（4）可知甲丁乙丙答：DGCT冲刺点睛-数学初等数学-数列数列内容综述数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和、数列与数集的区别），2等差数列（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：（等差）中项公式、平均值3等比数列（1）概念（定义、通项、前项的和）；（2）简单性质：（等比）中项公式；数列典型例题例1设是一等差数列，且，求和分析：由于，所以；例2设是一等比数列，且，求和分析：设数列的公比为，则，所以； 或 ；数列样题与真题选讲例1（2005）三个不相同的非实数成等差数列，又恰成等比数列，则等于（ ）A B C D答：A分析：根据条件可知，从而，由于，所以解得 ，即正确选项为A例2（2006）设为正整数，在与之间插入个正数，使这个数成等比数列，则所插入的个正数之积等于（ ）A BC D答：A分析：设此等比数列的公比为，则，即，所以例3. （2011）已知数列的通项是，则该数列前项的和等于（ ）.A.B.C.D.答：B分析：本题主要考查了等差数列前项和公式、组合法因为，所以 例4.(2012)如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等比数列如果数阵中所有数的乘积等于，那么（ ）A B CD 分析: 根据题意，且，所以由，得答：C5（2014）两个正数与使得成等比数列，则其公比是()A B C D答 C5数列按如下规则构成：，的数字和，如，则（ ）A B C D 答 C6如图所示，已知，都是等腰直角三角形，若它们的总面积是平方厘米，则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米A B C D 答 BGCT冲刺点睛-数学初等数学-排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理内容综述1分类求和原理与分步求积原理2排列与排列数（1）定义；（2）公式注 阶乘（全排列）3组合与组合数（1）定义；（2）公式；（3）基本性质：4二项式定理：排列、组合、二项式定理典型例题例15个男生和2个女生拍成一排照相（1）共有多少种排法？（）（2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（）例2100件产品中，只有3件次品，从中任取3件，（1）恰有一件次品的取法有多少种？（2）至少有一件次品的取法有多少种？ （3）至多有两件次品的取法有多少种？例3如果的展开式中的系数等于，那么的值是（ ）A（BCD答：D分析：由于，所以对应的项是根据题意可知 ，所以例1（2007）支足球队，等分为组进行阶段赛，每组中的各队之间都要比赛一场 小组赛比赛的总场数是（ B ）AB CD分析：每组的各队之间要比赛场，8组共赛场例2（样题）5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，载到5坑内，一坑一棵，5个坑内至多载两棵柳树，5个坑都载了，有多少种载法？(A) 281(B) 200(C) 81(D)275GCT冲刺点睛-数学初等数学-古典概率古典概率内容综述1基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件2概率的概念与性质（1）定义（非负性、规范性、可加性）；（2）性质：，3几种特殊事件发生的概率（1）等可能事件（古典概型）（2）互不相容事件 ；对立事件 （3）相互独立事件 （4）独立重复试验如果在一次试验中某事件发生的概率为，那么在此独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为 古典概率典型例题例1在100件产品中，只有5件次品从中任取两件，（1）两件都是合格品的概率是多少？（2）两件都是次品的概率是多少？（3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？例2甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是和（1）两人都投中的概率是多少？（2）恰有一