二面角与法向量所成的角.doc

二面角与法向量所成的角摘要：二面角的大小与二面角的两半平面的法向量所成的角相等还是互补？这一问题一直困扰着许多的教师和学生，书中一直沿用观察法解决这一问题，同时也存在着观察的误差，本文用观察法为基础，以全新的角度解决这一问题。关键词：观察法 二面角 法向量 相等与互补正文：第一部分：概述（一） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的部分所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，棱为l ,两个面分别为、的二面角记为l。（二） 二面角的平面角：一个平面垂直于二面角l的棱l且与两个半平面的交线分别是两条射线OA,OB,O为垂足，则AOB叫做二面角l的平面角，显然取值范围：0, 。由二面角的定义，我们不难得到二面角的作图办法：定义法，垂面法，三垂线法等等。定义：（如下图）其中（）表示二面角内角，（）表示二面角外角。外角与内角之和为2。（三）平面的法向量：如果一条直线l与一个平面垂直，那么这条直线的方向向量a与平面也垂直，这条直线l叫平面的法线，这个向量a叫平面的法向量,记作对于平面法向量的求解，主要把握住两个概念:一是垂直(只需要与平面内两个不共线向量垂直即可，原因可以用平面向量的基本定理和向量的运算来解释，也可以用线面垂直的判定定理来解释)；二是法向量只是方向向量（两个方程不可能解任意含有三个未知数的方程，由于只是方向向量，所以可以令其中一个非零未知数为任意非零常数即可）。（三）法向量相对于二面角的方向如左图，其中（1） n1,n3,都是平面的法向量，n2,n4都是平面的法向量；（2） n1 n2的方向都向二面角角内，n3 n4的方向都向二面角角外。第二部分：研究必要性实例一：（2009年高考全国卷2）18，如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形SD底面ABCD，AD= ，DC=SD =2,点M在侧棱SC上ABM=60o（）证明：M是侧棱SC的中点；（）求二面角S-AM-B的大小。实例二：（2008年高考全国卷2）19，如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC，（）证明：A1C平面BED；（）求二面角A1-DE-B的大小。从这两个例子我们不难发现：第一个例子的二面角的大小显然是一个钝角，第二个例子就不太容易判断是锐角还是钝角，因此，书中一直提倡用观察法去判断二面角的大小是钝角还是锐角，难免存在一些因视角问题而产生的错误，而很多老师和学生常常对于这一问题上往往忽视它的重要性，但是我们更应该认识到数学是一门艺术，更是一门科学，要求的是简洁性与准确性，所以，研究这一性质是非常重要的。第三部分：探究过程我们先来观察平面的法向量相对于二面角的内角与外角的关系，如下图所示：（1） （2）（3） （4）过空间中任意一点作一个平面垂直于二面角l的棱l且与两个半平面的交线分别是两条射线OA,OB,O为垂足，则AOB二面角l的平面角，在平面内任取一点P分别作PEOA，PFOB，垂足分别为E，F，显然直线PE，PF分别叫做平面，的法线，当然n1,n2分别叫做平面，的法向量，观察：法向量的方向（1）同时向内，（2）同时向外，（3）（4）一个向内，一个向外发现：（1）（2）法向量所成的角与二面角的大小互补; （3）（4）法向量所成的角与二面角的大小相等。结论：当法向量的方向都向二面角内或二面角外（简称：同向）时，法向量所成的角与二面角的大小互补；当法向量的方向一个向内，另一个向外时（简称：异向）时，法向量所成的角与二面角的大小相等；第四部分：解决问题实例二：(2)解：（如右图）建立空间直角坐标系D-xyz;依题意得：A1（2,0,4），D（0,0,0），E（0,2,1），B（2,2,0）设平面A1DE与平面BDE的法向量分别为：n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)，则，所以二面角A1-DE-B的大小为（原因是：n1的方向向二面角外，n2的方向向二面角内；是异向，所以角的大小相同）。第五部分：教育意义通过对本知识点的研究，深化对二面角的认识，准确把握二面角的大小与二面角两半平面的法向量所成的角相等（与互补）的关系，充分让学生体会数学的美，体现严格的逻辑性，准确性和简洁性，使之更加系统化，完整化，弥补了观察法所带来的严重不足；让学生充分认识到，我们的教育不是应试的教育，而是循序渐进的，完美的，科学的，理论联系实际的，不是猜出来，看出来的，而是有理有据的，不会让同学们在做这种题的时候心存怀疑，而是百分之百的准确化，轻轻的描一下平面的法向量，完全解决