初中数学趣引.pdf

一 从故事 游戏开始 一 从故事 游戏开始 1 讲故事1 讲故事 梵塔 汉诺塔 问题 这是印度一个古老的传说 开天辟地的神梵天在印度北部的佛教圣地贝那勒斯的 圣庙里 安放着一块黄铜板 板上插着三根细细的 镶上宝 石的细针 细针像韭叶般粗 高像成人手腕到肘关节的长 在其中的一根针上 从下到上串着由大到小的六十四片圆金 片环 这就是有名的梵塔 如图 或称 汉诺塔 天神梵天授言 不论黑夜白天 都要有一个值班的僧侣 按照规定的法则 把这些金片在三根针上移来移去 一次只 能够移一片 并且要求不管在哪根针上 小片永远在大片的 上面 当所有的六十四片 都从梵天创造世界时所放的那根针 移到另外一根针上时 世界就将在一声霹雳中消灭 梵塔 庙宇和芸芸众生 都将同归于尽 这 便是世界末 日 世界真有末日吗 到底要搬多少次 多少天 2 做游戏2 做游戏 搬板 5 块板 每人发 5 块事先准备好的由小到大的纸板 可以在课前准备好 也可以让学生自己 用纸裁 代替金片环 在 1 2 3 三处移来移去 如图 一次只能够移一片 小片 永远在大片的上面 数数看 5 块纸板从一处移到另一处需要多少次 这个游戏 最先大概是在 1883 年的巴黎流传 当 时市面上销售的版本上面署名发明人是 N CLAUS DE SIAM 看来是 LUCAS D AMIENS 的化名 因此有人认 为那其实是法国数学家EDOUARD LUCAS想出来的游戏 3 学方法 3 学方法 递推与归纳 把移 1 片的次数记作 a1 移 2 片的次数 记作 a2 移 3 片的次数记作 a3 于是 我们可以把这两片粘在一起 看作一个整体 移动这个整体要 3 次 又可以把这 3 片粘在 一起 看作一个整体 移动它要 7 次 总之 把前面移过的看作一个整体 就有右表 an 1 2an 1 称为递推关系式递推关系式 是观察 归纳得到的答案 可以证明这个答案是正确的 利用递归思想来设计算法 是计算机算法的核心之一 当 n 64 时 a64 18 446 744 073 709 551 615 设每秒钟移 1 次 需要移 5845 亿年 按照现代的宇宙进化论 恒星 太阳 行星是在三十亿年前由不定形物质形成的 给恒星特别是给太阳提供能量的 原子燃料 还能维持 100 150 亿年 因此 太阳系 的整个寿命无疑要短于二百亿年 可见远不等僧侣们完成任务 地球早已毁灭了 练习 练习 1 和汉诺塔故事相似的 还有另外一个印度传说 舍罕王 打算奖赏国际象棋的发明人 宰相西萨 班 达依尔 国 王问他想要什么 他对国王说 陛下 请您在这张棋盘的 第 1 个小格里赏给我一粒麦子 在第 2 个小格里给 2 粒 第 3 个小格给 4 粒 以后每一小格都比前一小格加一倍 请您 把这样摆满棋盘上所有 64 格的麦粒 都赏给您的仆人吧 国王觉得这个要求太容易 满足了 就命令给他这些麦粒 请你计算一下 宰相要求得到的麦粒到底有多少呢 2 切月饼 相当于在圆内画直线 1 刀可以切 2 块 2 刀最多切 4 块 n 刀最多可切 多少块 二 中国古典智力游戏三绝 二 中国古典智力游戏三绝 科学出版社出版了一套 好玩的数学 十本 其中介绍了很多数学游戏 凝结着 中国传统文化 具有极强的趣味性 游戏中蕴涵着丰富的数学道理 对于开发人的逻辑思 维能力大有好处 同时它还可以培养学习的专注精神和耐心 1 七巧板 誉称唐图 1 七巧板 誉称唐图 宋朝已经流行 清朝有了专著 七巧板设计精巧 7 个部件的边与角关系密切 用它们可以拼 出各种不同的图案 数字 英文字母 简单的汉字 然而用七巧板 的 7 个部件只能拼出 13 种不同的凸多边形 1942 年我国数学家王 福春和熊全治给出了证明 现在已经设计了各种拼图板 以及立体七巧板等等 右面一幅是用三副七巧板拼成的画 猜 画的什么故事 2 九连环 誉称魔环 2 九连环 誉称魔环 据说春秋战国时期就已经诞生 九连环 外国人称为中国环 它的解法与梵塔问题类似 与美 国数学家弗兰克格雷发明的无线电通讯用的循环码严格对应 数 学上称为 同构 玩九连环练脑又练手 老少皆宜 3 华容道3 华容道 源自于 三国演义 关羽与曹操的故事 华容道是一种滑块游戏 它是由5 4个小正方形组成的长方形 四周有墙壁 代表华容道 内有 10 个棋子 如图 只有两个小方 块空着 是华容道的唯一出口 通过滑块的移动 关羽的让道 使 曹操逃出出口 你会玩吗 练习 练习 3 自己制作一付七巧板 选用七巧板的 7 个部件可以拼成 种不同的三角形 可 以拼成 种不同的正方形 你会用所有 7 个部件拼出 13 种不同的凸多边形吗 4 玩 华容道 请你在长方形内滑动棋子 让出空格 用最少的步数将曹操移出来 试试看 你能行 三 填数游戏 幻方与数独 三 填数游戏 幻方与数独 1 河图与洛书 1 河图与洛书 河图是最早的组合数学 八卦是最早的 二进制 洛书是最早的幻方 直观地考察河 图洛书 不难发现 这两幅图具有数字性和 结构对称性这两个明显特点 2 幻方 2 幻方 南宋数学家杨辉是世界上首先从数学 角度研究幻方的 他于 1275 年总结了 3 阶 幻方的构造方法 在他的著作里给出了 4 到 10 阶的幻方图 下面是用平移补空法 适用于奇数阶 构造 3 阶幻方 3 数独 3 数独 独立的数字 是一种源自 18 世纪末的瑞士 后在美国发展 并在日本得以发扬光大的数学智力游戏 因为每一个方格都填一 个个位数而得名 简称为 数独 由于数独逻辑简单 数字排列方 式千变万化 被公认为是锻炼思 维的好方法 目前还成立了数独 联盟 举办了世界数独锦标赛 例 在 9 9 的正方形方格 里已经有了若干个数字 如图 请将 1 到 9 填入其余空格中 使 整个大九宫格每行每列每个小 九宫格的数字都不重复 解 先填行 列 小九宫格数字多的交叉点 再排除交叉点不能填的数从而确定可 填的数 对于还不能确定的格子 用铅笔把可以填的数填上 如果格子里只能填某一个 数 或该行该列该小九宫格只有某一个数 那么这个数也就确定了 再删除同行同列同 小九宫格的这个数 如是进行 必要时加以讨论 练习 练习 5 将 9 个连续的自然数填入九宫格中 使横 竖 斜三个数之和为 60 那么这 9 个自然数中最小的是 6 如图是用 1 2 4 8 16 32 64 128 256 九个数组成一个三阶 幻方 满足正方形行 列 对角线上三个数的积相等 则图中 x y 依次是 7 请你用平移补空法构造一个 5 阶幻方 8 完成下列数独 一 数字宝塔 一 数字宝塔 雄伟壮观 千姿百态的宝塔 是我国古代文明的瑰宝 在数学王国中 也有许许多 多的 数字宝塔 令人感到数学的无穷神奇和无比巧妙 摘自趣味数学百科图典 数字宝塔 每层的基本结构相同 既美妙动人 又神秘莫测 不过 有的能添无限 层 有的只能添有限层 例如上面第二排的第一个宝塔已经添了两层 不过用上负数了 已达到 10 层 算 十全十美 了 其他宝塔可以添吗 有兴趣的同学不妨试试看 练习 练习 1 欣赏数字宝塔 猜想下面一行是什么 2 请欣赏下面的平方和宝塔 猜一猜下一个等式是什么 3 观察右面的数字宝塔 发现所加的个位数有什么规律 二 二 数字黑洞数字黑洞 黑洞原是天文学中的概念 表示这样一种天体 它的引 力场是如此之强 就连光也不能逃脱出来 数学中借用这个 词 指的是某种运算 这种运算一般限定从某些整数出发 经过某种规定的运算后 结果必然落入某个 数字黑洞 1 磁力数与 K 变换 1 磁力数与 K 变换 请你随便写出四个不完全相同的数码 按照从大到小的顺序组成一个四位数 再把 所得之数颠倒一下 从小到大的顺序 求它们的差 大的减去小的 再对这个差数 把上述的步骤重做一遍 于是可得到一个新的差数 结果一定是 6174 如选中的数字是 5 4 7 7 则 7754 4577 3177 7731 1377 6354 6543 3456 3087 8730 0738 8352 8532 2358 6174 这是偶然的吗 我们再随便举一个数 1331 按上面的方法连续去做 3311 1133 2178 8721 1278 7443 7443 3447 3996 9963 3699 6264 6642 2466 4176 7641 1467 6174 好啦 6174 的 幽灵 又出现了 大家不妨试一试 对于任何一个数码不完全相同 的四位数 最多运算 7 步 必然落入 6174 这个陷阱中 1955 年 1949 印度数学家卡普耶卡 D R Kaprekar 研究了这种变换 发现 对任意四位数 只要四个数字不全相同 最多进行 7 次上述变换 就会出现四位数 6174 这个数具有很强的磁性 能够吸引其它四位数 故称这个数为磁力数 这个数又好像宇 宙中的黑洞或捕捉猎物的陷阱一样 任何四位数掉进去就出不来了 故又称这类整数为 黑洞数 陷阱数 自我拷贝数 这种变换称为 卡普耶卡变换 简称 K 变换 即 前述之 重排求差 操作 四位数 6174 称为 卡普耶卡常数 或 6174 黑洞 四位 数的核 美国数学家马丁在 20 世纪 80 年代曾研究过此问题 因此这项研究在国际数学 界又称为 马丁猜想 6174问题 现在已经用计算机C 语言编程序验证了这个问题 2 关于磁力数的一般结论 2 关于磁力数的一般结论 一般地 当自然数 n 2 时 如果从 0 1 2 9 中任取 n 个不完全相同的数字 组成一个 n 位十进制数 k0 首位或前几位的数字可以是 0 然后从 k0开始不断地做 K 变 换 得出 k1 k2 那么结果会怎样呢 现在已经知道的是 n 2 只能形成一个循环 27 45 09 81 63 n 3 只能形成一个循环 495 n 4 只能形成一个循环 6174 n 5 只能形成三个循环 53955 59994 61974 82962 75933 63954 62964 71973 83952 74943 n 6 已经发现三个循环 549945 631764 420876 851742 750843 840852 860832 862632 642654 n 7 已经发现一个循环 7509843 9529641 8719722 8649432 7519743 8429652 7619733 8439552 n 8 已经发现四个循环 63317664 97508421 64308654 83208762 86526432 43208766 85317642 75308643 84308652 86308632 86326632 64326654 n 9 已经发现三个循环 554999445 864197532 753098643 954197541 883098612 976494321 874197522 865296432 763197633 844296552 762098733 964395531 863098632 965296431 873197622 865395432 容易证明 当自然数 n 2 时 对任意给定的由 n 个不全相同的数字组成的整数连 续做 K 变换 必定会形成循环 这是因为由 n 个数字组成的数只有有限个的缘故 但是 当 n 较大时 循环的个数以及循环的长度 指每个循环中所包含数的个数 尚不清楚 这也是国内一些数学爱好者热衷研究的一个课题 3 圣经数 153 3 圣经数 153 奇妙的数 153 是一位叫科恩的以色列人发现的 科恩是一 位基督徒 一次 他在读圣经 新约全书 的 约翰福音 第 21 章 时 当他读到 耶稣对他们说 把刚才打的鱼拿几条来 西门 彼 得就去把网拉到岸上 那网网满了大鱼 共 153 条 鱼虽这样多 网却没有破 数感极好的科恩无意中发现 153 是 3 的倍数 并且它 的各位数字的立方和仍然是 153 1 3 53 33 153 无比兴奋之余 他又用另外一些 3 的倍数来做同样的计算 最后的得数也都是 153 于是 科恩就把他发现的这个数 153 称为 圣经数 后来 英国 数学家奥皮亚奈对此做出了证明 美国数学月刊 对有关问题还进行了深入的探讨 任意取一个是3的倍数的数 求出这个数各个数位上数字的立方和 得到一个新数 然后再求出这个新数各个数位上数字的立方和 又得到一个新数 如此重复运算下去 最后一定落入数字黑洞 153 数字黑洞是一种神秘而饶有兴味的现象 它的发现有一定偶然性 它的计算过程很 简单 不容置疑 而它的证明却非常困难 有的至今还没有结果 这也恰恰是数学的诱 人之处 练习 练习 4 请你找出三位磁力数 5 角谷猜想角谷猜想 请你任意想一个正整数 如果它是奇数 则对它乘 3 再加 1 如果它是偶数 则对它除以 2 如此循环 最终结果是什么 日本数学家角谷静夫角谷静夫发现 三 神奇的 142857 三 神奇的 142857 142857 看似再平凡不过的六位数由什么神奇的呢 我们现在做一个游戏 把这个 142857 从 1 到 6 按顺序乘一下 就会出现如下 6 组数 字 142857 1 142857 142857 2 258714 142857 3 428571 142857 4 571428 142857 5 714825 148257 6 857142 同样的数字 只是调换了位置 反复出现 作了一次循环 142857 这个数字乘上 7 142857 7 999999 把 142857 分解成两组数字 142 857 这两个数字之和得出 142 857 999 再把 142857 分解成三组数字 14 28 57 这三组数字之和得出 14 28 57 99 关于 142857 神奇的解答 它发现于埃及金字塔内 它说明一星期有 7 天 它自我 累加一次 就由它的 6 个数字 依顺序轮值一次 到了第 7 天 它们就放假 由 999999 去代班 数字越加越大 每超过一星期轮回 每个数字需要分身一次 你不需要计算机 只要知道它的分身方法 就可以知道继续累加的答案 它还有更神奇的地方等待你去发 掘 也许 它就是宇宙的密码 数字越加越大 每超过一星期轮回 每个数字需要分身一次 142857 8 1142856 7分身 即分为头一个数字1与尾数6 数列内少了7 142857 9 1285713 4 分身 142857 10 1428570 1 分身 142857 11 1571427 8 分身 142857 12 1714284 5 分身 142857 13 1857141 2 分身 142857 14 1999998 9 也需要分身变大 原来 1 7 0 142857 循环 再求数字和 1 4 2 8 5 7 27 2 7 9 它们的数字和都是 9 以上各 个数的数字和都是 9 怪也不怪 这也有规律 比如 325 13 4225 325 的数字和为 1 13 的数字和为 4 4225 的数字数和为 4 练习 练习 6 观察 21 12 9 2 1 9 53 35 18 5 3 9 82 28 54 8 2 9 再写两行 找出规律 7 987654321 与 123456789 是两个有趣的数 请看 123456789 26 3209876514 987654321 18123456789 31 3827160459 987654321 27 26666666667 请你各写出两个有相同特点的式子 8 一个数恰好等于他的全部真因数的和 叫做完美数或完全数 例如 6 1 2 3 28 1 2 4 7 14 等等 你能找到一个三位的完美数吗 第 章 趣引 第 章 趣引 趣味图形连连看 趣味图形连连看 1 颠倒图形 1 颠倒图形 如图 人物头像是厨 师与害羞少女 倒过来看 却是绅士与阿拉伯老翁 2 隐藏图形 2 隐藏图形 如图 是花瓶还是夫 妻 是少女还是巫婆 3 错视图形 3 错视图形 如图 看起来线段都 是扭曲的 实际都是直的 有 7 个正方形 而右下 图里 平行四边形里的两 条对角线一样长吗 两条带箭头的线段一样长吗 4 魔术图形4 魔术图形 如图 正方形有 8 8 格 长方形有 13 5 格 实际上长方形应该多一条缝隙 趣味图形已经出现在生活中 比如 NOW NO SWIMS ON MON 是一句广告 把纸倒过来再看看 相同吗 一 图形的变化 一 图形的变化 1 位置变化 全等变换 1 位置变化 全等变换 平移平移 比如缆车 电梯 轴对称图形轴对称图形 比如倒影 蝴蝶 旋转旋转 比如自行车 风车 观察汉字 囍 的结构是 怎样的呢 2 大小变化 相似 形状不变 2 大小变化 相似 形状不变 比如同底照片一定相似 两个球 一定相似 还有相似的几何体吗 3 着色变化 地图着色 3 着色变化 地图着色 四色问题 任意一幅地图 区分 相邻区域 至少需要 4 种颜色 1852 年英国青年数学家格思里首先提出 直到1976年才由美国数学家阿佩尔与 哈肯用计算机给出证明 4 形状变化 拉伸 压缩等 4 形状变化 拉伸 压缩等 变形的动画都是形状变化 右图 的猫作了哪些变化呢 练习 练习 1 右图是改动的哈佛大学的入学试题 空格处填什么呢 2 如图的甲树经过变换可得到乙树 是怎样变换的 3 将右面方格中的图形 先向上平移 2 格 再向右平移 3 格 然后画出它的倒影 4 右面 6 个相同的树叶图形中 图形 a 与其他图形的位 置关系是怎样的 5 已知长4 宽3的长方形 若长与宽都拉伸到原来的1 5 倍 则面积是原来的多少倍 若将它的宽拉伸或长压缩成正 方形 则面积是原来的多少倍 6 给下列图形着色 使相邻两块颜色 不同 分别至少需要几种颜色 二 图形的剪拼 二 图形的剪拼 1 1 正方形的剪拼 正方形的剪拼 只要将两个正方形如图拼在一起 使两边在一条直线上 在 CE 上 取 CH DE 沿 BH FH 剪开 向上 向左平移 2 个 即可拼成正方形 联想 任意多个不同的正方形都能剪拼成一个大正方形 联想 任意多个不同的正方形都能剪拼成一个大正方形 只要逐步剪拼 n 个可以拼剪成 n 1 个 最后 2 个拼成 1 个 2 长方形的剪拼 2 长方形的剪拼 长方形可能剪拼成一个正方形吗 一般是可以的 如图将 5 1 的长方形剪 成 4 块 就可以拼成一个正方形 注 当两个长方形的边之比是无理数时不可以剪拼成一个正方形 练习 练习 7 用三个小方格组成的图形叫做 拐 如图 于是拼一个长方形至少要 用2个拐 拼一个正方形至少要用 个拐 用12个拐可以拼成 种不 同的长方形 怎样的长方形都能用拐拼成 8 俄罗斯方块是由 四个相连的小方格组成的图形 下图 单独用其中的一种 有 种可以用来拼成 4 4 的正方形 用其中不同的四种拼成 正方形有 9 将正方形分割成完全相同的四块 最简单的有 如图三种分割法 你还会画出另 1 种分割法吗 能不 能画出更多的分割法 10 将一个等边三角形分割成完全相同的三块 已经画出 1 种 再画出另 3 种分割法 11 如图是将 2 2 的正方形分割成相同的四块 再与 1 1 的正方形一起拼成一个正方形 勾股法 勾股法 1 能否将边长为 4 1 的长方形剪成相同的四块 与一个 1 1 的正方形拼成一个大正方形 如果长方 形边长为 4 3 呢 6 2 呢 2 想想看 什么样的长方形都可以剪成相同的四块 与一个 1 1 的正方形拼成一 个大正方形 再想想看 如果小正方形为 a a 呢 12 你会将 6 1 7 1 8 1 10 1 的长方形剪成若干块 再拼成一个正方形吗 三 图与树三 图与树 图是线段构成的特殊图形 1 迷宫迷宫 最早的迷宫在希腊 我国诸葛亮的 八卦阵 水浒 里的 盘陀路 都是迷宫 英国伦敦附近的汉普顿里有一座 1690 年建造的迷宫 如图 可以在分叉口与死角编号 得到一个网络图 这是最简单 而抽象的图 这方法在 图论 里有深入的研究 图里没有封闭线路 这图称为 树树 2 七桥问题与一笔画 2 七桥问题与一笔画 俄国加里宁格勒 原哥尼斯堡 有条河 河中有座美丽的小 岛 河上有 7 座桥 如图 每座桥只许走一次 能否把它们都 走遍呢 这是 位置几何 瑞士数学家欧拉把桥看作线段 把 A C 两岸与 B D 两岛看作点 抽象成下面的图 转化为一笔画 奇点与偶点奇点与偶点 分别有奇数 偶数条线段连接 由此可见 七桥问题无解 3 最短邮递路线问题 3 最短邮递路线问题 一个邮递员投送信件的街道如图 图上的数表示各段街道的 千米数 他从 A 点出发 走遍各街道 回到 A 点 如何走最合理 最短路程是多少 现有 8 个奇点 有 4 段路要重复走 即 1 千米的各多走 1 次 共 46 千米 4 货郎担问题 4 货郎担问题 某货郎家住 B 镇 想去 A C D E 四镇卖货 这些小镇之间的 距离 km 已注在图上 请你帮他找一条最短路线 不要求每条路都走 用最近邻法求解 B A C E D B 共 5 8 8 2 6 29km 5 哈密尔顿周游世界问题 5 哈密尔顿周游世界问题 世界上 20 个大城市分布在右图的顶点 能否从某城市出发周游每 个城市一次 再回到原地 1859 年爱尔兰数学家哈密尔顿提出并解决 将图形分成两块 围绕 其中一块 A B C D E F 边界转一圈 练习 练习 13 请你在右面的迷宫中上边进下边出 14 下列图中的点是奇点还是偶点 各有几个 能否一笔画 15 如图是动物园的平面示意图 交点处的小圆是一个参观点 为方 便游客不走重复路 打算开出两个出入口 请问出入口应该设在何处 然后再帮游客设计一条参观路线 可以到达全部参观点 16 右图若是某社区的街道 长方形 图上的数字表示各段街道的 千米数 从 A 点出发 走遍各街道 回到 A 点 最短路程是 若右图的街道转弯处都有一个报亭 从 A 点出发 将报纸分发到每 个报亭 回到 A 点 最短路程是 17 某风景区的旅游线路如图 其中 A 为入口处 B C D 为风景 点 C E 为三岔路的交汇点 图中所给的数据为相应两点间的路程 单 位 km 某游客从 A 处出发 以每小时 4km 的速度步行游览 每到一个 景点逗留时间为半小时 1 若该游客沿路线 A D C E A 游览加回到 A 处时 共用去 3 5h 则 C E 两点间的路程为 2 若该游客从 A 处出发 打算在最短时间内游览完三个景点并返 回A处 仍按上述步行速度和在景点的逗留时间 不考虑其他因素 请 你为他设计一条步行路线 并计算需要时间 18 牛顿植树问题 牛顿植树问题 9 棵数 栽 10 行 每行 3 棵 怎么栽 如图给 出 1 种栽法 你能画出另外 3 种解吗 画出一种也不错啦 第 章 趣引 第 章 趣引 没有正反面的纸 没有正反面的纸 1858 年 德国数学家莫比乌斯 根纸条扭转 180 后 两头再粘接起来做成的纸 带圈 只有一个面 一只小虫可以爬遍整个曲 面而不必跨过它的边缘 这种纸带被称为 比乌斯带 它的奇妙处还在于沿它中线剪开 得到的是一个两倍长的纸圈 是双侧面了 再沿它中线剪开 套着的纸圈 自己动手做做看 一 趣味立体图形一 趣味立体图形 1 1 克莱茵瓶 克莱茵瓶 1882 年德国数学家克莱茵 和 外部 之分 里外相通的瓶 但制作很困难 2 变幻的图形 2 变幻的图形 数数看 右图有几个正方体 以黑色为顶面有 6 个正方体 底面有 7 个正方体 3 不可能图形 3 不可能图形 荷兰艺术家埃舍尔画了许多捉弄人的 画 它们表现了实际不可能存在的事物 1958 年英国数学家彭罗斯发明了实际造不 出来的三接棍 4 橡皮几何图形 4 橡皮几何图形 右面是橡皮泥捏出的图形 洞的图形 有两个洞的图形 为它们分别是相同的 是等价的 何图形进行拓扑分类 练习 练习 1 请把下面 16 个图形进行拓扑分类 与 一 字等价的图形有 等价的图形有 个 2 可以将两个正方体骰子 如图并排放在一起吗 二 最简单的几何体 二 最简单的几何体 1 旋转体 1 旋转体 一个平面图形围绕平面内一条直 线旋转一周得到的几何体 如 球 半圆围绕直径旋转 圆柱 矩形围绕一边旋转 莫比乌斯发现 把一 后 两头再粘接起来做成的纸 一只小虫可以爬遍整个曲 这种纸带被称为 莫 的奇妙处还在于沿它中线剪开 而不再是单侧面 再沿它中线剪开 得到两个互相 自己动手做做看 克莱茵设计发明了一个没有 内部 相通的瓶 但制作很困难 右图有几个正方体 个正方体 以黑色为 荷兰艺术家埃舍尔画了许多捉弄人的 它们表现了实际不可能存在的事物 年英国数学家彭罗斯发明了实际造不 右面是橡皮泥捏出的图形 没有洞的图形 有一个 从拓扑的角度 可以认 是等价的 于是我们可以对几 个图形进行拓扑分类 其中 个 与 回 字 可以将两个正方体骰子 一个平面图形围绕平面内一条直 如 旋转 圆锥 直角三角形围绕直角边旋转 圆台 直角梯形围绕直角腰旋转 或圆锥被平行于底面的平面所截得 2 多面体 2 多面体 表面都是多边形的几何体 如 棱柱 一个平面多边形平移而得的几何体 棱锥 棱柱的一个底面收缩为一点所得 棱台 棱锥被一个平行底面截去顶部所得 棱柱 棱锥 棱台 按底面多边形的边数分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 比如 流星 焰火 运动的轨迹构成一条曲线 汽车挡风玻璃的刮水器运动时扫出一 个扇形面 你能在在生活中找出点运动成线 线运动成面 面运动成体的实例吗 3 柱体 锥体与组合体 3 柱体 锥体与组合体 柱体 圆柱与棱柱等的统称 但柱体不只有圆柱与棱柱 锥体 圆锥与棱锥等的统称 但锥体不只有圆锥与棱锥 组合体 几个简单几何体构成的立体图形 比如 六角螺母 比如 圆柱与圆锥相交得到圆形 在棱柱中 两个侧面 相交得到侧棱 在棱锥中 两条侧棱相交得到顶点 练习 练习 3 汽车轮胎是旋转体吗 4 在下列陈述中正确的是 A 半圆围绕直径旋转得球 B 矩形围绕一边旋转得圆柱 C 直角三角形围绕一边旋转得圆锥 D 直角梯形围绕腰旋转得圆台 5 任意三角形围绕它的一边旋转一圈 得到 6 在下列陈述中不正确的是 A 多面体至少四个面 B 四面体是三棱锥 C 三棱锥是四面体 D 三棱柱是五面体 E 长方体是六面体 F 六面体是长方体 G 长方体是四棱柱 H 四棱柱是长方体 7 右面图形中柱体是 8 下列陈述正确的是 A 四棱锥的底面是正方形 B 棱柱的底面平行且相同 C 锥体只有圆锥与棱锥 D 柱体都是多面体 9 已知球的表面积 S 4 2 R 体积 V 3 3 4 R 在 R 时球的表面积与体积数量相同 10 已知圆柱的体积公式是 V HR2 圆锥的体积公式是 V HR2 3 1 现有直角梯形的 底长为 1cm 2cm 直角腰长 1cm 求围绕它下底旋转一圈得到的几何体的体积 11 猜想直棱柱 侧棱垂直底面的棱柱 的体积 表面积怎样计算 由圆柱与圆锥体积 的关系 类比猜想棱锥体积的计算公式 12 用 6 个火柴盒 设长 4 宽 3 高 2cm 拼成一个长方体 有几种拼法 求最大和最小 表面积 三 正多面体与欧拉公式三 正多面体与欧拉公式 1 观察 n 棱锥与 n 棱柱 n1 观察 n 棱锥与 n 棱柱 n 2 2 2 正多面体 柏拉图体 2 正多面体 柏拉图体 每个面都是相同边数的正多边形 每个顶点都有相同棱 数 只有五种 如图 观察各种多面体顶点数 V 棱数 E 面数 F 之间有什么数量关系 3 欧拉公式 3 欧拉公式 瑞士数学家 自然科学家欧 拉 16 岁大学毕业 20 岁获法 国科学奖 29 岁解决天文世界 难题 右眼失明 35 岁担任柏 林物理数学所长 60 岁双目失 明 65 岁时大火烧去他的著作 他凭记忆 由儿子代笔写下了 886 本书与论文 共 45 卷 数 学上很多公式与定理都以他的 名字命名 例例 一个多面体有 20 个顶点 每个顶点都引出 3 条棱 各个面都是 N 边形 求 N 解 解 V 20 E 20 3 2 30 根据欧拉公式 F 2 30 20 12 E 12 N 2 30 N 5 练习 练习 13 一个正方体的表面涂满了颜色 将它切成 27 个大小相等的小立方块 设其中仅 有i个面 1 2 3 涂有颜色的小立方块的个数为 i x 则 1 x 2 x 3 x之间的关系为 14 用颜色区分多面体各个面 使相邻两个面的颜色不同 那么下列几何体至少要用 几种颜色 填表 15 将正方体截割去一块 可以得到不同的 几何体 如图的截面都是三角形 求这些几何体 的顶点数 V 面数 F 棱数 E 16 观察下面的几何体 求它的顶点数 V 面数 F 棱数 E 否满足欧拉公式 17 某个玻璃鉓品的外形是简单多面体 它的外表面是由三角形和八边形两种多边形 拼接而成 且有 24 个顶点 每个顶点处都有 3 条棱 设该多面体外表三角形的个数为 x 个 八边形的个数为 y 个 求 x y 的值 18 一个多面体有 6 个顶点 每个顶点都引出 4 条棱 各个面都是 N 边形 求 N 第 章 趣引 第 章 趣引 斐波那契与兔子数列 斐波那契与兔子数列 斐波那契也许是生活在丢番图之后 费马之前欧洲最杰出的数学家 在他最重 要的著作 算盘书 记载了一个问题 某 人饲养一对小兔子 如果它们每个月生一 对兔子 且新生的兔子在第二个月后也是 每个月生一对兔子 问一年后共有多少对 兔子 书中对此作了分析 设新出生的一对小兔子 第一个月小兔子没有繁殖能力 所以 还是一对 两个月后 生下一对小兔子 共有两对 三个月以后 老兔子又生下一对 因为小兔子还没有繁殖能力 所以一共是三对 依次类推可以列出下表 数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 被称为 兔子数列 有趣味的是 蜜蜂的繁殖 植物的生长 花瓣的数目 蓟的果实旋转的螺旋分别有 13 条 21 条 等大自然现象也都符合这个规律 就是生物学上著名的 鲁德维格定律 兔子数列有很多规律 见沈康身著 历史数学名题赏析 1963 年美国还创刊 斐 波那契季刊 用来专门研究斐波那契数列 又发现了与斐波那契数列的很多奇妙性质 一 数列的规律 一 数列的规律 1 兔子数列的规律 1 兔子数列的规律 仔细观察 不难发现兔子数列从第二项起 后项与前面项 有固定的递推公式递推公式 如右 如果你任意挑两个数为起始 然后两项两项地相加下去 此类数列必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数 而且 将斐波那契数列前一项与后一项求比 可以发现越来越接近黄 金分割数 0 618 2 等差数列 2 等差数列 数列从第二项起 后项 前项 常数 d 公差 称为等差数列等差数列 例 例 2 5 8 11 14 17 通项 an 2 3 n 1 3 等比数列 3 等比数列 数列从第二项起 后项 前项 常数 q 公比 称为等比数列等比数列 例例 1 4 16 64 256 1024 通项 an 4 n 1 练习 练习 1 填空 然后写出下列数列的第 n 项 用 n 表示 an n 1 2 3 是正整数 1 2 7 12 17 22 通项 an 2 68 61 54 47 40 通项 an 3 1 3 9 27 81 通项 an 4 1 2 1 4 1 8 1 通项 an 5 0 3 8 15 24 通项 an 6 1 3 6 10 15 通项 an 2 填空 然后写出下列数列的后项与前面项的关系 1 2 3 5 8 12 规律 2 0 1 3 8 21 规律 3 观察数列 写出指定的项 1 2 3 5 7 11 13 第 10 项是 质数列 质数列 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 第 1000 项是 循环数列 循环数列 4 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 5 9 12 16 21 25 32 36 中 得到巴尔末公式 从而打开了光谱奥妙的大门 请你按这种规律写出第 n 个数据是 5 数字解密 小说 达 芬奇密码 中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始 凶杀在现 场留下了如下的神秘数字 13 3 2 21 1 1 8 5 请你判断这是 数列 6 阳阳和明明玩上楼梯游戏 规定一步只能上一级或二级台阶 他们发现 当楼梯的 台阶数为一级时只有 1 种上楼梯的方法 台阶数为二级时有 2 种上法 台阶数为三级时 可以从一级或二级台阶跨上去 共有 3 种上法 那么上十级台阶共有 种上法 二 贾宪三角与数阵二 贾宪三角与数阵 1 贾宪三角 三角形阵 1 贾宪三角 三角形阵 我国北宋时期 数学家贾宪创作了 平方作法本源图 如图 称为 贾宪三角 遗憾的是他的著作 黄帝九章算法细草 已经失传 我们所见到的图是数学家杨辉的名 著 详解九章算法 中保存的 在欧洲 这图形称为 帕斯卡三角 一般认为这是帕 斯卡 1623 1662 发明的 其实德国人阿批纳斯 1495 1552 曾经把这个图形刻在 1527 年著的一本算术书的封面上 贾宪三角的发现 我国比欧洲至少要早 500 年 将贾宪三角变换一下形式 可以看作几个数列的组合 横看成岭侧成峰 兔子数 列在其中 例例 1 写出贾宪三角的第 8 行 1 7 21 35 35 21 7 1 2 观察第几行的数全部是奇数 用n表示你观察到的规律 第 2 n 行的数全部是奇 数 根据你发现的规律 第 32 行 62 行 63 行 行有 32 个奇数 至少写出两行 2 矩阵 长方形阵 2 矩阵 长方形阵 矩阵是指纵横排列的长方形数据表格 这一概念由 19 世纪英国数学家凯利首先提 出 矩阵概念在数学研究与生产实践中有着许多应用 例例 仔细观察如图表格 如果用 m 行第 n 列的位置 那么 1 位置表示为 6 37 的数是 2 2000 在这个表中的位置可以表示为 3 试用 m 与 n 表示第 m 行第 练习 练习 7 下表是某月的月历 1 阴影方框中 9 个数与该方框中间数有什么等量关系 2 这个关系对其他方框成立吗 3 这关系对任何一个月的月历都成立吗 还能提出哪些问题 找到哪些规律 8 观察表一 表二 表三 分别为 9 右上边是一个有规律排列的数表 是 第 n 行第 n 列的数是 10 如图三角形阵是由正整数组成的 序数对 n m 表示第 n 行 从左到右第 数对是 第 10 行的和是 13 则中间列第 10 个数是 11 世界上著名的莱布尼茨三角形由分 数构成 如图 则排在第 10 3 个位置上的数是 12 右面是一个由数字组成的三角形 据它的组成规律 确定其中 是 三 数的运算规律 三 数的运算规律 在数的同类运算中 也可以找出运算的规律 推测同类运算中的未知数 例例 下面表格提供的信息是有规律的 求 解 解 1 观察前两行 1 2 推测第三行 x 2 3 2 4 1 3 9 5 3 练习 练习 13 根据表格中数字的规律 14 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的 运算规律 根据此规律 m 的值是 15 如下表 从左到右在每个小格子中都填入一个 数 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 仔细观察如图表格 如果用 m n 表示一个数在表中第 的数是 2336 在这个表中的位置可以表示为 5 63 行第 n 列的数 am n 2 m 1 2n 1 个数与该方框中间数有什么等量关系 这个关系对其他方框成立吗 说明理由 这关系对任何一个月的月历都成立吗 为什么 你 找到哪些规律 表三 表四分别是从表一中截取的一部分 其中 右上边是一个有规律排列的数表 第 20 行第 21 列的数 列的数是 如图三角形阵是由正整数组成的 金字塔 式的排列 若有 从左到右第 m 个数 则表示 17 的有序实 行的和是 中间一列的数是 1 5 个数是 世界上著名的莱布尼茨三角形由分 10 行从左边数第 右面是一个由数字组成的三角形 根 确定其中 的值应该 同类运算中 也可以找出运算的规律 推测同类运算中的未知数 提供的信息是有规律的 求 x y 1 2 3 9 3 2 3 15 2 3 2 10 3 4 8 4 2 y 6 y 3 中数字的规律 x y 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的 的值是 从左到右在每个小格子中都填入一个整 格子中所填整数之和都相等 其中 a b c 的值 同类运算中 也可以找出运算的规律 推测同类运算中的未知数 则第 2000 个格子中的数为 16 先找规律 再填数 已知 2 1 1 1 2 1 1 1 12 1 2 1 4 1 3 1 30 1 3 1 6 1 5 1 56 1 4 1 8 1 7 1 则有 2012 1 2011 1 20122011 1 17 已知等式 a b a b 2 1010 a b 为正整数 则 a b 的值不可能是 A 109 B 218 C 326 D 436 请你根据等式 3 2 2 3 2 2 2 8 3 3 8 3 3 2 15 4 4 15 4 4 2 24 5 5 24 5 5 2 用 n 表 示出第 n 个等式 18 下边是由和组成的等式 请你写出下一个等式 再猜一猜 第 n 个等式 一 棋盘上的正方形 一 棋盘上的正方形 1 从小到大找规律 1 从小到大找规律 例例 国际象棋盘上的正方形的个数 解 解 先数 2 2 3 3 发现规律 正方形有 1 2 22 32 82 204 个 一般 n n 的正方形共有正方形的总数是 1 2 22 32 n2 6 1 n n 1 2n 1 2 由此及彼看联系 从数线段到数长方形 2 由此及彼看联系 从数线段到数长方形 例例 国际象棋盘上的长方形的个数 解解 先数线段 AB 上如有 1 个点 共 3 个点 有 3 条线段 如有 2 个点 共 4 个 点 有 6 条线段 国际象棋盘上的长与宽都有 9 个点 各有 36 条线段 因此长方 形有 1296 个 一般地 若长方形的长里有 n 条线段 宽里有 k 条线段 则长方形的个数 nk 练习 练习 1 围棋盘 18 18 格 上有 个正方形 2 中国象棋盘上有 个正方形 河界上没有线条 3 右图中共有 个长方形 4 类比数线段方法数角 过一个锐角 AOB 的顶点O在它的内部画99条射线 构成 个 锐角 一般地 过一个锐角的顶点在它的内部 画 n 条射线 构成 个锐角 5 数三角形 一个 ABC 底边 BC 上有 2 个点 D E 画 1 条与底 边平行的线段 如图 构成三角形 个 画 99 条与底边平行的线 段 构成三角形 个 6 火柴的排列 4 根火柴只能构成 1 个单位正方形 边长为 1 根火 柴长的正方形 用 7 根火柴可构成 2 个单位正方形 如图 1 至少用 根火柴可构成 3 个单位正方形 2 至少用 根火柴可构成 4 个单位正方形 3 至少用 根火柴可构成 5 个单位正方形 4 至少用 根火柴可构成 5 个正方形 5 用 8 根火柴最多可构成 个正方形 6 在空间 用 12 根火柴最多可构成 个单位正方形 二 二 图形排列的规律 图形排列的规律 1 点列 1 点列 古希腊数学家毕达哥拉斯用小石子 排列成三角形 正方形等图形 并研究 其规律 1 三角形数 1 三角形数 n 个正整数的和 2 正方形数 2 正方形数 n 个奇数的和 3 长方形数 3 长方形数 n 个偶数的和 4 图形数的关系 4 图形数的关系 2 个三角形数和 长方形数 2个相邻的三角形数和 正方形数 2 平面图形的排列 2 平面图形的排列 例例 在下图中 每个正方形由边长为 1 的小正方形组成 1 观察图形 请填写下列表格 2 在边长为 n n 0 的正方形中 设黑色小 正方形的个数为 P1 白色小正方形的个数为 P2 问是否存在偶数 n 使 P2 5P1 若存在 请写 出 n 的值 若不存在 请说明理由 解解 2 由 1 可知 n 为偶数时 P1 2n P2 n 2 2n 由题意得 n2 2n 5 2n 即 n2 12n 0 n 12 n 0 舍 存在偶数 n 12 这时有 144 个小正方形 黑的 24 个 使得 P2 5P1 3 立体图形的排列 3 立体图形的排列 例例 三棱锥数 如图是棱长为 1 的小正方体 或球 堆放成的 按照这样的方法继续堆放 由上而下分别叫第一层 第二层 设第 n 层的小正方体 或球 的个数为 k 写出 k 与 n 的关系式 k 2 1 n n 1 练习 练习 7 如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形 照此 规律闪烁 下一个呈现出来的图形是 8 根据图中箭头指向的规律 从 2004 到 2005 再到 2006 箭头的方向是 9 观察图形 按此排列 第 5000 个图形是 10 观察下列圆的排列规律 从第 1 个圆起到第 10000 个圆止共有实心圆 个 11 右表中给出了 8 个图列 每个图列给出了 3 个 按一定规律摆放的图形 根据问题的要求 填空 1 第 n 个图形中所有正方形的个数是 2 第 n 个图形中所有三角形的个数是 3 第 n 个图形中点的个数是 4 第 n 个图形中小圆圈有 个 5 图列中 和 的个数相等的图形是 第 个 6 当每边摆 n 根火柴棒时 共需摆火柴棒 根 7 第 n 个图形中底层小立方体的个数是 8 将每个图形露出的表面都涂上颜色 底面不涂 色 则第 n 个图形中只有两个面涂色的小立方体共 有 个 12 将长 宽 高分别为 a b c 的长方体 a b c 均为正整数 表面刷上红漆 再将它分割成边长 为 1 的小正方体 求一面 两面 三面有红色的小正 方体各有多少个 三 图形变化的规律 三 图形变化的规律 1904 年 瑞典数学家科克创造了一种用几何图形描述雪花的方法 他先画一个正三 角形 然后把每边三等分 在中间的一段上向外画一个正三角形 生长一次 如此进行 如图 这样就画出了一个边界变得越来越细微曲折的美丽的图形 它被人们称为雪花 曲线 它有有限的面积但有无限的周长 这种变化称为分形分形 例例 求雪花曲线的周长 解解 注意观察正三角形每条边的 变化 图形每生长一次 周长是原来 的 3 4 倍 归纳可得 生长 n 次 周长是原来的 n 3 4 倍 练习 练习 13 如图 多边形 是由正三角形分形而来 边数 为 12 中多边形是由正方形分形而来 依此类 推 则由正 n 边形分形而来的多边形的边数为 14 如图 将正方形画线分成 4 个小正方形 得到 5 个正方形 然后 将其中的一个正方形再画线分成 4 个正方形 共得到 9 个正方形 如此 n 次画线 可以得到 个正方形 15 如图 将一张正方形纸片剪成 4 个小正方形 然后 将其中的一 个正方形再剪成 4 个小正方形 共得到 7 个小正方形 如此剪了 n 次 共得到 2011 个小正方形 则 n 16 某中学课外科技小组们设计制作了一个电动智能玩具 玩具中的 四个动物小鱼 小牛 燕 子和熊猫分别在 1 2 3 4 号位置上 如图 玩具 的程序是 让四个动物按 图中所示的规律变换位置 第一次上 下两排交换位置 第二次是在第一次换位后 再左 右两列交换位置 第三 次再上 下两排交换位置 第四次再左 右两列交换位置 按这种规律 一直交换下去 那么第 2008 次交换位置后 熊猫所在位置的号码是 号 17 将 ABC各边均顺次延长一倍 连结所得端点 得到 DEF 如图 此时 我们称 ABC向外扩展了一次 可以发现 扩展一次后得到的 DEF 的面积是原来 ABC面积的 倍 由此探究 如果将 A