二进制和方阵.doc

九、二进制同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满 10 进一”，对于其他进制则感到陌生。实际上，你只要留心一下，在我们的日常生活中，不仅使用十进制，还使用其他许多进制呢！你不信？我举一些例子。两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100 平方分米等于一平方米，100 平方厘米等于一平方分米，这里使用的是一百进制；1000 米等于一千米，1000 克等于 1 千克，这里使用的是一千进制；怎么样？实际上还可以发现更多的这样的例子。随着科学技术的发展，数字电子计算机的使用日益普遍，每位同学可能都使用过电子计算器吧？可是你们要知道，计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道，应该懂一些二进制数方面的知识。1.什么叫二进制所谓二进制，就是只用 0 与 1 两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个相同的单位组成一个和它相邻的较高的单位（所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了）。例如：2 在二进制中是 10；3 写成二进制数是 11；4 写成二进制数便是 100，那么 5 呢？应该是 101。同学们按照“逢二进一”（或“满二进一”）的法则，很容易得到以下两种进制的数字的对照表：表 1二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态0 或 1。这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示。下面表 2 中列出了在二进制中 13的几种不同表示方法：表 2当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多。2.十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目 1997 时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，即1997=11000+9100910+71也就是说：1997 中含有一个 1000，九个 100，九个 10 与七个 1。在表 1 中可以看到：二进制数 10 表示十进制数 2；二进制数 100，表示十进制数4；二进制数 1000，表示十进制数 8；二进制数 10000 表示十进制数 16；可以看出规律：二进制数 100000 应该表示十进制数 32，。那么我们写下一个二进制数 10110，则应表示它含有一个 16，一个 4 与一个 2，也就是10110=116+08+14+12+01，明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，我们约定：用（ ）2表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）10 表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。例 1 把（10110）2改写成十进制数。解 （10110）2=116+0814+12+01=164+2=（22）10例 2 把（1110101）2改写成十进制数。分析：因为位数太多，我们先从低位写起解 （1110101）2=11+02+14+08+116+132+164=1+4+16+3264（117）10从上面两道例题可以看到：将一个二进制数写成十进制数的第一步骤是：将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数。因为是“满二进一”，所以高位是相邻低一位数的 2 倍。一个二进制数的各个数位（由低位到高位）对应十进制数的规律是：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，第二个步骤是将各数位上对应的十进制数求和，所得结果便是相应的十进制数。再看一题。例 3 将（110100111）2改写成十进制数。分析：还是由低位写起。解 （110100111）2=11+12+1408+01613206411281256=1+24+32+128+256（423）10下面我们介绍如何将一个十进制数改写成相应的二进制数。例 4 把（60）10改写成二进制数。解 （60）10=3228=32+16+12=321684=32+16+84+0201=（111100）2说明：从解题过程中立即便能看出，将十进制数写成二进制数的过程，正好与将二进制数改写成十进制数的过程相反：先由高位开始考虑，将十进制数尽可能地凑出相应二进制数的最高位，然后逐步往下进行。例 5 把（45）10改写成二进制数。分析：（45）10不足 64，所以它对应的二进制数的最高位是 32，即 45=3213，剩下的 13 不足 16，则向下一位考虑。45=32016（85），剩下的 5 中包含一个 4，即 45=32016841，最后一位数是 1，又不足 2，所以对应的二进位数又空一位。解 （45）10=3201684021=（101101）2练一练：（1）将（31）10改写成二进制数；（2）将（78）10改写成二进制数。面我们再介绍一种将十进制数写成二进制数的常用方法除二倒取余法。例如要将（71）10写成二进制数，参见下式。我们将 71 除以 2，余数 1 相应写在右边（如果除尽，余数则写 0）；再将商 35 除以 2，余数 1 相应写在右边；再将这步的商 17除以 2，重复上述过程，直到商等于 1 为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数，这行数便是（71）10的二进制数表示法。即（71）10=（1000111）2例 6 用除二倒取余法将（38）10写成二进制数。（38）10（100110）2例 7 用两种方法将（107）10改写成二进制数。解 方法一（107）10=64+43=6432+11=6432016+8+3=6432+016804+2+1（1101011）2方法二107）10=（1101011）2练习九1.把下面的二进制数改写成十进制数。（10001）2； （11000）2；（101110）2； （111101）2；（1101001）2； （11011010）2。2.把下面的十进制数改写成二进制数。（19）10； （26）10； （54）10；（81）10； （123）10； （180）10。3.现有 1 克、2 克、4 克、8 克的砝码各一枚，在天平上能称出多少种不同重量的物体？想一想这是为什么？与二进制有关吗？十、二进制数的四则运算同学们一定记得，刚上一年级学习加法运算时有加法口诀到了学习乘法的时候，又有“九九乘法口诀表”。背诵“九九表”对每个小同学来说都是一件十分辛苦而费时的事，所以当时大家都希望“九九表”能够简单一些吧？由于我们使用的是十进制，所以它的四则运算法则不可能太简单。现在我们学习了二进制数，而二进制数中只有两个独立的符号“0”与“1”，所以二进制数的四则运算法则就简便多了！加法法则：00=0；01=1；10=1；1+1=10。乘法法则：00=0；01=0；10=0；11=1。上面列出的八条二进制运算法则可以归纳成八个字：“格式照旧，满二进一。”利用这一规则，可以很容易地实现二进制数的四则运算。只是对于减法，当需要向上一位借数时，必须把上一位的 1 看成下一位的（2）10。下面是一些例子，右边列的是十进制下的对照：加法运算：（100）2+（110）2（1010）211=10，本位记 0，并向高位进 1（即“满二进一”）46=10减法运算：（1100）2-（1001）2=（11）2被减数不够减，向高位借 1 当 2，2-1 得 1。12-9=3乘法运算：（101）2u65288X110）2（11110）25630除法运算：（11100）2u65288X100）2=（111）22847我们通过上面的四个例子向大家讲述了二进制数的四则运算法则的运用。下面再看一些例题例 1 （10110）2（1101）2=（100011）2验算是用和减去其中一个加数，它们的差应该等于另一个加数。例 2 （111101）2-（101110）2（1111）2验算时如同十进制数中一样，用差与减数相加，其和应该等于被减数。例 3 （10110）2u65288X101）2=（1101110）2验算时，是用乘积除以被乘数（乘数），其商应该等于乘数（被乘数）。例 4 （1001110）2u65288X110）2=（1101）2验算时，用商乘以除数，乘积应该等于被除数；也可以用被除数除以商，看这时的商是否等于除数。例 5 （111101）2u65288X10001）2=（11）2（1010）2当两个二进制数相除有余数时（余数也必须小于被除数），验算仍然与十进制数时一样，可以用商和除数相乘，再加上余数，结果应该得被除数。练一练：（1）（1011）2（10010）2 （ 2）（100101）2-（11100）2 （3）（11001）2u65288X111）2 （4）（100011）2u65288X111）2 （5）（100010）2u65288X1001）2 （6）（10101）2（1011）2（7）（101100）2-（10110）2 （8）（11010）2u65288X1011）2（9）（1000001）2u65288X1101）2 （10）（1111）2u65288X111）2通过以上的例题和练习，同学们可以清楚地看到：二进制数的四则运算法则较十进制数的四则运算法则少得多。这样，它的四则运算就很简单也容易掌握（注意出错往往在减法中的借位时发生）；由于在二进制中只有两个独立的符号“1”与“0”，这就很容易根据通电和断电，或电位的高与低来分别表示“1”与“0”，从而表示一个二进制数并进行计算，根据这两个原因（当然还有其他原因），使得大多数电子计算机广泛采用二进位制，至于一个数在计算机内部是怎样表示以及计算的，这将在同学们今后的学习中学到，在这里我们只是初步地了解一下。附练一练答案：（1）（11101）2； （2）（1001）2；（3）（10101111）2； （4）（101）2；（5）（11）2（111）2； （6）（100000）2；（7）（10110）2； （8）（100011110）2；（9）（101）2； （10）（1101001）2。其中第 10 题在连加时进位特别要注意，有三次进位是进 2。竖式如下：练习十1.计算二进制数的加法并进行验算。1100010001；1001001101110。2.计算二进制数的减法并进行验算。11000-10001；1001001-10110。3.计算二进制数的乘法并验算。1001101；1101110。4.计算二进制数的除法并验算。1011011001；10110100101101。5.计算二进制数的乘、除法并验算。111101011；100011011101。七、三阶幻方在 33（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上 19 这 9 个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。如果是在 44（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在 44 方格中填上 16 个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，直到任意阶。一般地，在 nn（n 行 n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上 nn 个连续的自然数（注意，这 nn 个连续自然数不一定非要从 1 开始），每个数占 1 格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的 n 个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做 n 阶幻方。这里我们主要学习三阶幻方。例 1 用 19 这九个数编排一个三阶幻方。分析与解 先用 a，b，c，i 分别填入图 1 的九个空格内，以代表应填的数，如图2。（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。同时我们可以看到图 2 中 e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。如果 e 以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。（2）求幻和幻和=（1+2+345+6789）3=453=15（3）选择解题突破口突破口显然是 e，在图 2 中因为 ae+i=beh=ceg=def=15，所以（aei）+（b+e+h）（ce+g）（d+ef）=15+151515=60，也就是：（ab+c+def+ghi）3e=60。因为 abcdefghi=45，所以 45+3e=60所以 3e=60-45 e=5，也就是说，图 1 中的中心方格中应填 5，请注意，这个数正好是 19 这九个数中正中间的数。（4）四个角上的数 a，c，g，i 的特点先从 a 开始讨论：a 是奇数还是偶数。如果 a 为奇数，因为 ai=10，所以 i 也是奇数。因为 adg=15，所以 d 与 g同是奇数或同是偶数。分两种情况：当 d、g 都是奇数时，因为 def=15，ghi=15，其中 e，i 都是奇数，所以 f，h 也只能是奇数。这样在图 1 中应填的数有 a，d，e，f，g，h，i 这七个奇数，而 19 这九个数中只有五个奇数，矛盾。说明 d，g 不可能为奇数。当 d，g 为偶数时，因为 df=10，ghi=15，cg=10，因为 i 为奇数，所以 f，h，c 只能是偶数，这样就有 c，d，f，g，h 五个偶数，而 19 这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明 d，g 都是偶数也不行。所以 a 不能是奇数，那么只能是偶数，于是由 a+i=10 知，i 也是偶数。用同样的方法可以得到 c，g 也只能是偶数。也就是说，图 1 中四个角上的数都应填偶数。（5）试验填数排出幻方：因为 e=5，a，c，g，i 是偶数，所以 a 的范围有 2，4，6，8 四个数，根据幻和等于 15 进行试验：当 a=2 时，i=8，c 可填 4，6。若 c=4，则有 g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若 c=6，则有 g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，这样填出两个三阶幻方。当 a=4，6，8 时，请同学们自己用上面的方法进行试验填数，作为练习。用 19 这九个数编排的三阶幻方有八个，如图 3 所示说明：在上面图形中给出的用 19 这九个数编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转，从而得到其余七个图形。因此，我们把这八个图形给出的八个幻方算作是同一种三阶幻方。例 2 如下图的 33 的阵列中填入了 19 的自然数，构成了大家熟知的三阶幻方。现在另有一个 33 的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使得其中最大者为 20，最小者大于 5，且每一横行、每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。分析与解 所给的三阶幻方中填入的是 19 这九个不同的自然数，其中最大的为 9，最小的为 1，要使新编制的幻方中最大数为 20，而 911=20，因此，如果在所给幻方中各数都增加 11，就能构成一个新幻方，并且满足最大数为 20，最小数大于 5。例 3 请编出一个三阶幻方，使其幻和为 24。分析与解 根据题意，要使三阶幻方的幻和为 24，所以中心数必为 243=8。那么与 8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为 16。1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方，其幻和为 24（如图 7）。例 4 在图 8 中的 A，B，C，D 处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。分析与解 从第一行和对角线可得，A7D=A106，7D=16，D=9，这样幻和=9156=30，从第一行中可求