两个平面位置关系复习.doc

两个平面位置关系复习二.知识讲解：1. 两个平面的位置关系（1）两个平面平行没有公共点（）（2）两个平面相交有一条公共直线（）2. 两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（书例题）（2）垂直于同一条直线的两个平面平行3. 两个平面平行的性质定理（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面（例题）（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面4. 两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段。可以证明，公垂线段都相等，定义公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。 5. 两个平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角就说两个平面互相垂直，记作。 6. 两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 7. 两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 8. 二面角 （1）二面角的概念 二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。 二面角大小可用其平面角来度量，取值范围（2）方法提要：作二面角平面角的方法 利用二面角平面角的定义 利用三垂线 作棱的垂面（3）二面角平面角的求法 定义法：利用图形中的已知点作出二面角的平面角后，通过一个或几个可解的直角三角形或斜三角形解得 利用射线面积公式 利用异面直线上两点间距离公式【典型例题】例1 如果两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。证：设，则有两种情形和，经过A在内作由，而又由经过一点A有且只有一条直线与垂直，故AB与重合，故例2 已知，PA面ABC，PA=AB=BC=，求二面角APCB的大小。解：过A作ADPB交PB于D（可以证明，AD平面PBC）由过D作DEPC于E，连AE，则AEPC故为二面角ADCB的平面角在等腰中，由，则故另法可证为二面角APCB的平面角在中，又法例3 如图，和都是直角三角形，AB=BC，把沿AC折起，使所在平面与所在平面垂直，若AB=，求C点到平面ABD的距离。 解： 面ABC面ACD，且交线为AC，DC平面ACDDCAC DC面ABC DCAB ABBC， AB面BCD 面ABD面BCD且交线BD过C作CHBD于H，则CH面ABD AB=BC=， 在中，在中， 例4 四边形ABCD中，AD/BC，AD=AB，将沿对角线BD折起，记折起后A的位置为P，且使平面PBD平面BCD。（1）求证：CD平面PBD；（2）求证：平面PBC平面PDC；（3）求二面角PBCD的大小。 证：（1）（2）（3）作EFBC于F，连结PF，则为二面角PBCD的平面角，即二面角PBCD的大小为另法，又由例5 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO由底面ABCD是正方形O是AC的中点在中，EO是中位线PA/EO而EO平面EDB且平面EDBPA/平面EDB（2）证明：（3）解：由（2）知，PBDF，故是二面角CPBD的平面角由（2）知DEEF，PDDB设正方形ABCD的边长为，则PD=DC=，BD=，在中，在中，则，所以，二面角CPBD的大小为另法例6 如图，在中，CD是的平分线，AC=6，BC=4，沿CD将折起到的位置，使，求二面角的大小。解：过B、A两点分别向CD及其延长线作垂线BE，AF，垂足分别为E、F在中，在中， 设CD折起后，设二面角的大小为由 即二面角大小是注1：当异面直线分别在两个相交的半平面内，它们的公垂线在棱上时，由异面直线上两点距离公式，易知此处是二面角大小。注2：这种求二面角的方法，避开了平面角的作图【模拟试题】一. 选择题：1. 一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是两个平面平行的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 正方体中，以每两条棱确定的平面中，与对角面垂直的平面有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 已知下列四个命题，其中真命题的个数为（ ）（1）直线上有三个不同的点到平面的距离都相等，则；（2）过平面外三个不同的点，有且只有一个平面与垂直；（3）三条共点的直线两两垂直，则所得的三个平面两两垂直；（4）直线和平面都成等角，则A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个4. 在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面距离的2倍，则这个二面角的度数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 以上都不对5. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定6. 一条线段与一个直二面角的两个面都相交，这条线段与这两个平面所成角的和为（ ） A. 90 B. 不大于90 C. 大于90 D. 不小于907. 分别表示不同的直线，表示不同的平面，下面四个命题中真命题的个数是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 直二面角的棱上取一点P，过P在内分别作与棱成角的射线，则两射线所成的角为（ ） A. 45 B. 60 C. 120 D. 60或1209. 在空间，下列命题中正确的是（ ）A. 如果两直线与直线所成的角相等，那么B. 如果两直线与平面所成的角相等，那么C. 如果直线与两平面所成的角都是直角，那么D. 如果平面与两平面所成的二面角都是直二面角，那么10. 下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）过平面外一点有且只有一个平面平行于已知平面；（2）过平面外一点有且只有一个平面垂直于已知平面；（3）过直线外一点有且只有一个平面平行于已知直线；（4）过直线外一点有且只有一个平面垂直于已知直线A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 四面体的四个面中，直角三角形最多有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题，正确的有（ ）（1）；（2）；（3）；（4）A.（2）与（4） B.（3）与（4） C.（1）与（2） D.（1）与（3）二. 填空题1. 在正方体中，点O是侧面正方形的中心，则平面AOB与平面AOC所成的二面角是 。2. 若点A为直二面角的棱上一点，两条长都等于的线段AB、AC分别在内，且都与成，则BC的长为 。3. 已知菱形ABCD的对角线AC=，沿BD把面ABD折起与面BCD成的二面角，则点A到面BCD的距离为 。4. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA=AC=，则二面角的大小为 ，二面角的大小为 。5. 是正三角形，P是外一点，PA=PB=PC，若，则二面角的大小为 。6. 已知，于M1，NA是的斜线，若NAMN，MN=，NA=，M1A=，则 。7. 正方体中M、N分别是棱和的中点，则面BMN与面ABCD所成二面角的正切值等于 。8. 已知是直线，是平面，给出下列命题（1）若垂直于内的两条相交直线，则；（2）若平行于，则平行于内的所有直线；（3）若，且，则；（4）若，且，则；（5）若，且，则。其中正确的命题的序号是 。【试题答案】一. 选择题：1. B2. C 提示：含两个底面和一个对角面共有三个平面。3. C 提示：命题（1）和（3）是真命题。4. A5. D 提示：当满足题设的两个二面角的棱不平行时，这两个二面角的大小关系不确定。6. B 提示：可用特殊情形验证。当线段有一个端点在棱上时也满足题设条件，此时线段在二面角的一个面内，则线段与这个平面所成的角为0，因此线段与二面角两个面所成角之和即为线段与另一个面所成的角，故应选B，并且当线段与另一个面垂直时取得90。7. A 提示：只有命题（4）是真命题8. D 提示：由于是两射线所成的角，故应分锐角和钝角两种情形。9. C10. B 提示：命题（1）和（4）是正确的，而（2）和（3）是错误的。11. D提示：如答图所示，AB平面BCD，为，则由三垂线定理可知ACCD，则也为。因此四面体ABCD的四个面可以都是直角三角形，故选D。12. D二. 填空题：1. 90 提示：由OCOB，又OCOAOC平面AOB，又OC平面AOC，故平面AOB平面AOC。2. 或提示：设直线AB与AC所成锐角为，则，故，当时，当时，故BC的长为或3. 提示：如答图1即AH为A到面BCD的距离由，则，在中，答图14. 90；提示：如答图2所示，取E为BD的中点，连结AE、CE则AEBD，CEBD。即为二面角ABDC的平面角，AC=，则由知取F为BC中点，连结EF、AF即为二面角ABCD的平面角，则答图25. 60 提示：设P在上的射影为O，由PA=PB=PC，则O为正的中心，则，故，故6. 提示：如答图3，作于A1，连结。由，则由三垂线定理的逆定理知。在中，则在中，AN=C，则在中，M1M=AA1则答图37. 提示：如答图4，设面BMN交棱A1D1于F，由于，则设FN与DA延长线相交于E，则BE为面BMN与面ABCD所成二面角的棱作AHBE于H，连NH，则为所求二面角的平面角，设正方体棱长为在中，在中，故所求二面角的正切值为答图48.（1）（4）提示：由线面垂直的判定定理知（1）正确。又由面面垂直的判定定理知（4）正确。高二数学直线与平面平行的判定和性质人教版一. 教学内容：直线与平面平行的判定和性质二. 教学重、难点：1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内 2. 直线和平面平行的判定 ， ， 3. 直线和平面平行的性质 4. 将线面问题转化为线线问题“过线作面找交线”【典型例题】例1 如图，已知P是 ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD/平面MAC 证：连结AC、BD相交于点O，连结MO O为BD的中点，又M为PB的中点 MO/PD又 MO 面MAC，PD 面MAC PD/面MAC例2 正方体 中，棱长为 ，画出过A、C、B1的平面与下底面的交线 。解：在面 内，过点 作直线 由正方体性质 面 为面 与面 的交线 例3 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。已知： ， ，求证： 证：过 作面 交面 于 同理，过 作 又 又面 过 交 于 例4 如图，A、B分别是异面直线 上的两点，AB的中点O作面 与 、 都平行，M、N分别是 上的另外的两点，MN与 交于点P。求证：P是MN的中点。 证：连结AN交 于Q，连结OQ、PQ ，OQ是过 的面ABN与 的交线 OQ同理PQ/ 在 中，O是AB的中点，OQ/BN Q是AN的中点 又 PQ/AM P是MN的中点例5 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于一点或两两平行。已知： 求证： 交于一点或 证： 的位置关系只有相交或平行两种情况（1） 与 相交时，设 ，则 P为 和 的公共点 又 相交于同一点P（2） 时， 故 两两平行例6 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB， ，且AM=FN，求证：MN/面BCE。 证：作MGBC于G，NQBE于Q，连结GQ，则MG/AB，NQ/AB MG/NQ 而 MG=NQ 四边形MGQN为平行四边形 MN/GQ MN 面BCE，GQ 面BCE MN/面BCE例7 正方体 的棱长为1，过 且平行于对角线 的截面的面积等于多少？解：连结 交于O 取 中点E，连结OE、 ， E、O分别为 的中点 面 ， 面 B1D/面 【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 长方体 中，如下图，点 ， 求证：MN/平面ABCD。 2. 如下图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，求证：AQ/平面CEP。 3. 已知P是 所在平面外一点， ，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据。 4. 已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内。 【试题答案】1. 证明：连结AC，A1C1，因