一类奇摄动拟线性边值问题的激波解.doc

一类奇摄动拟线性边值问题的激波解陈婷 姚静(安徽师范大学数学与计算机科学学院 安徽芜湖241000)摘要：研究了一类奇摄动拟线性边值问题.在适当的条件下,应用微分不等式原理和匹配法讨论问题的激波解的存在性和渐近性态. 关键词：拟线性；边界值问题；奇摄动.MR(2000)主题分类：34E15 中图分类号：O175.14 文献标识码：A文章编号：1002-0462(2012)03-0317-061.引言奇摄动理论的应用是非常广泛的.在就业的微分不等式理论和边界层方法中,莫和姚应用奇摄动理论,解决了一些边界值问题,例如一类奇摄动非线性问题的反应扩散方程问题,在奇摄动非线性的捕食与被捕食系统,一类奇摄动非线性常微分方程问题和椭圆型方程边值问题.使用的微分不等式的方法和匹配原则,OU认为关于一类奇摄动拟线性问题的左边界层现象的解决方案满足一个不等式.在本文中,参考了文献9中的方法，我们将讨论文献8中的边界值问题的存在性和渐近性的解决方案,具有左边界层的现象,在每一个适当的条件下,具有正确的边界层和激波层._收稿日期：2010-06-25基金项目：国家自然科学基金(1090l003)和安徽省高校自然科学基金（KJ2011A135）资助作者简介：陈婷(1987 -) 女,安徽安庆人,M.S.D.,从事微分方程; 姚静荪(1956-),女,安徽黄山人,安徽师范大学教授，从事微分方程.现在我们研究了下列问题 (1) (2) (3)其中是一个正的小参数，A和B为给定常数.2.构造形式渐进式退化公式(1)是 (4)假设：H为关于其变元在相应的区域范围内充分光滑的函数；H问题(4),(3)(或(4),(2)分别存在具有单调增加的解(或) 且-令为激波位置.我们引入伸长变量： （5）将（5）式带入（1）式并让零阶的内层解为，则有 （6）则 （7）其中是相对于的正常数并必须适合外部解，让进而, （8） （9）其中d为任意常数.我们可以假设奇函数(8)和(9)中的d为一正常数.如果,我们将讨论在文献8中的第二个不等式或的情况.如果,我们将讨论或的情况.如果我们将讨论的情况. 1) 当激波位置在.令,(1)(3)式的零阶解为.令向内任意趋于,则有limit为零阶外部解.令向外任意趋于,则有limit为零阶内层解.则有 (10) (11) (12)由匹配原则得 （13）或 （14） 由于条件,和(13),(14)式和双曲正切和双曲反切函数性质得：当,零阶内层近似解由(11)式得出,当,零阶内层近似解由(12)式得出.且()当,(1)(3)的估计式为 (15)所拥有的激波层接近,d由(13)式决定.()当,(1)(3)的估计式为 (16)所拥有的激波层也接近,d由(14)式决定.2) 当激波位置在.令,(1)(3)式的零阶解为.同理与1),得 (17) (18) (19)则 （20）或 （21） 同理有：() 当,(1)(3)的估计式为 (22)所拥有的激波层接近,d由(20)式决定.()当,(1)(3)的估计式为 (23)所拥有的激波层也接近,d由(21)式决定.3)当激波位置在.令,我们由问题(1)(3)可以得到零阶外部解 (24) 易得.注意当左边时和右边时,且零阶内层解从增加到.后左外极限内层解是.右外极限内层解是.所以我们有 (25) (26) 由连续函数的中间值原理得存在唯一满足(25),(26)式,从而内层解为 (27)最后()当和时,有 3.主要结论我们得到以下定理： 定理 在假设HH下,奇摄动拟线性边值问题(1)-(3)存在一个解,并具有一致有效的渐进估计式：,当, (28),当, (29),当, (30),当, (31) 当 (32)其中由(11)(12),(18)(19),(27)给定.证明 现在我们只考虑情况和其他可以近似证明的.我们构造一个辅助函数和: , (33)和, (34)其中由(18)决定,是一个足够大决定以下的正常数.显然, (35)和 . (36)现在我们证明了如下不等式: , (37) , (38) 从假设的正切函数性质可得,易有一正常数M,如 其中介于和之间,因此选择,不等式(38)成立.同理我们有 .因此