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也谈利用导数的几何意义解题 广西 王强芳 中学理科编辑部 邓国勋 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处 的切线的斜率. 在现行的高中教材数学第三册（选修II）中，用运动变化的观点将曲线的割线的极限位置所在的直线定义为在处的切线.由这个定义出发，我们可以发现，函数图象上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围.利用这个结论，可以解决鲜明两类问题.1 证明不等式例1 证明分析：本题的证法较多，整理谈谈如何利用上面结论来证明. 若时，不但衡是显然成立；若时，原不等式等价于 1.不妨设.则问题转化为：在函数的图象上任取两点，求直线的斜率的范围.因为函数的图象上任意两点连线的斜率的范围，就是曲线上任一点切线斜率的范围.因此将问题进一步转化为：求的导数的值域的问题.这样，问题便轻松获解. 即综合得原不等式成立.点评: 本题的证明利用了两次转化，首先是由代数转化成几何，将式转换成切线的斜率，然后，再由几何到代数，由割线的斜率转换成切线的斜率，再转换成函数的导数.这充分体现了中学数学里的几种重要的数学思想方法.二该题的几何本质是双曲线上支的图象上任两点的连线夹在双曲线的两条渐近线之间.例2 已知的定义域为，且，求证 ：证明： 所以原不等式等价于即要证函数图象上任意两点连线的斜率 当时， 巩固训练：已知证明： 小结：形如或型的不等式的证明，都可利用上述方法解决.2 恒成立求参问题例3 已知集合是满足下列性质函数的全体：若函数的定义域为，对任意的有（1）当时，是否属于，若属于，给予证明，否则说明理由；（2）当，函数时，若，求实数的取值范围.分析：本题若用常规解法，解答较繁；若用导数的几何意义，则十分简单.解：（1） 当时，（2）由当时，为所求. 巩固训练：已知函数对于时总有恒成立，求实数的取值范围. 上面几例，利用导数的几何意义解答，大大丰富了数学解题方法的研究，同时培养了学生的发散思维能力及学习数学
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