侗族生活中的数学.pdf

2 0 1 1年 第 5 0卷 第 1 0期 数 学通报 4 1 侗族生活中的数学 吴秀吉 贵州 省凯里学院附属 中学5 5 6 0 0 0 侗族是一个没有文字的民族 所 以对侗族数 学文化的挖掘只有从他们的生活着手 而侗族数 学很大一部分表现在他们 的建筑构造和制作过程 中 代表侗族建筑艺术典范的鼓楼 其建筑工艺 堪 称精 妙绝 伦 它 是侗 族建 筑 工艺 的结 晶 据 考 证 其历史可 以追 溯至侗族社 会 的原 始 氏族 早 期 侗族鼓楼吸收汉式木构建筑的某些特点 与 自身的风格渗透 融合在一起 形成了既有完美 的建筑 艺术 及 成熟 的建 筑技 术 又 有浓 郁 的 民族 气息 它是人类建筑长廊的瑰宝 明珠 在建筑 文化史上占有一席之地 因此 侗族数学文化 自 然主要在鼓楼的构造和装修 的整个工艺流程或制 作过程 中反映出来 我们通过对鼓楼建筑的某些 工艺 流 程或 制作 过程 所 用到 的数 学 原理 数 学 思 想方法的研究得到以下结果 1 鼓楼建筑中的初等几何 鼓楼建筑的整个工艺流程和制作过程充分体 现了侗族人民已经较好地掌握了数学抽象的思想 方法和对初等几何的应用 如图 1 是鼓楼一个角 的平 面 图 A B C D 四 点 分 别 是 鼓 楼 的 四 根主承柱 线段 AB B C C D DA AC分别 为连接柱子 的五根木枋 且 AB C D 一般 为正方 形 AC为对 角 线 而 图 1在 制 作 过 程 中 分别 在呈 圆柱形 实 际上 是不 规 则 的原 木 如 图 2 的 两头掉垂线 作 出 A B C D 后再将 原木旋 转 9 O 又分 别掉垂线作 出 AB C D 且 AB上 A B C D上C D 垂 足分别 为 o 0 并用 墨 线连接 B C AC A D BD 这一 过程是 将 原木抽象为直线 O 0 的过程 图 l 图 2 C 侗族木工师傅在原木上凿柱眼时 运用到相 关初等几何的原理 过程如下 如图 3为木工弹 墨线的示意图 并且 F在平 面 A B C D 上 的射 影 F EO 0 点 C A 在平 面 A B C D 上的射 影 分别为 0 0 因此折线 AFC在平面A B C D 上 的射影为 o 0 又因为 0 0 上 c D 0 0上A B 所以 C D A B 由三垂线定理知 c D l F C A B 上 F A 又 因 为 F Cn F A F 所 以 C D 上平面 F O 0 A B 上平 面 F O 0 又因为 A B c D C平 面 A B C D 所 以平面 B C D l 平 面 F O 0 且 平 面 A B C D n 平 面 F O 0 一 O 0 任取一点 G AC G BD且 GC G D H B C H A D 且 HC 一 H D 我 们 只 要沿 HH 和 G G 分别钻孔 所得到 的两个孔一 定 相互 垂 直 图 4是 柱子 的一个横截 面 AC n BD一0 且 AC 上BD 取定 A0 0 B O C 0 D 顺 次 连 4 2 数学通报 2 0 1 1 年 第 5 o卷 第 l 0期 接 AB B C C D D A 并 且取 AD 的中点 E 连 接 OE AO E D OE 4 5 再 沿 O E方 向 钻孔 即可得 图 的对角线 枋 的连接方式 F 图 3 圈 4 在鼓楼建筑中 有一种鼓楼是八 面倒水 其 平面结构图为正八边形 侗族木工师傅制作正八 边形 的过程 中 我们发 现他 们 已经 掌握 了通 过 平 面角去实现二面角的相关计算 即如图 5 O A 0 F 分 别 是 直 角 A O A C O D 的 平 分 线 把平 面 F A 记 为 S 平面 OB C 0 记 为 S O 0 与圆柱的两个底面都垂直 所 以 A O B 或 F 0 C 是 二 面 角 S 一0 一 S 的 平 面 角 沿 O A 及 O B 分 别钻孔 得到 的两个孔 所成 的角 大 小 为 1 3 5 图 5 然后用八根等长的木枋依次将八根柱子连接 起 来就 得 到一 个正 八边 形 类似地 制作六面倒水 的平面图正六边形 再如 图 6是鼓 楼 窗 格 的平 面 图 四边 形 MNP Q 为 正 方 形 再 对 MN NP P Q Q M 分 别 四等 分 即 MB B P P C C N ND DE 一E E EP PF FQ 一 Q G GQ QH H H 一 H A AM 所 以 AB C D EF GH AH I3 C DE F G 且 Rt AA B Rt CB D Rt EC F Rt G D H 即两两 全等 所 以 1 2 一 3 一 4 一 5 一 6 7 8 H 9 B D D C 图 6 所 以 HAB AB C一 BC D C DE一 DE F一 E F G一 F GH一 GHA一 r 八 边形 AB c DEF G H 虽不是 正八 边形 但它 的各 厂 云 个顶点都在 以 0为 圆心 以 MN 为半径 的圆 周上 说明侗族对多边形有广泛的应用 以上足见 侗族对初等几何应用达到了较高 水 平 2长度计算 中的近似计算和单位的换算方法 凡是学过勾股定理 的人都知道 正方形 的对 角线长等于边长的 2 倍 而 2 1 4 1 4 是 一 个无 理 数 在实 际 生活 中要 我们 去测 量一 个 数 的 2 倍等于多少 这是很难办到的 我们只能求 出正方形对 角线 长度 的近似值 把 2 取 为 1 4 或精确到小数点后面的第二 三位 即可 在调 查中 我们发现侗族人民为计算图 1中的 AC长 早就 有 了专 门 的公 式 即 对角线长一1 4 正方形 的边长 这与我们的理解完全一致 他们知道利用一 个 比较接近无理数的有理数去近似地代替这个无 2 0 1 1年 第 5 0卷 第 1 O期 数 学通 报 4 3 理数 从而实现 了用有理数近似代替无理数 这 充分的说明了侗族人 民具较好 的近似计算能力 A 4 图 7 图 8 图 7是 鼓 楼 屋 梁 上 的 一 个 剖 面 图 即 人 形 架 从 图形 上 我们 可 以 观察 到 R t OB A t o R t O B A i 一1 2 3 4 两两相似 并且它们有 一 个公共角 0 只要学过正切的人都知道 A B 一 0 B t a n O 其 中 0 B 的长 度 为 已知 而侗 族 没有文 字 更 无 正 切 表 可 查 当然 不 知 道 t a n 0的值 然而侗 族人 民从长期 的实践 中发现 只要给定一个常数 c 用 O B 分别去乘 以 就 可以把 AB 求 出来 在调查 中 发现侗族人 民 实际生活中早就有了专门计算直角三角形对边的 通用 公式 即 直角 三 角形 的对 边 一直 角 三角 形 的邻 边 C C为 正 常数 根 据 实 际 需 要 C 可 以取 不 同 的值 聪 明 的 侗族从长期的实践经验中发现鼓楼人形架 中应取 C一0 7 5 但侗族语言 中没有纯小数 碰到整数 部分为 0时 将其放到下一个单位进行运算 于 是取 c一7 5 用市尺将 0 B 一1 2 3 4 表 示 出来 再 分别把 它们代入 上式 就 可 以求 出 AB 的长 且它们 的单位是 寸 这就是侗族人 民在实际生活 中处理纯小数问题常用的方法 而图 7在实际制作中 常做成如图 8 那样 的 流线形屋面 曲线尽可能接近摆线 这样的设计 不仅使建筑给人感观上的美 而且能以最快的速 度 排水 3 鼓楼 建 筑 中的数 学 思想和 方法 3 1 鼓 楼 建筑 中 集合 同构 的思想 方 法 图 5中 我们把柱子的一个横截面上画的所 有 直线 看 作 集 合 P 记 为 P一 A B i 一 1 2 并规定 它的代数运算 0为横截 面上 直线与直线 的夹角 把柱子侧面上的直线与直线 0 O 所确定的平 面记为 玎 i 一1 2 n 把 在 内垂直于 的孔 中取一个 把不同平面上 的孑 L 放在一起看作集合 Q 并规定它的代数运算 O为 丌 与 一1 2 且 i Cj 的夹角 记 Q一 a l 且 A B c i 1 2 满足以下条件 A B 一 一 1 2 则 A B 0 A B 一p A B A B i J 一1 2 且 i j 又因为 P到 Q是 一映射 则 pc o Q 3 2 鼓楼 建筑 中平移 和 曲线逼 近 的思想 方法 B M 图 9 D C N 图 9是 柱子 未 必是 圆柱 与木 板垂 直 相交 的 一 个平 面 图 现 在 我 们 要在 平 面 板 B M NC 中 画 一 段弧 线并 且使 这段 弧 线 与弧 AD 未必 是 圆弧 全 等 在 图 9中设 AB C D 为矩 形 然后 将 BC分 成 7 l 等分 取定长为 l AB 1 过每一个分点作 一 条线段 平行 A B且与 AB相等 得到如 图 1 O AB A l B AB A r B A B B AB AB A B 一A B 依次这样做下去 在平面板 B C NM 内有 1个点 用一条 曲线依次把这 1 个点连接起来所得到的弧线 BC与 AD 全 等 如图 1 1 对图 9的整个 操作过程 中 可 以 看出 要在平 面板 B C NM 上画一条弧线并且使 4 4 数学通报 2 0 1 1 年 第 5 0卷 第 l 0期 它与弧AD全等 也就是把弧 AD平移到平面板 B C NM 上 从鼓楼建造 中 我们 发现侗族人 民 早就掌握了这种平移方法 且知道 n越大 B C 与 AD 吻合 程 度越好 图 1 1 在侗族生活中 有一种家俱 叫做 扁桶 是 一 个倒立的近似椭 圆台 其制作过程通常先做桶 的侧 面再做 上 底和 下底 图 1 2是侧 面 的平 面 图 制作桶底过程如 图 1 3 先 在侧面的上 口用 细线 拉成 如 图 1 2 其 中 AB为长 轴 c D 为短轴 c D c D i 一1 2 3 n 分别交长轴 于 O 在平板上 画线 如图 1 3 使 A B C D 与 AB C D 全 等 连结 C C C B D D D 即得 图 1 4 它 为我 们所 需 的扁 桶底 面 或 盖 面 椭 圆 一 一 0 l 3 4 D D D c C C 以上 渗透 有分 割 平移 以折线 代替 曲线 和 曲线逼近等现代数学思想 这充分说明了侗族人 民具备较好的现代数学思维基础 4 侗 族 生活 中的 数学概 念 及 常用计 算 我们除了对侗族鼓楼数学文化进行研究外 同时还 对侗 族 生活 中 的数 学 概念及 常用计 算 方 法 作了调查和研究 在侗族生活中所用 的计算单位 和计数 原 理与 现代 数学 完全 相符 三角形 正方 形 圆等几何图形概念与我们 自然语言中的相应 概念一致 主要是通过实物表现 出来 但抽象程 度不 高 侗族生活 中常用计算方法也 有加 减 乘 除 四则运 算 加 减 与现代 数学 方 法一 致 乘 法 则近乎于简便计算 主要用于买卖交易 中 设单 价 为 Y元 购买 的数 量为 2 C 斤 如果 要购 买 的数 量 为 1 0 为 非 负 整 数 且 8 侗 族 没 有 大 于 1 0 的计 数单位 倍 那 么他们 的计算方 法与 现代数学 的计算方法完全一致 对不是整十整百 的数 如 0 z b 0 2 与 双 曲线 C 一 一 1有公 共 的焦点 c 的一 士 条渐近线与以 c 的长轴为直径 的圆相交于 A B 两 点 若 C 恰好 将线 段 A B 三等 分 则 A n z一 c 6 z一 B n 一 13 D b 一 2 分 析本题 涉 及 四种 曲线 直 线 圆 椭 圆 双曲线 的方程 几何 图形及简单几何性质 等基 础知识 重点考查学生获取信息 分析问题和运 算求解等基本能力 叁壹捌柒伍 肆贰伍 伍叁壹贰伍 陆叁柒伍 柒肆叁柒伍 捌伍 玖伍陆贰伍 壹 零陆贰伍 壹壹陆捌柒伍 壹贰柒伍 壹叁捌壹贰伍 壹肆 捌柒伍 壹伍玖叁柒伍 这些 口诀用 于 1 6进制 与 l O进制之间的换算 例如 壹陆贰伍 表示 每市斤单价为 1 O 0元 则每市两为 0 0 6 2 5元 柒肆叁柒伍 表示 每市斤单 价为 7 O 0元 则 每市两为 0 4 3 7 5元等 口诀本身有 明显 的汉文 化的影 响 但他们 对此有较 好 的理 解 且 应用 自如 总之 通过对侗族鼓楼建筑的研究和侗族生 活中的数学文化的考察 我们发现侗族有着较好 的数学思维方式和丰富的数学文化内涵 同时侗 族是 一个